多元函数的极值及其求法

机动目录上页下页返回结束【实例】某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每瓶进价1元，外地牌子每瓶进价1.2元，店主估计，如果本地牌子的每瓶卖x元，外地牌子的每瓶卖y元，则每天可卖出705x+4y瓶本地牌子的果汁，80+6x7y瓶外地牌子的果汁，问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可取得最大收益？每天的收益为),(yxf)7680)(2.1()4570)(1(yxyyxx求最大收益即为求二元函数的最大值.一、问题的提出进价：1元售价：x元进价：1.2元售价：y元收益：x1元/瓶收益：y1.2元/瓶机动目录上页下页返回结束的图形观察二元函数22yxexyz播放二、多元函数的极值和最值⑴【实例】1、【二元函数极值的定义】机动目录上页下页返回结束设函数),(yxfz在点),(00yx的某邻域内有定义，对于该邻域内异于),(00yx的点),(yx：若满足不等式),(),(00yxfyxf，则称函数在),(00yx有极大值；若满足),(),(00yxfyxf，则称函数在),(00yx有极小值；极大值、极小值统称为极值，使函数取得极值的点称为极值点.⑵【二元函数极值的定义】【例1】处有极小值．在函数)0,0(4322yxz椭圆抛物面(1)xyzO机动目录上页下页返回结束(2)(3)【例2】处有极大值．在函数)0,0(22yxz【例3】处无极值．在函数)0,0(xyz圆锥面双曲抛物面（马鞍面）xyzOOxyzxyz11机动目录上页下页返回结束2、【多元函数取得极值的条件】【定理1】（必要条件）设函数),(yxfz在点),(00yx具有偏导数，且在点),(00yx处有极值，则它在该点的偏导数必然为零：0),(00yxfx，0),(00yxfy.不妨设),(yxfz在点),(00yx处有极大值,则对于),(00yx的某邻域内任意),(yx),(00yx都有),(yxf),(00yxf,【证】故当0yy，0xx时，有),(0yxf),(00yxf,说明一元函数),(0yxf在0xx处有极大值,必有0),(00yxfx;类似地可证0),(00yxfy.机动目录上页下页返回结束【例如】点)0,0(是函数xyz的驻点，但不是极值点.仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的驻点.驻点可偏导函数极值点【问题】如何判定一个驻点是否为极值点？【注意】驻点极值点举例【推广】如果三元函数),,(zyxfu在点),,(000zyxP具有偏导数，则它在),,(000zyxP有极值的必要条件为0),,(000zyxfx，0),,(000zyxfy，0),,(000zyxfz.机动目录上页下页返回结束又0),(00yxfx,0),(00yxfy，令Ayxfxx),(00,Byxfxy),(00,Cyxfyy),(00,则),(yxf在点),(00yx处是否取得极值的条件如下：（1）02BAC时具有极值，当0A时有极大值，当0A时有极小值；（2）02BAC时没有极值；（3）02BAC时可能有极值,也可能没有极值，还需另作讨论．【定理2】（充分条件）设函数),(yxfz在点),(00yx的某邻域内连续，有一阶及二阶连续偏导数，二元函数极值的判定定理机动目录上页下页返回结束将方程两边分别对yx,求偏导0422204222yyxxzzzyzzzx由函数取极值的必要条件知,驻点为)1,1(P,将上方程组再分别对yx,求偏导数,【补例4】求由方程yxzyx222220104z确定的函数),(yxfz的极值【解】（此为隐函数的极值问题）【教材例4自阅】机动目录上页下页返回结束,21|,0|,21|zzCzBzzAPyyPxyPxx故)2(0)2(122zzACB,函数在P有极值.将)1,1(P代入原方程,有6,221zz,当21z时，041A,所以2)1,1(fz为极小值；当62z时，041A,所以6)1,1(fz为极大值.【此即《高等数学学习指导》P146(32)题】机动目录上页下页返回结束【总结】求可导函数),(yxfz极值的一般步骤：第一步解方程组,0),(yxfx0),(yxfy求出实数解，得驻点.第二步对于每一个驻点),(00yx，求出二阶偏导数的值A、B、C.第三步定出2BAC的符号，再判定是否是极值.机动目录上页下页返回结束（1）有界闭区域上的连续函数求最值的一般方法将函数在D内的所有驻点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值.与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值.3、【二元函数的最值】分为(1)有界闭区域上的连续函数求最值(2)实际问题求最值机动目录上页下页返回结束【补例5】求二元函数)4(),(2yxyxyxfz在直线6yx，x轴和y轴所围成的闭区域D上的最大值与最小值.【解】先求函数在D内的驻点，xyo6yxDD如图,解方程组0)4(),(0)4(2),(222yxyxxyxfyxyxxyyxfyx得区域D内唯一驻点)1,2(,且4)1,2(f,再求),(yxf在D边界上的最值，在边界0x和0y上0),(yxf,机动目录上页下页返回结束在边界6yx上，即xy6于是)2)(6(),(2xxyxf,由02)6(42xxxfx,得4,)(021xx边界点舍去,2|)6(4xxy,64)2,4(f比较后可知4)1,2(f为最大值,64)2,4(f为最小值.xyo6yxD【此即《高等数学学习指导》P146(34)题】)6,0(x机动目录上页下页返回结束求122yxyxz的最大值和最小值.,0)1()(2)1(22222yxyxxyxzx,0)1()(2)1(22222yxyxyyxzy得驻点)21,21(和)21,21(,【解】由【补例6】即边界上的值为零.,21)21,21(z,21)21,21(z所以最大值为21，最小值为21.