工科概率统计7-4

概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第七章、参数估计习题课二、类题解析一、基本内容与结论概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第七章、参数估计一、基本内容与结论1、设待估计的参数为k,,,21设总体的r阶矩存在，记为),,,()(21krrXE样本X1,X2,…,Xn的r阶矩为nirirXnB11kr,,2,1令),,,(21krniriXn11——含未知参数1,2,,k的方程组概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第七章、参数估计解方程组,得k个统计量：11212ˆ(,,,)ˆ(,,,)nknXXXXXX未知参数1,,k的矩估计量111212ˆ(,,,)ˆ(,,,)nkknxxxxxx代入一组样本值得k个数:未知参数1,,k的矩估计值概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第七章、参数估计2、设X为离散型随机变量,其分布律为,,,),,()(21uuxxfxXP则样本X1,X2,…,Xn的概率分布为),,,(2211nnxXxXxXP),(),(),(21nxfxfxf)(),,,,(21LxxxLn记为或称L()为样本的似然函数概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第七章、参数估计)ˆ,,,,(21nxxxL)},(),(),(max{21nxfxfxf称这样得到的),,,(ˆ21nxxxg为参数的极大似然估计值称统计量),,,(21nXXXg为参数的极大似然估计量MLE简记mle简记ˆ选择适当的=,使取最大值,即L()极大似然法的思想概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第七章、参数估计若X连续,取f(xi,)为Xi的密度函数niixfL1),()(似然函数为注1注2未知参数可以不止一个,如1,…,k设X的密度(或分布)为1(,,,)kfx则定义似然函数为111(,,)(,,,)nkikiLfx,1,2,,ixin1(,,)k11(,,;,,)nkLxx概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第七章、参数估计若11(,,;,,)nkLxx关于1,…,k可微,则称0),,,;,,,(2121knrxxxL为似然方程组kr,,2,1若对于某组给定的样本值x1,x2,…,xn，参数使似然函数取得最大值,即kˆ,,ˆ,ˆ2111(,,;,,)nkLxx)},,,;,,,({max2121),,,(21knxxxLk则称1,,k为1,…,k的极大似然估计值概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第七章、参数估计显然，),,,(ˆ21nrxxxgkr,,2,1称统计量),,,(ˆ21nrXXXgkr,,2,1为1,2,…,k的极大似然估计量极大似然估计方法1）写出似然函数L2）求出kˆ,,ˆ,ˆ21,使得)ˆ,,ˆ,ˆ;,,,(2121knxxxL)},,,;,,,({max2121),,,(21knxxxLk概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第七章、参数估计0),,,;,,,(2121knrxxxLkr,,2,1可得未知参数的极大似然估计值kˆ,,ˆ,ˆ21然后,再求得极大似然估计量.L是的可微函数,解似然方程组1,,k若L不是的可微函数,需用其它方法求极大似然估计值.1,,k若概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第七章、参数估计(1)无偏性)ˆ(E若则称ˆ是的无偏估计量.定义(2)有效性),,,(ˆ2111nXXX都是总体参数的无偏估计量,且)ˆ()ˆ(21DD则称比更有效.1ˆ2ˆ定义设),,,(ˆ2122nXXX3、点估计的评价概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第七章、参数估计0))ˆ(limPn定义设是总体参数),,,(ˆˆ21nXXX则称ˆ是总体参数的一致(或相合)估计量.若对于任意的,当n时,(3)一致性ˆ依概率收敛于,即,0一致性估计量仅在样本容量n足够大时,才显示其优越性.一致的估计量.概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第七章、参数估计关于一致性的两个常用结论1.样本k阶矩是总体k阶矩的一致性估计量.是的一致估计量.ˆ由大数定律证明用切贝雪夫不等式证明矩法得到的估计量一般为一致估计量在一定条件下,极大似然估计具有一致性2.设是的无偏估计量,且,则0)ˆ(limDnˆ概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第七章、参数估计设为待估参数,是一给定的数,(01).若能找到统计量21,TT,使1)(21TTP则称],[21TT为的置信水平为1-的置信区间.