赋范空间

赋范线性空间(,||||):X1)||||0,||||00xxx且2)||||||||||,xxR3)||||||||||||xyxy令,则满足距离的三个条件,从而赋范空间按此距离成为距离空间,其距离称为由范数诱导的距离.定义若满足则称点列依范数收敛于,记作(,)||||xyxy,(,||||)(1,2,...)nxxXn||||0()nxxnx{}nxlim,or()nnnxxxxn•是区间上的连续函数全体所成的线性空间.当时,规定按范数成为赋范线性空间.[,]Cab[,]ab[,]fCab[,]||||max|()|xabffx||||[,]Cab•空间：E上关于Lebesgue测度的p方可积函数空间。1)按通常的线性运算成线性空间。定义2)由Minkowski不等式知，是一个赋范空间。()pLE1||||(|()|)ppEffxdx()pLE•设是一测度空间，是上的实值（或复值）函数，，设是上的可测函数，且在上是可积的，这种函数的全体记做，简记为。(,)pLE(,,)pLEF||pffE,()EFft(,,)F0pEEf空间•记满足的实（或复）数列全体为。在中规定:由Minkowski不等式可以验证是上的范数。pl1||,1pnnxp{}nxxpl11||||(||)pppnnxxpl||||p•注：如果，Minkowski不等式一般不成立，从而不是上的范数。例如，在中取因此不是范数。01p||||pppLl或12p(1,0,...,0),y=(0,1,0,...,0)xpl12221(||)2nnnxy11222211(||)(||)nnnnxy1||||()2pp空间•令是自然数全体，是的子集全体，是上如下的测度：时，中元素的个数。时，把它看成函数，那末就可以看成。plNFAF()AANF{}pnxl()nxnxpl(,,)plNF空间•是可测集上的可测函数。如果和上的一个有界函数几乎处处相等，称是上的本性有界可测函数。上的本性有界可测函数全体记做。定义：L()fxE()fxE()fxE()LEE0000,||||infsup|()|mEEEEEffx|()|xEesssupfx00:0,..,EEmEst0||||sup|()|xEEffx0000,Pr.||||infsup|()|mEEEEEffx,:0,..,nnnEEmEst1sup|()|||||nxEEfxfn001,0nnEEmE令01||||sup|()|sup|()|||||nxEExEEffxfxfn,n令0||||sup|()|xEEffxnR12(,,...,)nnxxxxR12211||||()nkkxx21||||||nkkxx31||||max||kknxx•和是上的两个范数，若则称是等价的。1||||2||||X12,0,..,CCst12122||||||||||||,CxxCxxX1||||2||||•有限维赋范空间（Minkowski空间）在代数同构意义下，两个有穷维线性空间等价的充要条件是它们有相同的维数。两个有穷维线性空间，如果维数相同，那么它们的拓扑之间有什么关系？定理设有穷维线性空间，与都是上的范数，则与是等价的。表明：具有相同维数的两个有穷维线性赋范空间在代数上是同构的，在拓扑上是同胚的。X1||||2||||X1||||2||||最佳逼近问题•逼近论的一个基本问题：给定了一组函数和一个函数,用的线性组合去逼近(按某种尺度）,问是否有最佳的逼近存在？例如是上的一个周期函数,用去逼近,求在意义下的最佳逼近.12,,...,nf[0,2]12,,...,nff1nkkkf[0,2]pL抽象化处理•给定赋范空间，并给定中的有穷个向量，对求一组数，使得其中X12,,...,neeeX12,,...,n11||||min||||nnnkkkkkkaFxexae12(,,...,).naaaa•在上的最佳逼近元?12{,,...,},nMspaneee(,)inf||||yMxMxy00?,..,(,)(,)xMstxxxMxM严格凸是严格凸的，若有X,,,||||||||1xyXxyxy||||1(,0,1)xy•是严格凸的,是上给定的一组线性无关向量,则,存在唯一的一组最佳逼近系数适合X12{,,...,}neeexX12{,,...,}nX11||||min||||nnnkkkkkkaFxexaeBanach空间•完备的赋范空间称为Banach空间.•任一度量空间存在完备化空间，且在等距同构意义下是唯一的。例不完备，是的完备化空间。QRQ•例（P75）212[2,2],|||||()|Cxxtdt10,-211()1,1-11,12nxnxtnxnxnx22|||||()()|nmnmxxxtxtdt111||2nm..,{}niex是Cauchy列0,21()()1,12nxxtytx但[2,2]([2,2],||||)'.yCCisntaBanachspace[,][,]||||max|()|.tabButCabwiththenormxxtisaBanachspace•例是上一切多项式的全体所成的线性空间，定义范数从而，是赋范线性空间，但却是不完备的。另一方面，在完备空间内稠密。故完备化空间是。[,]Pab[,]Cab[,]||||max|()|,[,]tabxxtxPab[,]ab[,]Pab[,]Pab[,]Pab[,]Cab•从赋范空间完备观点来看，由于是在中稠密(当然稠密是按中距离来说的)的子空间，而是完备空间，但关于范数并不完备，所以不过是按的完备化空间。1||||[,]Cab[,]Lab1|||||()|baxxtdt[,]Lab[,]Lab[,]Lab[,]Cab[,]Cab•度量空间的完备化(以及后来进一步发展起来的具有一致结构的拓扑空间的完备化)，可以毫不夸张地说是整个分析数学的一个重要而基本的思想和方法。由有理数产生实数是这个思想的最早的体现。由Riemann积分扩充为Lebesgue积分，实质上与由连续函数空间完备化为勒贝格可积函数空间是一回事。