拉普拉斯变换性质

第1页拉普拉斯变换性质第2页1.线性特性若11221212()();()()()()()()LLLftFsftFsaftbftaFsbFs则a和b为任意常数。)()()()()()()()(2211220110221102211sFksFkdtetfkdtetfkdtetfktfktfktfkststst证：第3页例第4页式中f(0-)及f(n)(0-)分别表示f(t)及f(t)的n阶微分f(n)(t)在t=0-时的值。原函数微分性质若若f(t)为单边信号,则f(0-)=0，可简化为10)(1222_)0()(])([_)0('_)0()(])([_)0()(])([),()]([nrrrnnnnfssFsdttfdLfsfsFsdttfdLfssFdttdfLsFtfL则)(})]()([{ssFdttutfdL第5页证_)0()()(|)()()()(_0_0_0_0fssFdtetfstfetdfedtedttdfdttdfLstststst_)0(_)0()(_)0(_)0()(_)0()()()()(1121111_022_022ffsFsffssFsfssFdtedttdfdtedttfddttfdLstst依此类推，可以得到高阶导数的L变换_)0()()()(110rrnnrnnnfssFsdttfd)()(1tfdttdf同理，令则第6页已知试求f’1(t)与f’2(t)的拉氏变换。01tf1(t)(a)01tf2(t)－1(b)010)(),()(21ttetftuetftt例第7页解：ssfssFdttdfLssfssFdttdfL2_)0()(])([_)0()(])([2221111_)0(,0_)0(1)()(2121ffssFsF第8页例•求函数f(t)=tm的拉普拉斯变换!)(,0)0()0(')0()()1(mtffffmm)0()0(')0()]([)]([]![)1(21)(mmmmmffsfstfLstfLmL][]![mmtLsmLsmLmmL!]1[!]![1!][mmsmtL第9页象函数微分性质ssFttfLd)(d)(常用形式：取正整数，则若nssFtftLsFtfLnnnnd)(d)1()()()()()()()()(000tfLdtettfdtedsdtfdtetfdsddssdFststst证明：一阶情况第10页例：t2e-2t(t)←→?t2e-2t(t)←→322)2(2)21(ddssse-2t(t)←→1/(s+2)第11页第12页(1)0(1)011[()](),[()]()(0)(0)()()tttLftFsLfdFsfssffdfd则原函数积分性质证明：ττfττfττfttddd0001f00dedtττfstt000de1dettfsττfssttst①②①②0de1ttfsstsf01ssF第13页对s积分性质ttfsFstde)()(两边对s积分：sstssttfssFdde)(d)(交换积分次序:tstfstsdde)(sssFttfLsFtfLd)()()()(，则若tttfstsde1)(tttftsde)(证明：第14页例：?)(sinttt11)(sin2sttsstttss1arctanarctan2arctand11)(sin2例：?e12tt211e12sstssssssstesst2ln211ln1d)21111(12第15页位移性质)(e)()()(αsFtfLsFtfLtα，则若)(dee)(e)(0αsFttftfLsttαtα证明：)()]([sFtfeLt第16页例2020)(cos:ωsstutωL已知2020)(coseωαsαstutωt所以20200)(sine:ωαsωtutωt同理的拉氏变换求tωtα0cose第17页例第18页例第19页尺度变换性质01)(),()(aasFaatfLsFtfL则若0de)()(tatfatfLst，则令atτ0de)()(aττfatfLτas0de)(1ττfaτasasFa1证明：第20页4.()()()0,0,ftFstft平移性延迟性：则L函数f(t)与f(t)相比,f(t)从t=0开始有非零数值.而f(t)是从t=开始才有非零数值.即延迟了一个时间.