杆件应力与强度计算

材料力学长沙理工大学蔡明兮2020年2月10日星期一第四章杆件应力与强度计算拉伸、压缩与剪切拉压的内力和应力•横截面上的应力Ａ、几何方面：PPPPPP根据实验现象，作如下假设：平截面假设：变形前的横截面，变形后仍然保持为横截面，只是沿杆轴产生了相对的平移。应变假设：变形时纵向线和横向线都没有角度的改变，说明只有线应变而无角应变。结论：同一横截面上只有线应变，且大小相等。拉伸、压缩与剪切拉压的内力和应力•横截面上的应力Ｂ、物理方面：PP设想杆件是由无数根纵向纤维组成的。由于材料是均匀的，那么它们的变形和力学性能相同，可以推想各纵向纤维的受力也应该是一样的。即横截面上各点的正应力相等。拉伸、压缩与剪切拉压的内力和应力•横截面上的应力Ｃ、静力平衡：PPYZdAdAdFNANdAFAdAAAFN拉伸、压缩与剪切拉压的内力和应力１、公式是在拉伸时导出的，同样可以应用于压缩。２、外力合力的作用线必须与杆的轴线重合。３、公式只在杆件距力作用点较远部分才成立。圣维南（Saint-Venant)原理力作用于杆端的方式不同，只会使作用点附近不大的范围内受到影响。关于公式的几点说明P2P/2P/AP４、杆件必须是等截面直杆。若杆截面变化时，横截面上的应力将不再是均匀的。如果截面变化比较缓慢时，可以近似应用公式。)()()(xAxFxN拉伸、压缩与剪切拉压的内力和应力例：已知P=15kN，d=16mm，a=10cm。求各杆的应力。adABCPO30BPNABFNBCF解：0XFkNPFNAB3020YFkNPFNBC26322ABmm201d4AMpaAFABNABAB1491020110306322BCcm100aAMpaAFBCNBCBC6210100102643.拉伸、压缩与剪切拉压的内力和应力•斜截面上的应力有些材料在破坏时并不总是沿横截面，有的是沿斜截面。因此要进一步讨论斜截面上的应力。设拉力为P，横截面积为A，PPkpkPkkPkkpAP则取k-k斜截面，夹角为，，则cos/AA，而PFAFpAPcosAPcoscosp2cossinpcossin22sin)cos(212F0When1、达到最大maxo45When2、达到最大2maxo90When3、0。即纵截面上无任何应力拉伸、压缩与剪切材料的力学性能•材料在拉伸时的力学性能加载方式常温静载试验oepsb上屈服点下屈服点弹性阶段屈服阶段强化阶段颈缩阶段材料低碳钢（A3钢）(含碳量0.3%)三个极限四个阶段p(e)，s，b弹性阶段，屈服阶段，强化阶段，颈缩阶段二个指标延伸率截面收缩率拉伸、压缩与剪切材料的力学性能•材料在拉伸时的力学性能卸载定律冷作硬化oo残余变形•其他塑性材料的拉伸力学性能象中碳钢、某些高碳钢以及合金钢、铝合金、青铜等，除16Mn钢之外，几乎都没有明显的四阶段。•铸铁拉伸力学性能属于典型的脆性材料。o拉伸、压缩与剪切材料的力学性能•材料在压缩时的力学性能低碳钢oo铸铁拉伸、压缩与剪切温度、时间的影响•高温短期以低碳钢为例，当温度升高，E、S降低。C300250tWhenoo~tb&C300250tWhenoo~tb&在低温情况下。象低碳钢，p、S增大，减小。即发生冷脆现象。•高温长期静载当温度低于某一值时，（低碳钢300o~350oC）无变化。当温度高于某一值且应力超过某一值时，变形随时间增长。即发生蠕变。拉伸、压缩与剪切失效、安全系数和强度计算•极限应力塑性材料s脆性材料b0•许用应力00nbs0nnn5221.~.93or532~.~•强度条件AFNn0选取的因素1、材料的素质（均匀性、质地）2、载荷情况（估计的准确性、静载、动载）3、简化及计算方法的精确度4、构件的重要性、后果的严重性、制造修配的难易度5、自重、机动性拉伸、压缩与剪切失效、安全系数和强度计算例：如图示，Q=36kN，a=8cm，d=12mm，[]1=140Mpa，[]2=4.5Mpa，试校核其强度并合理选择其杆件截面尺寸。解：QFN431kN27kN45QFN452111AFN623101241027Mpa7238.1][4m3mQQ2NF1NF111][NFA6310140102724m10928571.m105671d2.mm16d222AFN4310641045Mpa72][222][NFA6310541045.22m10cm10m10Aa12拉伸、压缩与剪切应力集中的概念集中应力：由于杆件局部截面发生突变，在突变的局部区域内，应力急剧增加，而离开该区域应力又趋于缓和。这种现象称为应力集中。maxmax最大应力与平均应力之比称为理论应力集中系数。s塑性材料在静载作用下可以不考虑应力集中。脆塑性材料在静载作用下要考虑应力集中。拉伸、压缩与剪切剪切和挤压的实用计算剪切的实用计算：AFSPPQ剪切的强度条件：][AFS][（塑性材料））（][.~.18060（脆性材料））（][.~.10180为材料的许用拉应力][1拉伸、压缩与剪切剪切和挤压的实用计算挤压的实用计算：bsbsbsAF挤压的强度条件：][bs（塑性材料））（][.~.15251（脆性材料））（][.~.15190为材料的许用拉应力][1PP计算挤压面][bsbsbsbsAF拉伸、压缩与剪切剪切和挤压的实用计算例：高为h，宽为b=100mm的齿形接头如图示。