应用多元统计分析课后习题答案详解北大高惠璇(第八章习题解答)

应用多元统计分析第八章习题解答2第八章因子分析3第八章因子分析35.045.063.0111213131112111232312222121211aaaaaaaaa,9.0,7.0,5.025.07535.0,35.05757,5745.063.0112131231313131213121aaaaaaaaaa75.01,51.01,19.081.011231232212221121aaa4第八章因子分析3132121115.07.09.01FXFXFXm的正交因子模型为故75.000051.000019.0D特殊因子ε＝(ε1,ε2,…,εp)'的协差阵D为：5第八章因子分析).1(,,1)1(.)1772.0,6379.0,7494.0(3672.0,)8432.0,4911.0,2186.0(6795.0,)5075.0,5932.0,6250.0(9633.11828332211QmlllR并计算误差平方和求因子模型的主成分解时取公因子个数的特征值和特征向量为中知已4943.00003091.00002331.0,7111.08312.08757.0)(:1:11DlAm为的因子模型的主成分解解6第八章因子分析02411.001727.00979.0015911.016227.07279.01135.0145.063.01)(1DAARE记7第八章因子分析1951.0)2411.01727.00979.0(2)1(22313122ijijQ故).2(,,2)2(Qm并计算误差平方和求因子模型的主成分解时取公因子个数,6950.07111.04048.08312.01802.08757.0),(:2:2211llAm为的因子模型的主成分解解8第八章因子分析3213221212116950.07111.04048.08312.01802.08757.0201131.00001452.00002007.0FFXFFXFFXmD的正交因子模型为则)(135.0145.063.01)(2DAADAARE9第八章因子分析13097.014975.08008.01DAA00403.000475.01708.002E06611.0)0403.00475.01708.0(2)2(22313122ijijQ故10第八章因子分析(3)试求误差平方和Q(m)＜0.1的主成分解.因Q(2)=0.07331＜0.1，故m=2的主成分解满足要求.,)()(1212212112pmjjpiipmjjpipjijmQ或者利用习题8-4的结果:2023.03943.05966.0]4943.03091.02331.0[3672.06795.0])()()[()()1(222222232222212322Q07331.006149.01348.0]01131.01452.02007.0[3672.0])()()[()2(222222322222123Q11第八章因子分析8-3验证下列矩阵关系式(A为p×m阵).)()()3(;)()()2(;)()()1(1111111111111111DAADAIDAAADAADAIADDDAAADAIIADAADAImmpIAADBm解：利用分块矩阵求逆公式求以下分块矩阵的逆：,,2111122AADBADAIBm记利用附录中分块求逆的二个公式(4.1)和(4.2)有：12第八章因子分析ABAIBAABBBDABABDDAABDDBBBBIAADBmm12111211121112111122111221122111122112221121111由逆矩阵的对应块相等，即得：13第八章因子分析2211221211211112212111111122111211BBABAIBDABBABDAABDDBm1111111111111)()()3()()()2()()(ADAIAAADAIDAADAIAADADAADAIADDAADmmmm把B22·1和B11·2式代入以上各式，可得：由第三式和第二式即得)1()()()(111111ADAADAIAAADAADAIImmm14第八章因子分析8-4证明公因子个数为m的主成分解，其误差平方和Q(m)满足以下不等式其中E＝S-(AA′+D)=(εij),A,D是因子模型的主成分估计.,)(12112pmjjpipjijmQ解：设样本协差阵S有以下谱分解式：iipmiiiimiiiipiillllllS1110p21其中为S的特征值，li为相应的标准特征向量。15第八章因子分析设A,D是因子模型的主成分估计,即,11mmllABBAABABASllBppmm)|(,11有若记)diag(BBD则.,)(DEBBDBBDAASE即16第八章因子分析piipmjjmQDDEDDEEEDEDEBBB(BBBBB(12212)(00)(]tr[)]()tr[()tr)tr故,)()(1212212112pmjjpiipmjjpipjijmQ所以因pmppmmppmmllllBB00),,(1111117第八章因子分析8-5试比较主成分分析和因子分析的相同之处与不同点.因子分析与主成分分析的不同点有:(1)主成分分析不能作为一个模型来描述,它只是通常的变量变换,而因子分析需要构造因子模型;(2)主成分分析中主成分的个数和变量个数p相同,它是将一组具有相关关系的变量变换为一组互不相关的变量(注意应用主成分分析解决实际问题时,一般只选取前m(mp)个主成分),而因子分析的目的是要用尽可能少的公共因子,以便构造一个结构简单的因子模型;18第八章因子分析(3)主成分分析是将主成分表示为原变量的线性组合,而因子分析是将原始变量表示为公因子和特殊因子的线性组合,用假设的公因子来“解释”相关阵的内部依赖关系.这两种分析方法又有一定的联系.当估计方法采用主成分法,因子载荷阵A与主成分的系数相差一个倍数;因子得分与主成分得分也仅相差一个常数.这种情况下可把因子分析看成主成分分析的推广和发展.这两种方法都是降维的统计方法,它们都可用来对样品或变量进行分类.