代数系统

1第三篇代数系统2第三篇代数系统代数系统：由集合上定义若干个运算而组成的系统小学加、减、乘、除运算有理数对象初中实数的四则运算，乘方和开方，简单的线性方程实数对象高中更复杂的算术演算复数对象3代数系统：由集合上定义若干个运算而组成的系统在一个集合A上的运算概念例：①将实数集合R上的每一数a0映射成它的倒数1/a，就可以将该映射称为在集合R上的一元运算；②在集合R上，对任意两个数所进行的普通加法和乘法，都是在集合R上的二元运算。③对于集合R上的任意三个数的运算，就是集合R上的三元运算。代数系统4忠告：1.不要被代数系统中众多的符号和术语所迷惑。2.代数系统，无论其外表多么复杂多么让人难以捉摸，说到底无非是研究对象之间的运算，以及运算的规律。代数系统5第三篇代数系统代数系统的基本概念代数系统的性质同构和同态半群群环格和布尔代数几种特殊的格6例：①在集合A={1，2，3，4，5，1/2，1/3，1/4，1/5}，做任意元素的倒数运算；②在集合A={1，2，3，4，5}，做任意元素的倒数运算；若集合S中的元素经某一运算后它的结果仍在S中，则称此运算在集合S上是封闭的。§5.1代数系统的基本概念7不封闭的例子：一架自动售货机，能接受五角硬币和一元硬币，而所对应的商品是桔子水、可乐和冰淇凌。当投入上述硬币的任何两枚时，自动售货机将按照表中供应相应的产品：表格左上角的记号*可以理解为一个二元运算的运算符。这个例子中的二元运算*不是集合{五角硬币，一元硬币}上的封闭运算。*五角硬币一元硬币五角硬币桔子水可口可乐一元硬币可口可乐冰淇凌代数系统的基本概念8①在集合A={1，2，3，4，5，1/2，1/3，1/4，1/5}，做任意元素的倒数运算；可以看作是：将集合A上的每一数a映射成他的倒数1/a；②在实数集合R上，对任意两个数进行的普通加法和减法；可以看作是：将集合R上的任意两个数映射成R中的一个数；1.定义：对于集合A，有一个从An到B的映射，如果BA，则称该n元运算是封闭的。代数系统的基本概念92.一个代数系统需要满足以下三个条件：①有一个非空集合U；②有一些建立在集合U上的运算；③这些运算在U上是封闭的。由此将由集合U及建立在U上的封闭运算f1，f2…，fk所组成的系统就称为一个代数系统，记作U，f1，f2…，fk。代数系统的基本概念10例：在整数集合I上定义如下：对任何其中的+，分别是通常数的加法和乘法。那么是一个从I2到I的函数，只要在集合I上是封闭的，I，就是一个代数系统。,,abIababab(,)ababab代数系统的基本概念111、结合律设有代数系统U，*，对a，b，cU，如果有(a*b)*c=a*(b*c),则称此代数系统的运算满足结合律。例如：设A是一个非空集合，★是A上的二元运算，对于任意a，bA，有a★b=b，证明：★是满足结合律的。证：∵对于任意的a，b，cA，（a★b）★c=b★c=c而a★（b★c）=a★c=c，∴（a★b）★c=a★（b★c）∴★是满足结合律的§5.2代数系统的性质122、交换律设有代数系统U，*，如果对于a，bU，有a*b=b*a，则称此代数系统的运算“*”满足交换律。例如：在整合集合I上定义运算：对任何其中的+，分别是通常数的加法和乘法。那么可以满足交换律？代数系统的性质,,()abIababab133、分配律（左分配，右分配）设有代数系统U，，*，对a,b,cU，如果有a(b*c)=(ab)*(ac)，则称此代数系统上“”运算对“*”运算满足左分配律。同理，若“*”对“”满足a*(bc)=(a*b)(a*c)，则称运算“*”对运算“”满足左分配律若有(a*b)c=(a*c)(b*c)，则称“”运算对“*”运算满足右分配律。