置信下限置信上限4、置信区间1T2T寻找一个样本的函数),,,,(2nxXXXg它含有待估参数,不含其它未知参数,它的分布已知,且分布不依赖于待估参数(常由的点估计出发考虑).5、求置信区间的步骤—称为枢轴量概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第七章、参数估计给定置信度1,定出常数a,b,使得1)),,,((21bXXXgaPn由bXXXgan),,,(21解出得置信区间),(21TT21,TT(一)一个正态总体X~N(2)的情形5、正态总体参数的置信区间(1)方差2已知,的置信区间)1(),(22nzXnzX概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第七章、参数估计(2)方差2未知,的置信区间)2()1(,)1(22nSntXnSntX公式(2)(3)当已知时,方差2的置信区间)3()()(,)()(211221222nXnXniinii(4)当未知时,方差2的置信区间)4()1()1(,)1()1(2122222nSnnSn概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第七章、参数估计),,,(21nXXX为取自总体N(112)的样本,),,,(21mYYY为取自总体N(222)的样本,置信度为12221,;,SYSX分别表示两样本的均值与方差(二)两个正态总体的情形(1)2221,已知,的置信区间21mnzYXmnzYX2221222122)(,)()5((2)2221,未知,的置信区间21概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第七章、参数估计2)1()1(11)(22212mnSmSnmntYX)6(公式(6)mSnSzYX22212)(2221,(3)未知,n,m50,的置信区间21)7((4)未知,但n=m,的置信区间nSntYXZ)1()(2)8(2221,21概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第七章、参数估计(5)方差比2221的置信区间(1,2未知))1,1(1,)1,1(121222122221mnFSSmnFSS)9(概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第七章、参数估计(6)方差比2221的置信区间(1,2已知)),()()(,),()()(221122121122121mnFYXnmmnFYXnmmjjniimjjnii)10(概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第七章、参数估计估计法、矩估计法和最大似然例1的矩则未知参数的简单随机样本体,X的概率密度为设总体X)1(xxexfx,0,);()(是来自总nXX,,1估计量为00)()()(dyeydxxeXEyxyx令解：00dyedyyeyy11___X二、类题解析概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第七章、参数估计,111__niiXnX令的矩估计量为则未知参数.1ˆ___X的矩则未知参数的简单随机样本体,X的概率密度为设总体X)2(其它,010,)1();(xxxf是来自总nXX,,1.量估计量和最大似然估计,21)1()(10xdxxXE解：,1211__niiXnX令的矩估计量为则未知参数概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第七章、参数估计.112ˆ______XXniixL1)1()(niixL1)]1ln(ln[)(lnniixLdd1]11[ln)(lnniinx11ln0的最大似然矩估计量为则未知参数.ln1ˆ1niiXn概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第七章、参数估计niixfL1);()(解：NnN)1(11)1)(()1()(NnNNnNNnNLdd0的最大似然矩估计为则未知参数.ˆnN,,1xNX为样本值记的简单随机样本体的概率密度为设总体X)3()10(,,021,110,);(为未知参数其中其它xxxf是来自总nXX,,1.,1,的极大似然估计求未知参数的个数中小于nx概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第七章、参数估计的概率密度为设总体X)4(,,00),(6);(3其它xxxxf试求简单随机样本是来自总体为未知参数其中,,,,1XXXn①;的矩计量②).ˆ(D解：①03)(6)(dxxxxXE0323)66(1dxxx,2,121___niiXnX令.2ˆ__X的矩估计量为得概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第七章、参数估计②0322)(6)(dxxxxXE,1032)()()(22XEXEXD,2012)(4)2()ˆ(____XDXDD于是，)(14XDn.512n的分布律为设总体X)5(Xkp012)1(223221.估计值的矩估计值和最大似然试求)21(32)1(210)(:22XE解概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第七章、参数估计,43)34211201(81__x样本均值为,2,243___x令,41ˆ得4222)21()]1(2[)(L,)21()1(4426),21ln(4)1ln(2ln64ln)(lnL218126)(lnLdd0)21)(1(242862解之得,12137,1213721的极大似然估计值为故不符合题意由于,212.12137ˆ概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第七章、参数估计性、有效性、一致性）、估计量的评价（无偏例2下列统的简单随机样本是来自总体设,,,)1(101XXX的无偏估计量的是不是计量中)(,XE[]101110