承受轴向拉力P=30kN作用。试求齿的尺寸a、c、d、h。已知木材的顺纹许用拉应力［］=6Mpa，许用挤压应力[bs]=10Mpa，许用剪切应力[]=1.2Mpa。aabcddhPP扭转纯剪切•薄壁圆筒扭转时的切应力mmmmmmtr2rrtrttr2m2•切应力互等定理（双生定理）dytdxdxtdy)()(•剪切胡克定律G)(12EGG:切变模量•剪切变形能G221u2扭转圆轴扭转时的应力一、变形几何关系dxaammdxdxdaaddxddxdRmax二、物理关系GdxdG三、静力关系AdATAdAdxdG2AdAdxdG2A2pdAI令：pGITdxdpIT扭转圆轴扭转时的应力称为抗扭截面系数pITpITRmaxRIWpP令：pWTmaxD16DW3PDd)(43P116DWDd强度条件][maxmaxpWT问题：扭转的切应力公式在什么情况下才能成立？扭转圆轴扭转时的应力例１：在扭转工况相同的情况下，相同材料的实心轴与=0.9的空心轴相比，哪个更省材料？省多少？例２：有一外径D=100mm、内径d=80mm的空心圆轴与直径D1=80mm的实心圆轴用键相连，轴的两端作用外力偶M=6kN.m，轴的许用切应力[]=80Mpa，键的尺寸为101030mm，键的许用切应力[]=100Mpa，许用挤压应力[bs]=280Mpa。试校核轴的强度并计算所需键的个数n。5832.弯曲应力纯弯曲•内力与应力的关系弯矩是垂直于横截面的内力系的合力偶矩；M。剪力是切于横截面的内力系的合力；Fs。•纯弯曲剪力为零的弯曲。aaPPPPPa中性层中性轴弯曲应力纯弯曲时的正应力•纯弯曲时的正应力•变形几何关系dxyyxzdy)(dxddxyyMMd•物理关系EyE•静力关系MMdAyAdAdANF0AdAzyM0AdAyzMM0Iyz0SzzEIM1d弯曲应力纯弯曲时的正应力•纯弯曲时的正应力Wz：抗弯截面系数A2zdAyIzEIM1zIMyMzIMymaxmaxmaxyIWzz令zWMmax例：计算图示简支梁跨中截面上a、b、c三点处的正应力。qL21mkN53q/.m3LqL212qL81zyO120180abc50463zm1032.5812bhImkN943qL81M2.m050yb.Mpa383IMyzbb.m090yc.Mpa086IMyzcc.m090ya.Mpa086IMyzaa.解：弯曲应力横力弯曲时的正应力•正应力公式的使用条件•平面弯曲•具有纵向对称平面•材料处于弹性范围内•正应力公式的推广使用条件2、截面没有纵向对称面时，若外力作用在截面的形心主轴平面内，公式仍然可以使用。1、在剪力弯曲时，截面发生翘曲，不再满足平截面假设。但当L/h5时，剪力对正应力的影响可以忽略。3、曲梁的曲率半径与截面高度h之比大于10时，可以近似应用。•弯曲正应力的强度计算][maxmaxmaxzIyM1、强度校核2、选择截面3、计算许用载荷一工字钢的悬臂梁长L=1.5m，自由端受集中力P=25kN作用，材料的许用应力[]=160Mpa。试选择工字钢截面的型号。弯曲应力横力弯曲时的正应力例1、解：LABPPLPLMmaxmkN5375125..][maxMWz631016010537.3cm234查表选No:20a工字钢，Wz=237cm3。No40a工字钢简支梁跨度L=8m，跨中点受集中力P作用。已知[]=140Mpa，考虑梁的自重，求许用荷载。例2、qm4m4Pa40NomNL)qLP2(81解：查表得q=67.6kgf/m=662.5N/mWz=1090cm3=1.09x10-3m3PL41qL81M2maxmNP25300)(][maxWM631014010091P25300.kN65.73PkN73]P[梁受力及支承、截面如图示，材料的许用拉应力[]t=32Mpa，许用压应力[]c=70Mpa。试校核梁的强度。弯曲应力横力弯曲时的正应力例3、解：mm139ycAkN20PmkN10q/m2m3m1BCD3017020030mkN20mkN1046zm10340I.zyY上Y下Ycmm139yyc下mm61y上1、画弯矩图2、计算截面数据c3、校核强度校核B截面zBBIyM上上6331034010611020.Mpa2730.Mpa32c][zBBIyM下下63310340101391020.Mpa9868.Mpa70t][zCCIyM上上6331034010611010.Mpa1415.Mpa70t][zCCIyM下下63310340101391010.Mpa4934.Mpa32c][cC51][%）（下Mpa633.校核C截面校核结果：此梁属于危险结构。弯曲应力两相互垂直平面内弯曲的组合)(1xLFMzyxzo1F2FaLxyzozMYM)(2xaFMyzzIyMyyIzMyyzzIzMIyM][maxyyzzWMWM弯曲应力弯曲切应力•矩形截面梁MySFxdxABmmnnzxhdx作如下假设：横截面上的切应力方向都平行于剪力切应力沿截面宽度均匀分布）（即ydMMxyz0XF1N2NSdF2NSdF1N0yxdx其中：2N1AdA1A1zdAyIdMM1A1zdAyId