同理，若(ab)*c=(a*c)(b*c)，则称“*”运算对“”运算满足右分配律例如：代数系统N，+，×。其中+，×分别代表通常数的加法和乘法。代数系统的性质144、等幂律设*是定义在集合A上的一个二元运算，如果对于任意的xA，都有x*x=x，则称*运算是等幂的。EX:S={1,2,4}，在集合p(S)定义两个二元运算，∩，∪，分别表示集合的“并”运算和集合的“交”运算，∩，∪是等幂的？解：对于任意的Ap(S)，有A∩A=A；A∪A=A因此运算∩，∪都满足等幂律。代数系统的性质155、幺元一个代数系统U，，若存在一个元素eU，使得对xU，有：ex=xe=x，则称e为对于运算“”的幺元或者称e是U，幺元。注意：这里考虑的是只有一个运算的代数系统。如果有两个或者更多的运算，就不能简单地说代数系统的幺元了，因为幺元事实上是针对具体运算而言的。因而，如果有更多的运算就必须对每个运算都进行讨论，一个运算若有幺元，则一定指明是该运算的幺元。代数系统的性质16左单位元或右单位元（左幺元或右幺元）一个代数系统U，，若存在一个元素elU，使得对xU，有：elx=x，则称el为对于运算“”的左幺元。若存在一个元素erU，使得对xU，有：xer=x，则称er为对于运算“”的右幺元。代数系统的性质17EX：设代数系统N，*，*的定义为：对那么，N，*有没有幺元？左幺元？右幺元？解：对任何，因此1是右幺元。但1不是左幺元，因为所以N，*没有左幺元，当然也就没有幺元。,,*babNaba1,*1aNaaa21*2112代数系统的性质18定理：一个代数系统U,的单位元若存在，则唯一。证：设e为运算“”的幺元，另有一单位元e，∵e是幺元，∴对xU，有ex=x，取x=e，则ee=e①又∵e是幺元，∴对xU，有xe=x，取x=e，则ee=e②由①②式可得：e=e，即幺元唯一。代数系统的性质196、零元一个代数系统U，，如果存在一个元素θU，使得对xU有：θx=xθ=θ，则称θ为对于运算“”的零元。若只满足θx=θ，则θ称为左零元。若只满足xθ=θ，则θ称为右零元。例如：代数系统I，×的零元是什么？（0）②在所有n阶方阵集合M上的代数系统M，×，零元是什么？（所有元素为0的n阶方阵）③在I+上定义一个二元运算取极小“Min”，I+，Min的零元是什么？（1）代数系统的性质20定理：一个代数系统，其零元若存在，则唯一。（同学自证）定理：一个代数系统U，，若集合A中元素的个数大于1，且该代数系统存在幺元e和零元θ，则θe。证明：用反证法，设θ=e，则对于任意的xA，必有x=ex=θx=θ=e，即对于A中所有元素都是相同的，这与A中含有多个元素相矛盾。代数系统的性质217、逆元一个存在幺元e的代数系统U，，如果对U中的元素x存在x-1，使得x-1x=xx-1=e，则称x-1为x的逆元。若xx-1=e，则称x-1为x的右逆元。若x-1x=e，则称x-1为x的左逆元。既是左逆元，又是右逆元，则称x-1为x的一个逆元。代数系统的性质22例如：①对代数系统R，*，*为二元运算，定义为通常数的乘法。R为实数集合。只要，aR，a0，则1/a即为a的逆元。这是因为1是幺元，a0时，a*1/a=1/a*a=1。②对代数系统I，*，*为二元运算，定义为通常数的乘法。I为整数集合。只有1和1有逆元，1-1=1，(1)-1=-1因为对aI，只要a1，则1/a要么不存在，要么1/aI。③R{1}，*，*为二元运算，定义为通常数的乘法。R{1}为除了1之外的实数集合。任何元素都没有逆元，因为根本没有幺元，就不谈逆元了。代数系统的性质23因此，关于逆元，下述结论是正确的：①只要当幺元存在时，才考虑逆元。