多元函数极值理论的应用论文

邯郸学院本科毕业论文题目多元函数极值理论的应用学生###指导教师岳勇讲师年级2008级本科专业数学与应用数学二级学院数学系（系、部）邯郸学院数学系2012年6月郑重声明本人的毕业论文是在指导教师###了的指导下独立撰写完成的。如有剽窃、抄袭、造假等违反学术道德、学术规范和侵权的行为，本人愿意承担由此产生的各种后果，直至法律责任，并愿意通过网络接受公众的监督。特此郑重声明。毕业论文作者（签名）：年月日I多元函数极值理论的应用摘要极值问题可以说是经典微积分学最成功的应用．无论是在科学研究，还是在实际工程，运筹规划，经济管理中，经常要解决怎样使投入量最少，产出最多，效益最高等问题．因此解决这类问题具有现实意义．这些经济和生活问题通常可以转化为数学中的函数问题来探讨，进而转化为求函数中极大值、极小值的问题．本文首先给出多元函数极值问题的起源与发展，之后依次给出二元函数的非条件极值与条件极值理论，三元函数的非条件极值与条件极值理论，多元函数的非条件极值与条件极值理论，以及二元函数、三元函数以及多元函数极值在实际问题中的应用．关键词：多元函数极值条件极值拉格朗日乘数法IIApplicationofmultivariatefunctionextremevaluetheoryZhengJingnaDrectedbyLecturerYueYongABSTRACTExtremumproblemcanbesaidtobethemostsuccessfulapplicationofclassicalcalculus.Bothinscientificresearch,orintheactualengineering,planning,economicmanagement,oftentosolvehowtomakeinvestmentamountisleast,producethemosthighestbenefits,etc.Theseeconomicandlivingproblemsusuallycanbetransformedintomathematicsfunctiontodiscusstheissue,andthenconvertedtoafunctionofthemaximumvalue,minimumvalueproblem.Thispaperfirstgivestheoriginanddevelopmentoftheextremevalueoffunction,followedbygivenbinaryfunctionofthenon-conditionalextremevalueandconditionsofextremevaluetheory,theternaryfunctionofnon-conditionalextremumconditionsofextremevaluetheory,multivariatefunctionofnon-conditionsfortheextremumconditionsofextremevaluetheory,andbinaryfunction,ternaryfunctionandextremevalueoffunctioninpracticalproblems.KEYWORDS：MultiplefunctionExtremevalueConditionalextremumLagrangemultipliermethod1目录摘要..............................................................I外文页.............................................................II前言..............................................................11多元函数极值理论的起源与发展......................................22二元函数极值理论..................................................22.1二元函数非条件极值理论......................................22.1.1二元函数非条件极值的定义..............................22.1.2二元函数非条件极值存在的必要条件......................32.1.3二元函数非条件极值存在的充分条件......................32.1.4二元函数极值的求解方法................................32.2二元函数条件极值理论........................................42.2.1二元函数条件极值的定义................................42.2.2二元函数条件极值的求解方法............................42.3二元函数极值理论的应用......................................53三元函数极值理论..................................................73.1三元函数的非条件极值理论....................................73.1.1三元函数非条件极值的定义..............................73.1.2三元函数非条件极值存在的必要条件......................73.1.3三元函数非条件极值存在的充分条件......................83.1.4三元函数极值的求解方法...............