两大连续分布与边缘概率分布3-2

退出退出五一四二三退出(,)(),0,1aba,bxL其它退出返回1.二维均匀分布(X，Y)的概率密度(联合密度函数)G:平面上的有界区域;AG:区域G的面积()(,)1,0,GxG,yfAxy其它【温故知新】一维均匀分布R(a,b)()(),0,1a,bfxxba其它,L(a,b)=b－a退出返回如图,∵区域G的面积例1-1（X，Y）在区域解上服从均匀分布.试写出其联合概率密度.:0102(1)Gxyx，22xy21YXOG011(,)020(1)fxyxxy，，其它，1A1121,2A∴联合概率密度()(,)1,0,Gx,yGAfxy其它退出返回(X，Y)的概率密度(联合概率密度)参数共三组(μ,σ2:两均值标准差组,ρ:相关系数)2.二维正态分布221122(,;,;)Nxxyyfxye22(1)221122221212212()()()()1[2]21(,)1或者xxyyfxy221122222112221221()()()()1(,)exp{[2]}2(1)1退出返回2.二维正态分布221122(,;,;)N*(X1，X2)的概率密度(联合概率密度)12,Xxx其中,所含向量矩阵(包括行列式)的含义为112122det1(,)exp{()()}21CfxxXMCXM21122122det.C12,221111222212222112221221()()()()1(,)exp{[2]}2(1)1xxxxfxx或者矩阵地简记成21122122,C参数共三组【两均值标准差组（μ,σ2）与相关系数组（ρ)】退出返回-10-50510-10-5051000.0050.010.0150.02(,)fxy12120,3,0,XYZ22()18118xye(,)~(0,9;0,9;0).XYN例1-2已知二维随机变量试写出其联合概率密度.解显然,参数从而2121212211222221122()()()()1exp{[2]}2(1)xxyy(,)fxy返回联合概率密度ezmeshc('1/(18*pi)*exp(-(x^2+y^2)/(18))',[-18,18,-18,18])退出返回例如,(X,Y)的联合分布函数F(x,y)＝P{X≤x,Y≤y}＝P{(X≤x)∩(Y≤y)}.从本质上讲，二维联合分布考察的是两随机变量的积事件的概率{,}jijiPXxpYy联合分布列()()ijPXxYy2(),,)(Fxyfxyxy2{()()}PXxYyxy联合概率密度∵P{X≤x,Y≤y}＝P{X≤x}·P{(Y≤y)|(X≤x)}.{,}{,}{}{|}FxPXxYPXxPYXx{}{}()1XPXxPXxFx返回1.(X,Y)关于X和Y的边缘分布函数二维随机变量(X,Y)的联合分布函数F(x,y),当自变量y→＋∞时的极限,称为关于随机变量X的边缘分布函数,记为FX(x);同样,当自变量x→＋∞时的极限,称为关于随机变量Y的边缘分布函数,记为FY(y).换言之,FX(x)=P{X≤x,Y＜＋∞}=P{X≤x}FY(y)=P{X＜＋∞,Y≤y}=P{Y≤y}【联合与边缘分布函数的概率含义】(,)xyF(x,y)=P{X≤x,Y≤y}(,)xyyXFxFxyFx(,()(,)li)mxYFxFyyFy(,()(,)l)im返回2.离散(X,Y)关于X和Y的边缘分布列【求边缘分布列的具体方法】若联合分布列为则关于X的边缘分布列作为一维随机变量的X和Y,在对方可取一切实数值时的分布列和,称为由它们联合起来的二维随机变量(X,Y)分别关于X和Y的边缘分布列..ip.jp{,},,1,2,ijijPXxYyijp1.1,}{{}iiijijjjPXxYxypPXp关于Y的边缘分布列1.1,}{{}jiiijjjiPXxYyypPYp试据之求出（X，Y)的边缘分布律.退出返回解XY130123例2-1将一枚硬币连掷三次时，若用X表示三次中出现正面的次数,用Y表示三次中出现正面的次数与出现反面次数的差的绝对值，则可求出（X，Y)的联合分布律如下：380380180018如表所示，将联合分布列加边,然后逐行逐列地求和．.jp3/41/41/81/83/83/8.ip所得即关于X和Y的两个边缘分布列Pi.与P.j,亦即有退出返回(X,Y)关于X的边缘分布律为Y13P.j3/41/4X1234Pi.1/83/83/81/8(X,Y)关于Y的边缘分布律为退出返回例2-2设随机变量X等可能地在1，2，3，4中取值，随机变量Y则等可能地在1～X中取整数值，求（X，Y)的边缘分布律.(X,Y)的联合分布律Pij可先求出如下解104141XY123414014014121412140140141314131413140141414141414123414141234退出返回XY1234例2-2设随机变量X等可能地在1，2，3，4中取值，随机变量Y则等可能地在1～X中取整数值，求（X，Y)的边缘分布律.014001818001121121120116116116116(X,Y)的联合分布律Pij可先求出如下解1234退出返回再将其“加边”后逐行、逐列地求和,即得边缘分布律Pi.