②逆元是“局部”的，也就是说，逆元是针对具体元素而定的，有些元素可能有逆元，有些元素则可能没有逆元。如果a和b都有逆元且ab，则a-1和b-1也不相同。③一个元素的逆元必须是代数系统内的元素。④设e幺元，只有当aºb=e和bºa=e同时成立时，b才能是a的逆元，如果只有一个成立，b也不是a的逆元。代数系统的性质24例如：设集合S={α，β，γ，δ，ζ}，定义在S上的一个二元运算如下表所示，试指出代数系统（S，）中各个元素的左、右逆元情况。解：是幺元，是的左逆元，是的右逆元；是、的左逆元，、是右逆元；是的左逆元，是的右逆元；是的左逆元，是的右逆元。代数系统的性质25定理：设代数系统（U，），运算“”满足结合律，且存在幺元e，那么对任意固定的xU，若x有逆元，则逆元是唯一的。证明：设x有两个逆元x1-1和x2-1，则x1-1xx2-1=x1-1（xx2-1）=x1-1e=x1-1同理x1-1xx2-1=（x1-1x）x2-1=ex2-1=x2-1所以：x1-1=x2-1代数系统的性质26§5.3半群1．广群:设U，是一个代数系统，其中“”是U上的二元运算。若“”满足封闭性，则U，称为是广群.2．半群：设U，是一个广群，其中“”是U上的二元运算。若“”满足结合律，则U，称为是半群。EX：有代数系统S,其中S=｛a,b,p,q｝运算由下表定义,试问该代数系统是一个半群吗?abpqaabpqbabpqpabpqqabpq27EX：有代数系统，其中I为整数集。max为一个二元运算，表示对I中的元素取最大，I，max是一个半群吗？I，min是一个半群吗？EX：代数系统N，+中N为自然数集，运算“+”为普通的加法运算，N，+是个半群吗？EX：代数系统N，中N为自然数集，运算“”为普通的减法运算，N，是个半群吗？半群283、子半群U，是一个半群,UU,且运算在U是封闭的,那么U，也是半群，并称为半群U，的子半群。例如:I,+是半群,那么I+,+是它的子半群吗?R,*是半群,那么I,*是它的子半群吗?[0,1],*呢?定理5-3.2设S,*是一个半群，若S是一个有限集,则必有aS,使得a*a=a.(证明过程详细讲,属考试范围)半群294、独异点（单元半群或含幺半群）定义：一个半群U，，若拥有幺元，则称其为含幺半群或单元半群。EX：N，×，是独异点吗？R，×和R，+呢?定理5-3.3：独异点U，关于运算“”的运算表中的任意两行（列）都不相同。EX：考察NK,+K与NK,×K是否是独异点?定理5-3.4：设S,*是独异点,对于任意a,bS,且a,b均有逆元,则(1)(a-1)-1=a(2)a*b有逆元,且(a*b)-1=b-1*a-1课堂练习:P190(5)半群30§5.4群与子群一、群的定义1．设G,*是一个代数系统，其中G非空,*是G上的二元运算,若:(1)*关于G封闭(广群)(2)*是可结合的(半群)(3)系统中含有幺元(独异点)(4)对于任意的xG,则有x-1G(群)2．如果G,*是群，且G是有限集，则称G,*是有限群，否则称为无限群。若G,*为有限群，G的基数通常称为该有限群的阶数，记为|G|。若G,*为无限群，则其阶是无穷大。31广群半群群独异点群32EX：由一个元素构成的代数系统{a}，是群吗？EX：①Q{0}，*是一个群吗？Q是有理数集，*是普通的乘法运算。②I，*，I是整数集，*是普通的乘法运算。③P(A),呢?其中,A={a,b,c}aaa群33群的几个重要定理：定理1：一个阶大于1的群没有零元。反证：设群G,*的阶大于1，且其零元是θ,则对群中任意元素xG，有：x*θ=θ*x=θ，设幺元为e，由代数系统的性质知，阶大