多元函数的偏导数

第四节偏导数一、偏导数的概念二、高阶偏导数第二模块函数的微分学称为函数z对x的偏增量，一、偏导数的概念１．偏导数的定义定义，，内有定义在设函数),(),(000xxxyyyxfz则增量),(),(0000-Δyxfyxxf记为xz，如果当时，0x比值的极限存在，xzx即.),(),(0000yxfyxxfzx,,)(Δ000xxxx则称此极限值为函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对x的偏导数，记作,00yyxxxz,00yyxxfx,00yyxxxz,),(00yxfx或即),(00yxfxxzxx0lim.),(),(lim00000xyxfyxxfx同样，z=f(x,y)在点(x0,y0)处对y的偏导数定义为.),(),(limlim000000yyxfyyxfyzyyy-记作,00yyxxyz,00yyxxfy00yyxxyz或),,(00yxfy其中称为函数z对y的偏增量.),(),(0000yxfyyxfzy如果f(x,y)在区域D内每一点(x,y)处对x的偏导数都存在，那么这个偏导数是x,y的函数，此函数称为函数z=f(x,y)对自变量x的偏导函数，记作,xz),,(yxfxxz).,(yxfx或可以定义函数z=f(x,y)对自变量y的偏导函数，类似地，记作,yz),,(yxfyyz).,(yxfy或在不致混淆的情况下，偏导函数也称偏导数.2.偏导数的求法3223yxyxz求函数例1在点(2,1)处的两个偏导数.解因为,32yxxz,632yxyz所以,1132212yxxz.0162312yxyz例2,)0(xxzy设求证：.2ln1zyzxxzyx证明因为,1yxyxz,lnxxyzy将它们代入等式左边得xxxxyyxyzxxzyxyylnln1ln11.2zxxyy所以.2ln1zyzxxzyx例3,222zyxu设求证：.1222zuyuxu证明xzyxzyxxu)(21222222,222uxzyxx,uyyu同理，得,uzzu代入等式左边得,1222222222uuuzyxzuyuxu所以有.1222zuyuxu例5已知气态方程PV=RT(R是常数)，求证.1PTTVVP证明,VRTP由,2VRTVP得,PRTV由,PRTV得,RPVT由.RVPT得PTTVVPRVPRVRT2.1RTRTVPRT所以1PTTVVP这个例子说明：偏导数的记号是一个整体，yzxz、不能看成z与x或z与y之商.代入等式左边得例6设,0,),(2222yxyxxyyxg,0022yx，).0,0(),0,0(yxgg求)0,0(xgxzxx0limxgxgx)0,0()0,0(lim0.00lim00lim00xxx类似地可以求得.0)0,0(yg必须分别按定义计算，求g(x,y)在(0,0)处的两个偏导数，解3.偏导数的几何意义我们知道一元函数y=f(x)的导数的几何意义是曲线y=f(x)在点(x0,y0)处切线的斜率，而二元函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处的偏导数，因此二元函数z=f(x,y)的偏导数的几何意义也是曲线切线的斜率.实际上就是一元函数z=f(x,y0)及z=f(x0,y)分别在点x=x0及y=y0处的导数．在点(x0,y0,f(x0,y0))处的切线的斜率，.tan00yyxxxz即,),(000yxfzyyxzyyxx曲线是如在点(x0,y0,f(x0,y0))处的切线的斜率,同理00yyxxyz是曲线,),(0yxfzxx.tan00yyxxyz即二、高阶偏导数函数z=f(x,y)的两个偏导数),,(yxfxzx),,(yxfyzy一般说来仍然是x,y的函数，如果这两个函数关于x,y的偏导数也存在，则称它们的偏导数是f(x,y)的二阶偏导数.依照对变量的不同求导次序，二阶偏导数有四个：xzxxzx22xz),(yxfxx;xxzxzyxzyyxz2),(yxfxy;xyzyzxyzxxyz2),(yxfyx;yxzyzyyzy22yz),(yxfyy.yyz其中及称为二阶混合偏导数.),(yxfxy),(yxfyx类似的，可以定义三阶、四阶、…、n阶偏导数，二阶及二阶以上的偏导数称为高阶偏导数，),(,),(yxfyyxfx而称为函数f(x,y)的一阶偏导数.例7求函数的所有二阶偏导数.yxxyzsin2解,sin2yxyxz因为,cos2yxxyz所以22xz)sin2(yxyx,sin2yyxz2)sin2(yxyy,cos21yx22yz)cos(2yxxy,sin2yxxyz2)cos(2yxxx.cos21yx本例中，yxz2xyz2=这不是偶然的，有下述定理：定理如果函数z=f(x,y)在区域D上两个二阶混合偏导数、连续，yxz2xyz2则在区域D上有.22xyzyxz即当二阶混合偏导数在区域D上连续时，求导结果与求导次序无关，证明从略.这个定理也适用于三元及三元以上的函数.例8,arctanxyz设试求yxz2xyz2，.解2211xyxyxz,22yxyxxyyz1112,22yxx222yxyyyxz22222)()20()()()1(yxyyyx,)(22222yxxy222yxxxxyz22222)()02()(1yxxxyx,)(22222yxxy.22xyzyxz验证了例9,exyzu设.3zyxu求解因为,exyzyzxu)e(2xyzyzyyxu)e(xyzyyz]ee[xzyzxyzxyz,e)1(xyzxyzz所以yxuzzyxu23]e)1([xyzxyzzzxyzxyze)1(xyzxyzexyxyzzxyz×e)1(.e)31(222xyzzyxxyz