baaFbFdxxfI)()()(但是,在工程技术领域,在实际使用上述求积分方法时,往往会遇到下面情况:1.函数f(x)没有具体的解析表达式,只有一些由实验测试数据形成的表格或图形。关于定积分的计算,我们知道,只要求出f(x)的一个原函数F(x),就可以利用牛顿—莱布尼慈(Newton-Leibniz)公式出定积分值:3.f(x)的结构复杂,求原函数困难,即不定积分难求。等321,ln1,sin,,sin)(2xxxexxxfx2.f(x)的原函数无法用初等函数表示出来,如:由于以上种种原因,因此有必要研究积分的数值计算方法,进而建立起上机计算定积分的算法。此外,数值积分也是研究微分方程和积分方程的数值解法的基础。数值积分1.1构造数值求积公式的基本思想定积分I=∫abf(x)dx在几何上为x=a,x=b,y=0和y=f(x)所围成的曲边梯形的面积。定积分计算之所以困难,是不规则图形的面积。由积分中值定理,对连续函数f(x),在区间[a,b]内至少存在一点,使:)()()(fabdxxfIba也就是说,曲边梯形的面积I恰好等于底为b-a,高为f()的规则图形—矩形的面积(图7-1),f()为曲边梯形的平均高度,然而点的具体位置一般是不知道的,因此难以准确地求出f()的值。但是,由此可以得到这样的启发,只要能对平均高度f()提供一种近似算法,便可以相应地得到一种数值求积公式。图7-1abξ)(xfy)(f如用两端点的函数值f(a)与f(b)取算术平均值作为平均高度f()的近似值,这样可导出求积公式:第七章数值积分与微分7-3更一般地在区间[a,b]上适当选取某些点xk(k=0,1,…,n),然后用f(xk)的加权平均值近似地表示f(),这样得到一般的求积公式:1)-(7)()(0nnkkkbaIxfAdxxfI其中,点xk称为求积节点,系数Ak称为求积系数,Ak仅仅与节点xk的选取有关,而不依赖于被积函数f(x)的具体形式。()(()())2,()()22bababaIfxdxfafbababIfxdxbaf梯形公式取中矩形公式另一方面定积分的定义,000()lim()kknnbkkaMaxxkIfxdxfxx其中xk是[a,b]的每一个分割小区间的长度,它与f(x)无关,去掉极限,由此得到近似计算公式:nkkknkkkbaxfAxxfdxxfI00)()()(因此,式(7-1)可作为一般的求积公式,其特点是将积分问题归结为函数值的计算,从而避开了使用牛顿一莱布尼慈公式需要求原函数的困难,适合于函数给出时计算积分,也非常便于设计算法,便于上机计算。求积公式(7-1)的截断误差为:0()()()nbnnkkakRfRIIfxdxAfxRn也称为积分余项.1.2代数精度定义1如果某个求积公式对所有次数不大于m的多项式都精确成立,而至少对一个m+1次多项式不精确成,则称该公式具有m次代数精度。一般来说,代数精度越高,求积公式越好。为了便于应用,由定义1容易得到下面定理。数值积分是一种近似计算,但其中有的公式能对较多的函数准确成立,而有的只对较少的函数准确成立。为了反映数值积分公式的准确差别,引入代数精度的概念。试验证梯形公式具有一次代数精度。例122222233222,()1,1d,(11),.21(),d(),()222.1(),d(),(),32,,.1,bababafxbaxbabababafxxxxbaabbafxxxxbaabx解对于梯形公式当时左端右端此时公式精确成立当时左端右端公式也精确成立当时左端右端此时左端右端即公式对不精确成立故由定理知梯形公式.的代数精度为一次可以证明矩形公式的代数精度也是一次的。定理1一个求积公式具有m次代数精度的充分必要条件是该求积公式对1,x,x2,…,xm精确成立,而对xm+1不精确成立。第七章数值积分与微分7-6上述过程表明,可以从代数精度的角度出发来构造求积公式.如,对于求积公式(7-1),若事先选定一组求积节点xk(k=0,1,…,n,),xk可以选为等距点,也可以选为非等距点,令公式对f(x)=1,x,…,xn精确成立,即得:2)-(71211110022110010nabxAxAxAabxAxAxAabAAAnnnnnnnnnn这是关于A0、A1、…、An的线性方程组,系数行列式为范德蒙行列式,其值不等于零,故方程组存在唯一的一组解。求解方程组(7-2)确定求积系数Ak,这样所得到的求积公式(7-1)至少具有n次代数精度.例2确定求积公式使其具有尽可能高的代数精度。解:求积公式中含有三个待定参数,可假定近似式(7-3)的代数精度为m=2,则当f(x)=1,x,x2时,式(7-3)应准确成立,即有:代回去可得:)37()()0()()(101hfAfAhfAdxxfIhh34,3)(32)(02011112311101hAhAAAAhhAAhAAAh)47()(3)0(34)(3)(hfhfhhfhdxxfba检查(7-4)对m=3是否成立,为此,令f(x)=x3代入(7-4),此时左边,3)(333右边hhhh第七章数值积分与微分7-8),(3)(344hhhh右边左边再检查(7-4)对m=4是否成立,令f(x)=x4代入(7-4),此时:因此近似式(7-4)的代数精度为m=3.由待定系数法确定的求积公式没有确切的误差估计式,只能从其所具有的代数精度去判定求积公式的准确程度。