拉普拉斯变换的性质

1一、线性性质与相似性质二、延迟性质与位移性质三、微分性质四、积分性质五、周期函数的像函数六、卷积与卷积定理§9.2Laplace变换的性质2所涉及到的函数的Laplace)(sF)(sG.])([tg在下面给出的基本性质中，且,])([tf变换均假定存在，它们的增长指数均假定为c。对于涉及到的一些运算(如求导、积分、极限及求和等)的次序交换问题，均不另作说明。§9.2Laplace变换的性质3性质证明(略)一、线性性质与相似性质1.线性性质P216P2164,)5cos(cos213sin2sin)(tttttf解.)25()1(1222sss2512122ssss])5cos[]cos[(21])([tttf5解,1121)(sssF)]([)(1sFtf][211s][111s.ee2tt60d)(1exxfaxastax令.1asFa0d)(])([ettaftafts证明性质一、线性性质与相似性质2.相似性质(尺度性质)P2177二、延迟性质与位移性质1.延迟性质则对任一非负实数有设当t0时,0)(tf)]([tf.)(esFs性质.)(esFs0d)(eexxfsxstx令ttftsd)(e证明0d)(])([ettftftsP222P2228二、延迟性质与位移性质1.延迟性质则对任一非负实数有设当t0时,0)(tf)]([tf.)(esFs性质可见，在利用本性质求逆变换时应为：因此，本性质也可以直接表述为：])()([tutf.)(esFs.)()(tutf])([e1sFs注意在延迟性质中专门强调了当t0时这一约定。0)(tf9112s.2esπ])2sin([πt已知,112s][sint解方法一方法二112s.)(s两种方法为什么会得到不同的结果？根据延迟性质有])2sin([πt]cos[t)2()2sin(πtuπt)()2sin(tuπt方法二先平移再充零P222例9.12方法一先充零再平移10]11[1s,)(etut解由于.2,0,2,2ettt根据延迟性质有设求,11)(2esssF例.])([1sF)2(2etut])([1sFP223例9.13修改11证明(略).1)1(12ss]cos[ett例如.1)1(12s]sin[ett性质2.位移性质P223二、延迟性质与位移性质12,0)(limetsttf因此当时，有csRe三、微分性质])([tf.)0()(fssF性质,d)()(00eettfstftsts证明0d)(])([ettftfts0)(detfts由,|)(|etcMtf,|)(|)Re(eetcstsMtf有])([tf.)0()(fssF即得1.导数的象函数▲P217P21713Laplace变换的这一性质非常重要，可用来求解微分方程(组)的初值问题。§9.4将专门介绍）（三、微分性质])([tf;)0()(fssF1.导数的象函数性质其中，应理解为)0()(kf.)(lim)(0tfkt)]([)(tfn.)0()0()0()()1(21nnnnffsfssFs一般地，有▲14]1[!msm.!1msm解利用导数的象函数性质来求解本题以及有!)()(mtfm0)0()0()0()1(mfff由)0()0()0()()1(21mmmmffsfssFs])([)(tfm]![m故有][mt]![1msm])([tfsm,][mmtsP218例9.715由有证明0d)()(ettfsFts三、微分性质2.象函数的导数性质)(sF;])([tft一般地，有)()(sFn.])([)1(tftnn0d)(dd)(ettfssFts0d])([ettfsts0d)(ettftts;])([tft同理可得)()(sFn.])([)1(tftnnP21816.)(2222ss根据象函数的导数性质有]sin[t,22s解已知][22ddss]sin[ttP219例9.817.)4()3224(232326ssss根据线性性质以及象函数的导数性质有tt22cos21,)2cos1(2tt解,2]2cos[22sst已知,1]1[s]cos[22tt]21[dd212222ssssP219例9.918.]4)3[()3(422ss根据位移性质有解,22]2sin[22st已知再由象函数的导数性质有]2sin[3ett,4)3(22s4)3(2dd2ss]2sin[3ettt19四、积分性质1.积分的象函数]d)([0tttf.)