因为01lim22yxyxyx(夹逼准则)机动目录上页下页返回结束（2）实际问题求最值实际问题中，若据问题的性质，知道最值一定在D的内部取得，而在D内只有一个驻点，则可断定该驻点处的函数值就是实际所求的最值【教材例5】某厂要用铁板做成一个体积为2m3的有盖长方体水箱。问长、宽、高各取怎样的尺寸，才能用料最省.【解】;米米、设水箱的长、宽分为yx米则高为xy2水箱用材料面积为)22(2xyxxyyxyA即)0,0()22(2yxyxxyA目标函数即在定义域内有唯一驻点)2,2(33.23米时，用料最省故长、宽、高均为（课本P112例6自阅）机动目录上页下页返回结束三、条件极值拉格朗日乘数法［实例］小王有200元钱，他决定用来购买两种急需的物品：计算机磁盘和录音磁带，设他购买x张磁盘，y盒录音磁带达到最佳效果，效果函数，每张磁盘8元，每盒磁带10元，问他如何分配这200元以达到最佳效果．yxyxUlnln),(［问题的实质］求在条件下的极值．yxyxUlnln),(200108yx(1)【无条件极值】对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件。1、【无条件极值与条件极值】y盒录音磁带单价：10元x张磁盘单价：8元(2)【条件极值】对自变量有附加条件的极值。机动目录上页下页返回结束［条件极值的求法］法Ⅰ:化为无条件极值如教材例5和补例5法Ⅱ:拉格朗日乘数法对三元以上的函数特别有用⑴拉格朗日乘数法要找函数),(yxfz在条件0),(yx下的可能极值点，先构造函数),(),(),(yxyxfyxF，其中为某一常数，可由.0),(,0),(),(,0),(),(yxyxyxfyxyxfyyxx解出,,yx，其中yx,就是可能的极值点的坐标.2、【拉格朗日乘数法】机动目录上页下页返回结束引进辅助函数),(),(),,(yxyxfyxL0的三个偏导数为、、则上式恰为该函数对yx拉格朗日乘子（乘数）要找函数),(yxfz在条件0),(yx下的可能极值点，步骤：（1）先构造函数),(),(),,(yxyxfyxL，其中为某一常数，（2）列出.0),(,0),(),(,0),(),(yxyxyxfyxyxfyyxx（3）解出,,yx，其中yx,就是可能的极值点的坐标.（4）判断该点是否为极值点（实际问题唯一、必是）【总结—拉格朗日乘数法】称为拉格朗日函数机动目录上页下页返回结束要找),,,(tzyxfu在条件0),,,(tzyx，0),,,(tzyx下的极值，取常数21,为参数，先构造函数),,,(),,,(tzyxftzyxF),,,(),,,(21tzyxtzyx，0),,,(),,,(),,,(21tzyxtzyxtzyxfxxx，0),,,(),,,(),,,(21tzyxtzyxtzyxfyyy，0),,,(),,,(),,,(21tzyxtzyxtzyxfzzz，0),,,(),,,(),,,(21tzyxtzyxtzyxfttt，0),,,(tzyx，0),,,(tzyx.由这个方程组可解出tzyx,,,，即得极值点的坐标.⑵乘数法的推广（条件与自变量均多于两个的情况）机动目录上页下页返回结束【补例7】将正数12分成三个正数zyx,,之和使得zyxu23为最大.【解】令)12(),,(23zyxzyxzyxF,120020323322zyxyxFyzxFzyxFzyx解得唯一驻点)2,4,6(，.691224623maxu则故最大值为机动目录上页下页返回结束【补例8】在第一卦限内作椭球面1222222czbyax的切平面，使切平面与三个坐标面所围成的四面体体积最小，求切点坐标.【解】设),,(000zyxP为椭球面上一点,令1),,(222222czbyaxzyxF,则202|axFPx，202|byFPy，202|czFPz过),,(000zyxP的切平面方程为机动目录上页下页返回结束)(020xxax)(020yyby0)(020zzcz,化简为1202020czzbyyaxx,该切平面在三个轴上的截距各为02xax，02yby，02zcz,所围四面体的体积000222661zyxcbaxyzV,机动目录上页下页返回结束在条件1220220220czbyax下求V的最小值,令,lnlnln000zyxu),,(000zyxG000lnlnlnzyx)1(220220220czbyax,由,010,0,0220220220000cybyaxGGGzyx(转化为求u的最大值)机动目录上页下页返回结束当切点坐标为(3a，3b，3c)时,四面体的体积最小abcV23min.01021021021220220220200200200czbyaxczzbyyaxx可得即30ax30by，30cz（课本P58-59例7、例8自阅）机动目录上页下页返回结束多元函数的极值拉格朗日乘数法—条件极值（取得极值的必要条件、充分条件）多元函数的最值四、小结［条件极值的求法］法Ⅰ:化为无条件极值法Ⅱ:拉格朗日乘数法机动目录上页下页返回结束【思考题】若),(0yxf及),(0yx