上述方法称为待定系数法,在具有尽可能高的代数精度的要求下,利用它可以得出各种求积公式。1.3插值型求积公式设给定一组节点ax0x1…xn-1xnb,且已知f(x)在这些节点上的函数值,则可求得f(x)的拉格朗日插值多项式:nkkknxlxfxL0)()()(其中lk(x)为n次插值基函数。取f(x)Ln(x),则有:nkkbakbankkkbanbaxfxxlxxlxfxxLxxfI00)(d)(d)()(d)(d)(记:5)-(7),,1,0(d)(nkxxlAbakknknkkbaIxfAxxfI0)(d)(则有:这种求积系数由式(7-5)所确定的求积公式称为插值型求积公式.根据插值余项定理,插值型求积公式的求积余项为:其中[a,b]与x有关.6)-(7d)()!1()(d])()([0)1(bankknbannnxxxnfxxLxfIIR关于插值型求积公式的代数精度,有如下定理。具有n+1个节点的数值求积公式(7-1)是插值型求积公式的充分必要条件是该公式至少具有n次代数精度。定理2定理2说明,当求积公式(7-1)选定求积节点xk后,确定求积系数Ak有两条可供选择的途径:求解线性方程组(7-2)或者计算积分(7-5),即利用n次代数精度或插值型积分来确定求积系数.由此得到的求积公式都是插值型的,其代数精度均不小于n次.0()()(7-1)nbkknakIfxdxAfxI证:(充分性)设求积公式(7-1)至少具有n次代数精度,那么,由于插值基函数li(x)(i=0,1,…,n)均是次数为n的多项式,故式(7-1)对li(x)精确成立,即:(dniikkikik0biia1ki)l(x)l(x)Al(x)A0(ki)l(x)xA(i0,1,,n)71由于满足:所以:故:所以,求积公式是插值型的。(必要性)设求积公式(7-1)是插值型的,则对所有次数不大于n的多项式f(x),按(7-6)其求积余项Rn=0,即这时插值型求积公式是精确成立的。由定义1,n+1个节点的插值型求积公式至少具有n次代数精度。(证毕)例3考察求积公式:111f(x)dx(f(1)2f(0)f(1))2具有几次代数精度.次代数精度。所以此求积公式具有一右边左边时当右边左边时当右边公式左边时检查当解:1)1021(2132d,)(0)1021(210d,)(2)121(212d,1)(11221111xxxxfxxxxfxxf注:n+1个节点的求积公式不一定具有n次代数精度.其原因是此求积公式不一定是插值型的。例:§2牛顿一柯特斯(Newton-Cotes)公式本节介绍节点等距分布时的插值型求积公式,即牛顿一柯特斯(Newton-Cotes)公式。2.1牛顿一柯特斯(Newton-Cotes)公式设将积分区间[a,b]划分为n等分,步长h=(b-a)/n,求积节点取为xk=a+kh(k=0,1,…,n),由此构造插值型求积公式,则其求积系数为:0nn00j0j0jkjk()dd(0,1,,)(1):d()d(0,1,,)!()!引入变换则有nbbjkkaajkjjknknnkxxAlxxxknxathxxtjbaAhttjtknkjnknk记:7)-(7),,1,0(d)()!(!)1(0nkj0j)(nktjtknnkCnknnk于是得求积公式则,)()(nkkCabA8)-(7)()(0)(nkknknxfCabI称之为n阶牛顿一柯特斯(Newton-Cotes)公式简记为N-C公式,称为柯特斯系数。显然,柯特斯系数与被积函数f(x)和积分区间[a,b]无关,且为多项式积分,其值可以事先求出备用。表7-1中给了了部分柯特斯系数。)(nkC柯特斯系数表7-19895888-92810496-454010496-92858889891/2835087513577132329892989132335777511/172807412162727227216411/84061975505075191/2885732123271/90413311/831411/62111/21),,1,0()(nkBACknknABk经计算或查表得到柯特斯系数后,便可以写出对应的牛顿一柯特斯(Newton-Cotes)公式。当n=1时,按公式(7-7)有:2121)1(!1!01110)1(110)1(0tdtCdttC得求积公式:9)-(7)]()([2)()(10)1(1TbfafabxfCabIkkk即梯形公式01222(2)0012(2)1012(2)20,,,(77):2(1)1(1)(2)20!2!6(1)4(2)21!1!6(1)1(2)21!1!6abxaxxbCttdtCttdtCttdt相应的节点按公式当n=2时第七章数值积分与微分7-15相应的求积公式:10)-(7)(24)(62SbfbafafabI称为辛卜生(Simpson)公式.44(4)0034(4)1024(4)2014(4)30(4)4(1)7(1)(2)(3)(4)40!4!90(1)32(2)(3)(4),41!3!90(1)12(1)(3)(4)42!2!90(1)32(1)(2)(4),43!1!90(1CttttdtCttttdtCttttdtCttttdtC,,040)7(1)(2)(3)44!0!90ttttdt当n=4时,所得的公式称作柯特斯公式,它有五个节点,其系数:所以柯特斯公式是:11)-(7)](7)(32