从它的图象讲,f(t)是由f(t)沿t轴向右平移而得,其拉氏变换也多一个因子es.Otf(t)f(t)()()()RessftefteFsscLL第21页注意第22页平移（延时）性质)()]()([)()]([000sFettuttfLsFtfLst若证明：)()()]0()0([)()()()]0()0([00000000000sFedteettfttuttfLttttdtettfdtettuttfttuttfLststststst，则有令时移和标度变换都有时:0,0e1)()(baasFabatubatfLabs若第23页解：首先写出f(t)的时域函数表达式0ETtf(t)例求图示锯齿波f(t))()()]()([)(TttuTEttuTETtututTEtf第24页应用拉氏变换的时移特性,有222])1(1[)11()]}([)]()[()]([{)]}()[()]([{)]([)]([)(sesTTEesTessTETtTuLTtuTtLttuLTETtuTTtLttuLTETttuLTEttuLTEsFsTsTsT第25页设f(t)=sinω0t,因而,若t00,试求下列信号的拉氏变换:（1）f(t-t0)=sinω0(t-t0);（2）f(t-t0)·u(t)=sinω0(t-t0)·u(t)（3）f(t)·u(t-t0)=sinω0t·u(t-t0);（4）f(t-t0)·u(t-t0)=sinω0(t-t0)·u(t-t0)。解：四种信号如下图(a)、(b)、(c)、(d)所示。例20200][sinstL第26页0tt0)(sin00tt(a)0tt0)()(sin00tutt(b)0tt0(c)0tt0(d))(sin00ttut)()(sin000ttutt第27页对于（1）和（2）两种信号t≥0的波形相同,因此它们的拉氏变换也相同,即202000000000000021sincos]sincoscos[sin)]([sin)()(ststttttLttLsFsF第28页对于信号（3）,它的拉氏变换是202000000)(0)()()(0003sincos][21][21sin)]([sin)(000000000ststejsejsejdteejdttetttuLsFsttjstjsttjstjstst202000002020020200030000000000000003sincossincos)()()]sin)(coscos)([sin)()(sin)(sin)(000ststesetssetsFttuttttttttuttttttutfststst第29页对于信号（4）,它的拉氏变换是202000040)]()([sin)(settuttLsFst第30页例试求图中所示信号f(t)=e-2t［u(t-2)-u(t-4)］的拉解：为了正确应用拉氏变换的时移特性,有时必须对时域信号f(t)进行恒等变形,大家对此应熟练掌握。)4()2()4()2()(8)4(24)2(222tueetueetuetuetftttt0tf(t)2412][][)]([)2(4)2(2428224seeeeLeeeLetfLssstst第31页求周期函数的单边拉普拉斯变换，或求如图所示单边“周期”函数的拉普拉斯变换。…f(t)0T2T3T4Tt周期信号的拉氏变换第32页解:令f1(t)、f2(t)、f3(t)、…分别表示f(t)第一周期、第二周期、第三周期、…的函数。则f(t)=f1(t)+f2(t)+f3(t)+…=f1(t)+f1(t-T)+f1(t-2T)+…1221112110(1)11()()()()()()()()(1)()1()lim,011()1nsTsTsTsTnsTnnsTnsTsTnsTFsFsFsFsFsFseFseFseeFseeFsneeFse当第33页令为周期因子，由以上推导过程中可以得到周期函数的单边拉氏变换基本步骤为:(1)求f(t)第一周期的象函数f1(t)F1(s)；(2)周期函数的单边拉氏变换等于函数第一周期的象函数乘以周期因子，sTe11sTe11sTesFsF11)()(1周期信号的拉氏变换第34页第35页……E－EE00－EttT2T3T2T…E0T2T3Ttf(t)2T23T(a)(b)2T第36页例：求如图(a)所示周期的半波整流波形的单边象函数。解：半波整流波形第一周期的波形如图(b)所示，可由两个波形叠加，即2/22221)2()2(sin)(sin)2()(sin)(sTesEsETtuTtEttuETtututEtf第37页/21122/2122/222/2/222/2()()(1)1(1)()()1()(1)(1)()(1)(1)()(1)sTsTsTsTsTsTsTsTEftFsesEeFsFseseEeseeEse大家可回去做下周期矩形脉冲信号的拉氏变换，第38页)(lim)0()(lim),()(d)(d)(0ssFftfsFtfttftfst则可以进行拉氏变换，且及若初值定理)(lim)(lim)(lim)0(0tfksssFksFsftss1[()]()()LftFskFs冲数则若包含激函kδ（t），f（t）F1（s）为真分式第39页初值定理证明ttfLfssFd)(d0)(tttfstded)(d0tttftttfststded)(dded)(d000tttffssFstded)(d0