与P.j.ip.jp1/41/41/41/425/4813/487/483/48XY1234例2-2设随机变量X等可能地在1，2，3，4中取值，随机变量Y则等可能地在1～X中取整数值，求（X，Y)的边缘分布律.014001818001121121120116116116116解退出返回(X,Y)关于X的边缘分布律为Y1234P.j25/4813/487/483/48X1234Pi.1/41/41/41/4(X,Y)关于Y的边缘分布律为例2-2设随机变量X等可能地在1，2，3，4中取值，随机变量Y则等可能地在1～X中取整数值，求（X，Y)的边缘分布律.解换言之,只需关于不是该变量的变量将联合密度在整个实轴上积分返回3.连续(X,Y)关于X和Y的边缘概率密度【求边缘概率密度的具体方法】若联合概率密度为则关于X的边缘概率密度,(,)fxy()Xfx关于Y的边缘概率密度(,)fxdyx作为一维随机变量的X和Y,在对方可取一切实数值时的概率密度fX(x)和fY(y),称为由它们共同构成的二维随机变量(X,Y)的关于X和Y的边缘概率密度.(,)fydxy(,[)()]xXfvddFxududxdvxd()Yfy(,()[])yYddFyvdvdydfuduy返回想求关于某变量的边缘概率密度吗？只需关于不是该变量的变量将联合密度在整个实轴上积分退出返回例2-3(X,Y)的联合概率密度(2)01(,)0cyx,yxfxy,其它求常数c和Xfx(),Yfy().XYO(1,1)1解1(,)fxydxdy10(2)xcdx120(2)2xcxdx由归一性得01(2)yxcydxydx524c24.5c0xydy1想求关于某变量的边缘概率密度吗？只需关于不是该变量的变量将联合密度在整个实轴上积分返回Xfydfxyx(,())x1时f(x,y)=0x0时f(x,y)=0y0时f(x,y)=0yx时f(x,y)=0(,),001,fydyxx其它024(2),5001,xyxdyx其它212,01(2),50xxx其它XYO(1,1)例2-3(X,Y)的联合概率密度(2)01(,)0cyx,yxfxy,其它求常数c和Xfx(),Yfy().解11想求关于某变量的边缘概率密度吗？饭要一口一口地吃仗要一个一个地打退出仗要一个一个地打x时f(x,y)=01xy时f(x,y)=0y0时f(x,y)=0y1时f(x,y)=0XYO(1,1)(,())Yfyyfxdx(,),001,fxdxyy其它124(2),5001,yyxdxy其它212,01(34),05yyyy其它11退出返回例2-3(X,Y)的联合概率密度(2)01(,)0cyx,yxfxy,其它求常数c和Xfx(),Yfy().解饭要一口一口地吃只需关于不是该变量的变量将联合密度在整个实轴上积分想求关于某变量的边缘概率密度吗？退出返回解例3-1二维正态量xyxyefxy222(2)2(1)2121(,)Xfydfxyx(,())xxyyedy222(2)2(1)2121(,)~N(0,1;0,1;).XY量的边缘概率密度Xfx(),Yfy().试求该二维正态显然,联合概率密度从而关于X的边缘概率密度222[]22(1)2121xxyedyxyxyexed222[]2(1)22122(1)xteedt2221221122012xueueduxe221.22211()22xe只需关于不是该变量的变量将联合密度在整个实轴上积分退出返回Yfxdfyyx(,())同样,关于Y的边缘概率密度xxyyedx222(2)2(1)2121xyyedx222[]22(1)2121yxyeeydx222[]2(1)22122(1)yteedt222122211()22yeye221.2~N(0,1)Y(,)~N(0,1;0,1;)XY~N(0,1)X解例3-1二维正态量(,)~N(0,1;0,1;).XY试求该二维正态量的边缘概率密度Xfx(),Yfy().想求关于某变量的边缘概率密度吗？21122012yueuedu退出返回2222()221()2yYfye若二维正态量即二维正态量(X,Y)关于X的边缘概率密度关于Y的边缘概率密度222~N(,).Y211~N(,),X2121()211()2xXfxe仿例3-1可推出更一般的结论如下：则其中每个单独的变量都是正态量,且有221122(,)~N(,;,;),XY退出返回解例3-2二维均匀量1,,()()(,)0,axbcydbadcfxy其它(,())Xfydyfxx,0(,),xaxbfydy其它量的边缘概率密度Xfx(),Yfy().试求该二维均匀显然,联合概率密度从而关于X的边缘概率密度,10(),()dcdybadcaxb其它1,()0,axbba其它(,)~R(,;,).XYabcd~R(,).Ycd退出返回解例3-2二维均匀量(,())Yfyyfxdx,0(,),ycydfxdx其它(,)~R(,;,).XYabcd量的边缘概率密度Xfx(),Yf