多元函数的极值与应用

多元函数的极值与应用摘要：本文是有关函数极值问题的解决，它由一元函数极值问题的讲解不断深化到多元函数并且还讲解到函数极值的应用以及奇异性关键词：函数极值:函数极值应用:函数极值奇异性ExtremevalueoffunctionandapplicationAbstract：Thisarticleisaboutthefunctionextremesolutionbyafunctionextremeproblemtoexplainthecontinuousdeepeningtoamulti-functionandexplaintheapplicationoffunctionextremeandsingularKeywords：Functionextreme:functionextendapplication一函数极值理论定义2.1.1[3]设n(2)n元函数12(,,)nzfxxx在点00012(,,,)nxxx的某个邻域内有定义,如果对该邻域内任一异于00012(,,,)nxxx的点12(,,)nxxx都有0001212(,,)(,,,)nnfxxxfxxx(或0001212(,,)(,,,)nnfxxxfxxx)，则称函数在点00012(,,,)nxxx有极大值(或极小值)00012(,,,)nfxxx.极大值、极小值统称为极值，使函数取得极值的点称为极值点.定义2.2.1[3]函数12(,,,)nzfxxx在m个约束条件12(,,,)0inxxx(1,2,,;)immn下的极值称为条件极值.3.多元函数普通极值存在的条件定理3.1（必要条件）若n(2)n元函数12(,,,)nzfxxx在点00012(,,,)nxxx存在偏导数，且在该点取得极值，则有00012(,,,)0ixnfxxx(1,2,,)in备注：使偏导数都为0的点称为驻点，但驻点不一定是极值点.定理3.2[3]（充分条件）设n(2)n元函数12(,,,)nfxxx在00012(,,,)nxxx附近具有二阶连续偏导数，且00012(,,,)nxxx为12(,,,)nzfxxx的驻点.那么当二次型00012,1()(,,,)ijnxxnijijgfxxx正定时，00012(,,,)nfxxx为极小值；当()g负定时，00012(,,,)nfxxx为极大值；当()g不定时，00012(,,,)nfxxx不是极值.记00012(,,,)ijijxxnafxxx，并记11121321222312kkkkkaaaaaaAaaa，它称为f的k阶Hesse矩阵.对于二次型()g正负定的判断有如下定理：定理3.3[3]若det0kA(1,2,,)kn，则二次型()g是正定的，此时00012(,,,)nfxxx为极小值；若(1)det0kkA(1,2,,)kn，则二次型()g是负定的，此时00012(,,,)nfxxx为极大值.特殊地，当2n时，有如下推论：推论3.1若二元函数00(,)(,)zfxyxy在点的某领域内具有一阶和二阶连续偏导数，且0000(,)0,(,)0xyfxyfxy令000000(,),(,),(,)xxxyyyAfxyBfxyCfxy则①当20ACB时，0,0,AA取极大值取极小值.②当20ACB时，没有极值.③当20ACB时，不能确定，需另行讨论.4．介绍多元函数条件极值的若干解法4.1代入消元法通过一个量用其它量代替的方法达到降元效果，将条件极值化为无条件极值问题来解决一些较为简单的条件极值问题，这种方法适用于约束函数较为简单的条件极值求解，有些条件极值很难化为无条件极值来解决.例4.1.1求函数(,,)fxyzxyz在0xyz条件下的极值.解由0xyz解得，2zxy将上式代入函数(,,)fxyz，得g(x,y)=xy(2-x+y)解方程组22'2y20220xygxyygxxyx得驻点1222PP=33（0，0），（，-）2xxyg，222xygxy，2yygx在点1P处，0,2,0ABC22=0240ACB，所以1P不是极值点从而函数(,,)fxyz在相应点(0,0,2)处无极值；在点2P处，44,2,33ABC224424()03333ACB，又403A，所以2P为极小值点因而，函数(,,)fxyz在相应点222(,,)333处有极小值极小值为2228(,,)33327f.4.2拉格朗日乘数法[3]拉格朗日乘数法是求多元函数条件极值的一种常用方法，特别是在约束条件比较多的情况下使用拉格朗日乘数法更方便适用.求目标函数12(,,)nfxxx在条件函数12(,,)0,(1,2,,,)knxxxkmmn组限制下的极值，若12(,,)nfxxx及12(,,)knxxx有连续的偏导数，且Jacobi矩阵111122221212nnmmmnxxxxxxJxxx的秩为m，则可以用拉格朗日乘数法求极值.首先，构造拉格朗日函数12112121(,,,,,,)(,,)(,,)mnmnkknkLxxxfxxxxxx然后，解方程组0,1,2,,0,,2,ikLinxLkim从此方程组中解出驻点的坐标00012(,,)inPxxx(1,2,,)ik，所得驻点是函数极值的可疑点，需进一步判断得出函数的极值.