经典复杂网络概述

复杂网络数学建模概述南京航空航天大学应用物理系朱陈平一、网络图的基本概念节点、边关联与邻接度k、平均度k节点的度分布p(k)最短路径与平均路径长度（Dijkstra算法）集聚系数C_laedcb有向图、无向图、不连通图节点的度分布是指网络（图）中度为的节点的概率随节点度的变化规律。k)(kpk两点之间的最短路径：从指定始点到指定终点的所有路径中长度最小的一条路径。网络平均路径长度：所有点对之间的最短路径的算术平均值。227755553311节点1到7之间的最短路13，平均路径长度5.47，平均度为3.4，集聚系数为0.48。二、早期网络模型规则图和随机图规则图系统中节点及其与边的关系是固定的，每个节点都有相同的度数。随机图平均说来系统中节点及其与边的关系不确定。规则图的特征平均度为3。随机图的特征节点确定，但边以概率任意连接。节点不确定，点边关系也不确定。p随机图——节点19，边43平均度为2.42，集聚系数为0.13。随机图——节点42，边118平均度为5.62，集聚系数为0.133。ER模型Erdös和Rényi（ER）最早提出随机网络模型并进行了深入研究，他们是用概率统计方法研究随机图统计特性的创始人。给定N个节点，没有边，以概率p用边连接任意一对节点，用这样的方法产生一随机网络。ER模型节点的度分布：平均值为的泊松分布k!λeP(k)kλConnectwithprobabilitypp=1/6N=10k~1.5Poissondistribution三、复杂网络模型小世界（small-world)网络模型无标度（scale-free)网络模型小世界模型为了描述从一个局部有序系统到一个随机网络的转移过程，Watts和Strogatz（WS）提出了一个新模型，通常称为小世界网络模型。WS模型始于一具有N个节点的一维网络，网络的节点与其最近的邻接点和次邻接点相连接，然后每条边以概率p重新连接。约束条件为节点间无重边，无自环。C(p):clusteringcoeff.L(p):averagepathlengthP(k)=0.1p(k)=0.3当p等于0时，对应于规则图。两个节点间的平均距离L线性地随N增长而增长，集聚系数大。当p等于1时，系统变为随机图。L对数地随N增长而增长，且集聚系数随N减少而减少。在p等于（0，1）区间任意值时，L约等于随机图的值，网络具有高度集聚性---小世界效应。复杂网络都具有分布于平均值两边的度分布曲线吗？无标度(Scale-free)网络Scale-free网络的发现Scale-free网络的特性Scale-free)网络的发现信息交换网（万维网、国际互联网、电话网、电力网）社会网络（电影演员合作网、科研合作图、引文网、人类性接触网、语言学网）生物网络（细胞网络、生态网络、蛋白质折叠）kkp~)(Scale-free网络的特性度分布呈幂率分布中枢节点出现鲁棒性脆弱性NetworkCCrandLN无标度网络与随机图特性比较无标度（Scale-free）网络无标度模型由Albert-LászlóBarabási和RékaAlbert在1999年首先提出，现实网络的无标度特性源于众多网络所共有的两种生成机制：（ⅰ）网络通过增添新节点而连续扩张；（ⅱ）新节点择优连接到具有大量连接的节点上。BA模型增长和择优连接这两种要素激励了Barabási－Albert模型的提出，该模型首次导出度分布按幂函数规律变化的网络。模型的算法如下：（1）增长：开始于较少的节点数量（m0），在每个时间间隔增添一个具有m（≤m0）条边的新节点，连接这个新节点到m个不同的已经存在于系统中的节点上。（2）择优连接：在选择新节点的连接点时，假设新节点连接到节点i的概率π取决于节点i的度数即经过t时间间隔后，该算法程序产生一具有N=t+m0个节点，mt条边的网络。数量模拟表明具有k条边的节点的概率服从指数为r=3的幂指数分布。jjiikkk)(P(k)~k-3A.-L.Barabási,R.Albert,Science286,509(1999)BA模型（a)Barabási-Albert模拟的度分布。（b）不同系统规模下的。kp3000000tmN150000N100000NBA模型设节点i的度满足动态方程：分母求和是对系统中除新进入系统的节点外的所有节点进行的，则ik11njiiiikkmkmtkmmtkjj2BA模型当t足够大时，有解微分方程，有tktkii2tdtkdkii2tkln21ln21ctk由初始条件得mitik解为式中iittmtk21可给出度小于k的节点的概率ktikP11ktmtPktkPii设在相同的时间间隔，添加节点到网络中，值具有常数概率密度ittmtPi01011111mtktmktmtPi代入前式110112ktmtmkktkPkPit趋于无穷时度分布rkmkP1211r式中模型的度分布是与时间无关的渐进分布且与系统规模无关。幂律度分布的系数与成正比。无标度模型的动态特性可以用各种分析方法给出：平均场理论主方程法变化率方程法2mBaralási-Albert模型的限制条件保持了网络的增长特性，不考虑择优连接，网络度分布呈指数衰减。消除了增长过程，只考虑择优连接，络度分布围绕其均值为一高斯分布。BA认为，这两个条件缺一不可，否则不能出现幂率度分布。Baralási-Albert模型扩展研究初始吸引度非线性择优连接择优连接的更迭机理增长制约条件及增长方式局部相互作用适应度模型其他工作流驱动的复杂网络模型（科大王文旭等）具有随机响应的动态有向小世界模型（南航朱陈平等）六、主要参考文献Albert,R.,H.Jeong,andA.-L.Barabási,DiameteroftheWorld-Wide-Web,1999,Nature(London)401,130.Barabási,A.-L.,andR.Albert,Emergenceofscalinginrandomnetworks,1999,Science286,509.Barabási,A.-L.,R.Albert,andH.Jeong,Mean-fieldtheoryforscale-freerandomnetworks,1999,PhysicaA272,173.Albert,R.,andA.-L.Barabási,statisticalMechanicsofcomplexnetwork,2002,Rev.Mod.Phys.Vol.74,No.1,47-97.谢谢大家！网络图的基本概念图的基本元素：节点、边关联，邻接有限图，无限图规则图，随机图有向图，无向图(V,E)G网络图的基本概念度、平均度节点的度分布最短路径与平均路径长度集聚系数