第讲函数的连续性总结

第三章函数的极限与连续性第七、八节函数的连续性及其性质一、连续函数的概念二.函数的间断点三.连续函数的运算及其基本性质四.初等函数的连续性一、连续函数的概念极限形式增量形式设f(x)在U(x0)内有定义,若)()(lim00xfxfxx则称函数f(x)在点x0处是连续的.1.函数连续性的定义(极限形式)可减弱：x0为聚点函数的连续性是一个局部性的概念,是逐点定义的.定义是整个邻域函数f(x)在点x0处连续,应该满足以下三点：(1)f(x)在U(x0)内有定义；(包括在点x0处有定义).)()3(0xfa(极限值等于函数在点x0处的函数值))(lim)2(0；存在axfxx))(,(0有极限时xfxx函数y=x2在点x=0处是否连续?0lim20xx函数y=x2在点x=0处连续.又且0020xxxyy=x2在U(0)内有定义,例1解函数的连续性是通过极限定义的,当然可以运用《》语言描述它.2.连续性的《－语言》形式设函数f(x)在U(x0)内有定义.,若,当|xx0|时,有则称函数f(x)在点x0处是连续的.|f(x)f(x0)|成立,0xxx)()(0xfxfy定义3.连续性概念的增量形式在某过程中,变量u的终值u2与它的初值u1的差u2u1,称为变量u在u1处的增量,记为u=u2－u1.定义u是一个整体记号,它可以取正值、负值或零.有时我们也称u为变量u在u1处的差分.设函数f(x)在U(x0)内有定义,xU(x0),则称x=xx0为自变量x在x0点处的增量.=f(x0+x)f(x0)y=f(x)f(x0)xyOx0xxyy=f(x)此时,x=x0+x,相应地,函数在点x0点处有增量y连续性概念的增量形式0lim0yx)(0xxx则称f(x)在点x0处连续.设f(x)在U(x0)内有定义.若定义自变量的增量趋于零时,函数的增量也趋于零.4.函数的左、右连续性设函数f(x)在[x0,x0+)内有定义.若)()(lim00xfxfxx则称f(x)在x0点处右连续.设函数f(x)在(x0–,x0]内有定义.若则称f(x)在x0点处左连续.其中,为任意常数.)()(lim00xfxfxx定义)()(lim00xfxfxx)()(lim)(lim000xfxfxfxxxx函数在点x0连续,等价于它在点x0既左连续又右连续.定理讨论y=|x|,x()在点x=0处0||lim0xx0||00xxxyy=|x|在点x=0处连续.xyy=|x|O的连续性.例2解讨论y=sgnx在点x=0处的连续性.sgnx＝1,x0,11limsgnlim00xxx1)1(limsgnlim00xxxsgnx|x=0=sgn0=0故符号函数y=sgnx在点x=0处不连续.0,x=0,1,x0.例3解讨论函数f(x)=x2,x1,在x=1处的连续性.1lim)(lim211xxfxx2)1(lim)(lim11xxfxx,1)1(12xxf函数f(x)在点x=1处不连续.故函数f(x)在点x=1处是左连续的.x+1,x1,但由于)1(1)(lim1fxfx例4解5.函数在区间上的连续性设函数f(x)在开区间(a,b)内有定义.若x0(a,b),f(x)在点x0处连续,则称f(x)在开区间(a,b)内连续,记为f(x)C((a,b)).定义若f(x)C((a,b)),且f(x)在x=a处右连续,在端点x=b处左连续,则称函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,记为f(x)C([a,b]).对半开闭区间和无穷区间可类似定义连续性定义一般地,如果函数f(x)在区间I上连续,则记为f(x)C(I).例5介绍李普希茨(Lipschitz)连续性、赫尔德(hölder)连续性..],[)(,|||)()(|],,[,212121上是李普希茨连续的在则称成立有使得如果存在常数baxfxxLxfxfbaxxL.|||)()(|,2121称为李普希茨条件其中xxLxfxf.]).,([)(,],[)(反之不真则上是李普希茨连续的在如果baCxfbaxf:],[)(上满足赫尔德条件在区间如果函数baxf],[,|||)()(|212121baxxxxLxfxf],[)(,10,,上在区间则称为常数其中baxfL.是赫尔德连续的.,1,即为李普希茨连续时称为赫尔德指数.]).,([)(,],[)(反之不真则上是赫尔德连续的在如果baCxfbaxf.,赫尔德条件是非线性的李普希茨条件是线性的.,;请自己完成的证明连续性赫尔德连续性连续性由李普希茨连续性例).0()(031xxxf二.函数的间断点通常将函数的不连续点叫做函数的间断点.函数f(x)在点x0处连续,应该满足以下三点：(1)f(x)在U(x0)内有定义;(包括在点x0处有定义).)()3(0xfa(极限值等于函数在点x0处的函数值);)(lim)2(0存在axfxx))(,(0有极限时xfxx(1)f(x)在x0处无定义..)(lim(2)0不存在axfxx1.函数间断点的定义满足下述三个条件中的任何一个,则称函数f(x)若函数f(x)在)(U0x内有定义,且在点x0处.)(,)(lim(3)00xfaaxfxx但在点x0处间断,点x0称为函数f(x)的一个间断点：定义求函数间断点的途径:(1)f(x)在x0处无定义,但f(x)在)(U0x内有定义.(2)中至少有一个不存在.)(lim)(lim00xfxfxxxx与(3)存在,但不相等.)