经济数学.微积分.朱来义.第二章.2.1 数列极限

经济数学微积分朱来义主编§2.1数列极限例如;,1,,31,21,1n一串数按照一定的顺序排成一列叫做一个数列.;,1,,1,1,1;,,,3,2,1n;,1,1,,1,,1,1,1;,21,,41,21,11n项，则列的其他表达式中能推断出该数的如果从数列的项数列中的每一个数叫做,na}.{,nnaa简记为数列为数列的通项称;,,,,21naaa数列数列是自变量取正整数的函数).N()(nnfan;1na;)1(1nna;nan;1nan.211nna上列数列的通项依次为.记为的极限为数列或称收敛于数列则称无限趋于一个确定的数的通项数列且无限增大时中变化在正整数集如果,}{,}{,}{,,Nnnnnaaaaaaan)(lim时或者naaaannn.lim,}{不存在或发散否则，称数列nnnaa例1.21)5(;1)4(};23{)3(};)1{()2(};1{)1(nnnnn限形式表示其结果：时的变化情况，并用极考察下列数列在解,,,2,1,1)1(是一个常数列数列nan,1,始终为时nan,1limnna因此,,2,1,)1()2(nann数列;1,始终为按奇数无限增大时当nan;1,始终为按偶数无限增大时nan,,,没有明确的趋势时因此nan.)1(lim不存在即nn.11limn即,,,2,1,23)3(是正整数数列数列nnan.)23(limnn记为,,也无限增大无限增大时nan,数的趋势不是一个确定的且na.)23(lim不存在因此nn,0,,,2,1,1)4(趋于无限无限增大时当数列nnannna.01limnn因此,0,,,2,1,21)5(趋于无限无限增大时当数列nnnanna.021limnn因此数列极限四则运算法则：，那么，设bbaannnnlimlim.limlimlim,0lim)4(babababbnnnnnnnnn则若;,lim)(lim)1(无关的常数是与其中nCCaaCCannnn;limlim)(lim)2(bababannnnnnn;limlim)(lim)3(abbabannnnnnn例2求下列数列极限：.3234lim)5(];ln)12[ln(lim)4();12(lim)3(;123lim)2(;312lim)1(121233nnnnnnnnnnnnnnnnnnnn解.2233123lim)2(nnnnn312lim)1(nnnnnn3112lim.3nnnn11123lim3212nn)12(limnnnn(3)由于因为123nn.23123limnnnnnnn11213limnnln)12ln(nnnn323412121]ln)12[ln(limnnn(4)由于因此(5)由于因此nn12lnn12lnnn12lnlim2lnnn4324331nnnnn3234lim121nnn4324331lim性质2.1.limlim是任何正整数）（这里的充要条件是kaaaaknnnn性质2.2.limlimlim122aaaaaannnnnn且的充要条件是性质2.3nnnnnnnnyxyxNnNyxlimlim,,,,}{},{00那么时使得且有正整数收敛设数列定理2.1（夹逼定理）axxazyzxyzyxNnNnnnnnnnnnnnnnlim,}{,limlim}{},{},{,,00且收敛那么数列如果满足不等式数列时使得假设存在正整数例3求下列数列的极限：.32)2(;22212)1(222nnnnnynnnnnnnx解(1)由于因此nnn222nn2211222nnnxnkn1,1212kn221注意到由夹逼定理可得nnxlimnnnn222lim2112lim22nnnnnnnnnnn22222212lim21(2)注意到nnylimn123,12lim1nn且.3nnnn32limnnnnn32323因此由夹逼定理可得定义2.1..,}{,2,1,}{1单调数列减数列统称为单调递增数列和单调递递减的数列类似地可以定义单调是单调递增的数列则称如果满足一个数列nnnnanaaa定义2.2.}{,,,}{,2,1,}{,0是无界数列则称满足某一项至少有何正数是有界数列；如果对任则称满足：使得数列如果存在常数nnnnnnaMaaManMaaM定理2.2单调有界数列必收敛.例4.11,111极限相同都收敛且证明数列nnnn证明则设不等式证明以下的伯努利首先由数学归纳法可以,1:x,2,1,1)1(nnxxn其次我们来证明数列,2,1,11nnxnn是单调递增数列，数列,2,1,111nnynn是单调递减数列.事实上nnxx112])1[()]2([2nnnnnnn12)1(112nnnn12)1(12nnnn1323)1(233nnnn1nnyy21)2(11nnnnn满足因此111,11nnnn,2,1,4111121nnnnn21)2(111nnnnn21)]2([])1[(112nnnnnnnnnnnnn4414423231.11,11,1是单减有界数列是单增有界数列综上所述nnnn由定理2.2知道它们都收敛，且nnnnn11lim11limnnn11lim因此是自然对数的底中提到的无理数这个极限值就是第一章,)2.71828e(e111limnnnnnn11lim111limnnn.e