定理4.2.1（充分条件）设点000012(,,,)nxxxx及m个常数12,,,m满足方程组100miiikkklLfxxx(1,2,,;1,2,,)knlm，则当方阵20,12(,,,)mklnnLxxx为正定（负定）矩阵时，0x为满足约束条件的条件极小（大）值点，因此0()fx为满足约束条件的条件极小（大）值.例4.2.1求椭球2222221xyzabc在第一卦限内的切平面与三坐标面所围成的四面体的最小体积.解此椭球在点000(,,)Pxyz处的切平面为000000222222()()()0xyzxxyyzzabc化简,得0002221xyzxyzabc此平面在三个坐标轴上的截距分别为：222000,,abcxyz则此切平面与三坐标面所围成的四面体的体积2220006abcVxyz由题意可知，体积存在最小值，要使V最小，则需000xyz最大；即求目标函数(,,)fxyzxyz在条件2222221xyzabc下的最大值，其中0,0,0xyz，拉格朗日函数为222222(,,,)(1)xyzLxyzxyzabc由22222222220;20;20;1LxyzxaLyxzybLzxyzcxyzabc解得,,333abcxyz;min3(,,)2333abcVVabc说明：以上介绍的两种方法为解多元函数条件极值的常用方法，但在实际解题过程中，我们还可以根据多元函数的一些特点选择其它一些特殊解法来快速解题，如标准量代换法、不等式法、二次方程判别式法、梯度法、数形结合法.4.3标准量代换法求某些有多个变量的条件极值时,我们可以选取某个与这些变量有关的量作为标准量,称其余各量为比较量,然后将比较量用标准量与另外选取的辅助量表示出来,这样就将其变为研究标准量与辅助量间的关系了.如果给定条件是几个变量之和的形式,一般设这几个量的算术平均数为标准量.例4.3.1[4]设xyza,求222uxyz的最小值.解取33xyza为标准量,令,33aaxy,则3az(,为任意实数),从而有222()()()333aaau2222223a22222()33aa等号当且仅当0,即3axyz时成立，所以u的最小值为23a.4.4不等式法[4]4.4.1利用均值不等式均值不等式是常用的不等式，其形式为1212nnnaaaaaan，这里0,1,2kakn，且等号成立的充分条件是12naaa.例4.4.1.1已知11112xyz，(0,0,0)xyz，求(,,)222fxyzxyz的极小值.解0,0,0,xyz(,,)222fxyzxyz14()2xyz1114()()xyzxyz4(3)xyyzxzyxzyzx4(3222)36当且仅当6xyz时，等号成立.4.4.2利用柯西不等式柯西不等式：对于任意实数12,,,naaa和12,,nbbb，总有21122()nnababab2222221212()()nnaaabbb,iiaRbR,当且仅当实数12,,,naaa与1,2,nbbb对应成比例时，等号成立.运用柯西不等式，主要是把目标函数适当变形，进而“配、凑”成柯西不等式的左边或者右边的形式，最终求得极大值或极小值.例4.4.2.1已知222(2)(1)(4)9xyz，求(,,)22fxyzxyz的最值.解首先将(,,)22fxyzxyz变形为(,,)fxyz2(2)2(1)(4)10xyz；再设(,,)2(2)2(1)(4)gxyzxyz，于是，根据柯西不等式及已知条件，有22(2)2(1)(4)xyz2222222(2)1(2)(1)(4)81xyz即：92(2)2(1)(4)9xyz当且仅当222214221(2)(1)(4)9xyzkxyz时，等号成立；即当1435kxyz时，max(,,)9gxyz；当1013kxyz时，min(,,)9gxyz，所以，max(,,)19fxyz，min(,,)1fxyz.4.5二次方程判别式符号法例4.5.1[5]若2221xyz,试求22fxyz的极值.解因为1(2)2yxzf,代入2221xyz得2221(2)104xxzfz即2225(42)(844)0xzfxzfzf(1)这个关于x的二次方程要有实数解,必须222(42)20(844)0zfzfzf即224950fzfz解关于f的二次不等式,得:2225(1)25(1)11zzfzzz显然,求函数f的极值,相当于求225(1)11fzzz(2)或225(1)11fzzz(3)的极值.由(2)得229450zfzf(4)这个关于z的二次方程要有实数解,必须221636(5)0ff,即290f解此关于f的二次不等式,得33f.所以max3f,min3f.把3f代入(4),得23z再把3f,23z代入(1),得13x,最后把3f,23z,13x代入1(2)2yxzf,得23y.所以,当13x,23y,23z时,函数f达到极大值3.同理可得,当13x,23y,23z时,函数f达到极小值-3.也可以从(3)作类似讨论得出f的极大值3和极小值-3.4.6梯度法[6]用梯度法求目标函数12(,,)nfxxx在条件函数时12(,,,)0inxxx(1,2,,,)immn组限制下的极值，方程组1212112(,,,)(,,,)(,,,)0,(1,2,,)mn