(lim)(lim00xfxfxxxx与(4)但af(x0).,)(lim)(lim00axfxfxxxx2.函数间断点的分类函数的间断点第一类间断点第二类间断点跳跃可去无穷振荡其它(1)第一类间断点若x0为函数f(x)的一个间断点,且f(x)的第一类间断点.,)(lim)(lim00存在与xfxfxxxx则称x0为函数定义讨论函数f(x)=x+1x0sinxx0021x在x=0处的连续性.yxO121)(xfyy=sinxy＝x+1由图可知,函数在点x0处间断.例621)0(f)(lim0xfx)(lim0xfx)(lim)(lim00xfxfxx故x=0是f(x)的第一类间断点.将左、右极限存在但不相等的间断点,称为函数的跳跃型间断点.)0)((处有定义在xxf1)1(lim0xx0sinlim0xx解讨论.111)(2处的连续性在xxxxf函数在x=1无定义,2)1(lim11lim121xxxxx而故x=1为函数的第一类间断点.x=1为函数的间断点.yxO11P(1,2)进一步分析该间断点的特点.例7解补充定义211lim|211xxyxx则函数f*(x)在x=1连续.f*(x)=1112xxx2x=1即定义分析211lim21xxx由于这种间断点称为可去间断点.处函数值后,可得到一个新的连续函数,故将在且相等,即极限存在,经过补充定义间断点这个间断点的特点是该处的左、右极限存补充定义f*(x)=)(lim0xfxx,x=x0,)(0xxxf跳跃型间断点可去间断点第一类间断点左右极限存在极限不相等极限相等、补充定义(2)第二类间断点凡不属于第一类的间断点,称为函数的第二类间断点.这算定义吗？定义即左右极限至少有一个不存在的点.讨论函数.01)(处的连续性在xxxfxyOxy1在x=0无定义,xxf1)(x=0为函数的间断点,,1lim)(lim00xxfxx又故x=0为函数的第二类间断点.xxf1)()(lim0xfx所以称它为无穷间断点.由于例8解.01sin)(处的连续性在讨论函数xxxf在x=0处无定义,xxf1sin)(.0为函数的间断点x又xxfxx1sinlim)(lim00不存在,故x=0为函数的第二类间断点.看看该函数的图形.例9解O11xy1sinxy.1sin)(0的振荡型间断点为称xxfx无穷型间断点其它间断点第二类间断点左右极限至少有一个不存在左右极限至少有一个为无穷振荡型间断点左右极限至少有一个振荡三.连续函数的运算及其基本性质回忆函数极限的四则运算的极限存在、函数时设当)()(,0xgxfxx,)(lim0axfxx,)(lim0bxgxx则baxgxfxgxfxxxxxx)(lim)(lim)]()([lim000baxgxfxgxfxxxxxx)(lim)(lim)()(lim000)0()(lim)(lim)()(lim000bbaxgxfxgxfxxxxxx回忆函数极限的四则运算的极限存在、函数时设当)()(,0xgxfxx,)(lim0axfxx,)(lim0bxgxx则baxgxfxgxfxxxxxx)(lim)(lim)]()([lim000baxgxfxgxfxxxxxx)(lim)(lim)()(lim000)0()(lim)(lim)()(lim000bbaxgxfxgxfxxxxxx,)()(0处连续在点、设函数xxgxf)(0xf)(0xg0)]()([)()(00xxxgxfxgxf0)]()([)()(00xxxgxfxgxf)0)(()()()()(0000xgxgxfxgxfxx现在怎么说?1.连续函数的四则运算设函数f(x)、g(x),fi(x)在点x0处连续,,)()(lim00xfxfxx则),,2,1()()(lim00nxfxfiixx即,)()(lim00xgxgxx)()()]()([lim000xgxfxgxfxx(1)有限个在点x0处连续函数的和仍是一个在点x0处连续的函数.即)()()()]()()([lim00201210xfxfxfxfxfxfnnxx)()()]()([lim000xgxfxgxfxx(2)有限个在点x0处连续的函数之积仍是一个在点x0处的连续函数.即)()()()]()()([lim00201210xfxfxfxfxfxfnnxx0)()()()(lim)(lim)()(lim000000xgxgxfxgxfxgxfxxxxxx(3)两个在点x0处连续函数的商,当分母不为零时,仍是一个在点x0处连续函数.即2.几个重要定理这些定理与极限中的定理类似xyy=f(x)y=|f(x)|O若f(x)在区间I上连续,则|f(x)|仍在I上连续.定理1x0I,由f(x)在x0的连续性:,当|xx0|时,有|f(x)f(x0)|此时,由绝对值不等式得||f(x)||f(x0)|||f(x)f(x0)|由x0的任意性,|f(x)|在区间I上连续.(若I为闭区间,则对区间端点时指的左,右极限.)证该定理的逆命题不成立.例如,f(x)=1,x为有理数,1,x为无理数.注意：例10),()()(则函数、设ICxgxf)},(),({min)(1xgxfxIx)}(),({max)(2xgxfxIx.内连续在区间I证,2|)()(|)()()(1xgxfxgxfx由,2|)()(|)()()(2xgxfxgxfx.,立即可证法则运用连续函数四则运算若函数f(x)在点x0连续,且f(x0)0,(或f(x0)0),则必0,使当xU(x0,)时,有