................113.2三元函数的条件极值理论.....................................113.2.1三元函数条件极值的定义...............................113.2.2三元函数条件极值的求解方法...........................113.3三元函数极值理论的应用.....................................124n元函数极值理论...............................................134.1n元函数非条件极值理论....................................134.1.1n元函数非条件极值的定义...........................134.1.2n元函数非条件极值存在的必要条件...................1424.1.3n元函数非条件极值存在的充分条件...................144.1.4n元函数极值的求解方法.............................154.2n元函数的条件极值理论....................................154.2.1n元函数条件极值的定义.............................154.2.2n元函数条件极值的求解方法.........................164.3n元函数极值理论的应用....................................16参考文献...........................................................19致谢.............................................................201前言极端是数学的常态，所以极值问题是数学中最有魅力的一部分．有人说：数学能告诉我们，多样的背后存在统一，极端才是和谐的源泉和基础．从某种意义上说，数学的精神就是追求极端，它永远选择最简单、最美的，当然也是最好的．无论是在科学研究，还是在实际工程，运筹规划，经济管理中，经常要解决怎样使投入量最少，产出最多，效益最高等问题．这些经济和生活问题通常可以转化为数学中的函数问题来探讨，进而转化为求函数中极大值、极小值的问题．解决这类问题具有现实意义，因而多元函数极值理论是多元函数微分学的重要应用．正是由于多元函数极值理论在实际生活中应用广泛，然而涉及多元函数极值理论的文献相当多但过于分散，给初学者带来了很大的不便，已经证明了的理论给出的典型例题还不够，需要加以完善，因此对多元函数极值理论的研究显得尤为重要．本文首先帮助大家抓住多元函数极值理论的关键所在，又配有相应的典型例题，可以使读者少走弯路提高效率，提高他们学习数学的兴趣，进而开阔视野，达到举一反三的效果．21函数极值理论的起源与发展极值问题起源于两个古希腊传说，一是迦太基的建国者狄多女王有一次得到一张水牛皮，父亲许诺给她能用此圈住的土地作为她的嫁妆，于是她命人把水牛皮切成一根皮条，沿海岸圈了一个半圆，这就是所能圈出的最大面积．这个传说的另一个版本是：自从地中海塞浦路斯岛主狄多女王的丈夫被她的兄弟格玛利翁杀死后，女王逃到了非洲海岸，并从当地的一位酋长手中购买了一块土地，在那里建立了迦太基城．这块土地是这样划定的：一个人在一天内犁出的沟能圈起多大的面积，这个城就可以建多大．法国物理学家奥缪拉于18世纪由蜂房的尺寸得到一个启示：蜂房的形状是不是为了使材料最节省而容积最大呢？（数学的提法应当是：同样大的容积，建筑用材最省；或同样多的建筑材料，造成最大的容器）．后来苏格兰数学家经过计算得出的结果竟然和蜂房的尺寸完全一样．此后多元函数极值问题先后被应用在生物学，物理学，以及日常生活中．过去在批判某人或控诉旧社会时人们爱用的一个词就是“无所不用其极”，其实这就是数学和数学家的本质．1971年，哥伦比亚大学杜卡用电子计算机经过47.5小时的计算，将2至少展开到了小数点后1000082位，成为迄今为止最长的一个无理数方根．这种极端做法是为了要验证2的一个特殊性质——正态性．在数学历史上许多极值问题的提出和解决极大地推动了数学的发展．2函数极值理论2.1二元函数非条件极值理论2.1.1二元函数非条件极值的定义定义1]1[设函数),(yxfz在点),(00yx的某个邻域内有定义，对该邻域内异于),(00yx的点),(yx,如果都适合不等式),(),(00yxfyxf，3则称函数在点),(00yx取极大值；如果都适合不等式),(),(00yxfyxf，则称函数在点),(00yx取极小值．极大值与极小值统称为函数的极值，使函数取得极值的点称为极值点．该定义亦可推广到多元函数的情形．2.1.2二元函数非条件极值存在的必要条件定理1]1[设函数),(yxf在点),(000yxP具有偏导数且取得极值，则它在该点的偏导数必为零，即0),(),(0000yxfyxfyx．证明见参考文献[2]．2.1.3二元函数非条件极值存在的充分条件定理2]2[设函数),(yxfz在点),(00yx的某邻域内连续，且有一阶及二阶连续的偏导数,又0),(),(0000yxfyxfyx，记),(00yxfAxx，),(00yxfBxy，),(00yxfCyy．则函数在),(00yx处是否取得极值的条件如下：(1)02BAC时具有极值，且当0A时有极大值，当0A时有极小值；(2)02BAC时没有极值；(3)02BAC时可能有极值，也可能没有极值，需另作判定．证明见参考文献[2]．2.1.4二元函数极值的求解方法第一步求出函数),(yxfz可疑极值点．首先，根据极值存在的必要条件解方程组40),(0),(yxfyxfyx，求出函数),(yxfz的驻点．之后考虑一阶