(1sFs性质证明令,d)()(0tttftg由微分性质有则且)()(tftg,0)0(g])([tg)0()(gsGs,)(sGsssG1)(])([tg,])([1tfs]d)([0tttf.)(1sFs即得P219P21920四、积分性质]d)([0tttf;)(1sFs1.积分的象函数性质一般地，有21再由积分性质得根据微分性质有解,22]2sin[22st已知2222dd]2sin[sstts1]d2sin[0tttt22)4(4ss22一般地，有ssFssnsssd)(dd次.)(][nttf四、积分性质2.象函数的积分sssFd)(.)(][ttf性质证明(略)23根据象函数的积分性质有,11]sin[2st已知解][sinttsssd112即.arccotdsin0essttst在上式中，如果令s=0，则有.2dsin0πstt启示在Laplace变换及其性质中，如果取s为某些特定的值，就可以用来求一些函数的广义积分。利用拉氏变换计算广义积分P220例9.1024部分基本性质汇总)]()([tgbtfa;)()(sGbsFa)]()([1sGbsFa.)()(tgbtfa线性性质])([taf.1asFa相似性质延迟性质)]([tf.)(esFs.)()(tutf])([e1sFs25微分性质])([tf.)0()(fssF)]([)(tfn.)0()0()0()()1(21nnnnffsfssFs积分性质]d)([0tttf.)(1sFssssFd)(.)(][ttf部分基本性质汇总])([etfta.)(asF位移性质26证明])([tfTTtststtfttf0d)(d)(ee,21II记为0)(d)(exTxfTxs其中，2I令Ttx0d)(eexxfxsTsTse,])([tf即得.d)(110eeTtsTsttf])([tf性质五、周期函数的像函数P22327函数的周期为)(tf,πT解22ssTsTee1122s.2πcths故有TtsTstt0dsin11ee])([tfsTe1122)cossin(esttstsT0P224例9.1428六、卷积与卷积定理1.卷积当时，如果函数满足：0t,0)()(21tftf)()(21tftf.d)()(21tff按照上一章中卷积的定义，两个函数的卷积是指则有)()(21tftf.)0(,d)()(021ttfft显然，由上式给出的卷积的仍然满足交换律、结合律以及分配律等性质。P22429tτtτ0)cos(ττttd)cos(0.sintt)()(21tftfττtτtd)sin(0解tτtt0)sin(tτt0)cos(dP224例9.1530六、卷积与卷积定理2.卷积定理])()([21tftf.)()(21sFsF定理021d)]()([ettftfts0021dd)()(e][ttfftstDtsttffdd)()(e21证明])()([21tftf左边021dd)()(]e[ttfftstDtt(跳过?)31])()([21tftf.)()(21sFsF定理六、卷积与卷积定理2.卷积定理证明左边021dd)()(]e[ttffts令txxxfxssd)(02ee,)(2esFs记为01d)(IfIttfItsd)(e2其中左边)(d)(201esFfs)()(21sFsF右边。32ττtτtd)cos(cos0τtτttd)]2cos([cos210.)sincos(21ttt故有,11)(22sssssF][12ss,cost解由于ttcoscos])([)(1sFtfP225例9.1633利用Laplace变换计算广义积分附：;d)()(0ettfsFts在Laplace变换及其性质中，如果取s为某些特定的值，就可以用来求一些函数的广义积分。)(sF0;d)(ettfttssssFd)(0.d)(etttfts;d)()0(0ttfF)0(F0;d)(ttft0d)(ssF0.d)(tttf注意在使用这些公式时必须谨慎，必要时需要事先考察一下s的取值范围以及广义积分的存在性。P221注34]2cos[t由解0d2cosettts,42ss得.13303d2cosettt42ss3s3s利用Laplace变换计算广义积分附：P221例9.11(1)35][cos1ttssssd)1(12]cos1[t已知解112sss,)1(12ss由积分性质有1ln2122sss,1ln2122ss.2ln211s1s0dcos1etttt221ln21ss即得(返回)利用Laplace变换计算广义积分附：P221例9.11(2)