多元函数的极值及最值参考

一、最值应用问题函数f在闭域上连续函数f在闭域上可达到最值最值可疑点驻点边界上的最值点特别,当区域内部最值存在,且只有一个极值点P时,)(Pf为极小值)(Pf为最小值(大)(大)依据机动目录上页下页返回结束求最值的一般方法：将函数在D内的所有驻点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值.与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值.1、多元函数的最值例1.求二元函数)4(),(2yxyxyxfz在直线6yx，x轴和y轴所围成的闭区域D上的最大值与最小值.解先求函数在D内的驻点，xyo6yxDD如图,yxyxyxfz4,2解方程组0)4(),(0)4(2),(222yxyxxyxfyxyxxyyxfyx得区域D内唯一驻点)1,2(,且4)1,2(f,再求),(yxf在D边界上的最值，在边界0x和0y上0),(yxf,yxyxyxfz4,2xyo6yxD在边界6yx上，即xy6于是)2)(6(),(2xxyxf,由02)6(42xxxfx,得4,021xx,2|64xxy,64)2,4(f比较后可知4)1,2(f为最大值,64)2,4(f为最小值.xyo6yxDyxyxyxfz4,2例2.求122yxyxz的最大值和最小值.,0)1()(2)1(22222yxyxxyxzx,0)1()(2)1(22222yxyxyyxzy得驻点)21,21(和)21,21(,解由即边界上的值为零.,21)21,21(z,21)21,21(z所以最大值为21，最小值为21.因为01lim22yxyxyx无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件.•例3：某工厂生产某种产品需要两种原料A、B.单价分别为2万元/吨和1万元/吨。已知该产品产量Q（单位：吨）与A、B两种原料的投入量x,y有如下关系：且该产品的出售价为5万元/吨，试确定两种原料A、B的投入量，使获得利润最大。解：设所获得利润为L，yyxxQ52102022yyxxyxQL24104851002522收入成本•02420yLy04810xLx8.4x2.1y有问题的实际意义可知最大值一定存在，又求的唯一驻点。所以函数在驻点处取得最大值。最大利润为：L（4.81.2）=229.6万元yyxxyxQL24104851002522例3.解:设水箱长,宽分别为x,ym,则高为则水箱所用材料的面积为令得驻点某厂要用铁板做一个体积为2根据实际问题可知最小值在定义域内应存在,的有盖长方体水箱问当长、宽、高各取怎样的尺寸时,才能使用料最省?,m2yxyxyx2220)(222xxyA0)(222yyxA因此可断定此唯一驻点就是最小值点.即当长、宽均为高为时,水箱所用材料最省.)2,2(33323222233机动目录上页下页返回结束（无条件极值）例4.有一宽为24cm的长方形铁板,把它折起来做成解:设折起来的边长为xcm,则断面面积x24一个断面为等腰梯形的水槽,倾角为,cos2224xx(21sin)xsincossin2sin2422xxxx224x积最大.)0,120:(2xD为问怎样折法才能使断面面机动目录上页下页返回结束cos24xcos22x0)sin(cos222x令xAsin24sin4x0cossin2xA解得:由题意知,最大值在定义域D内达到,而在域D内只有一个驻点,故此点即为所求.,0sin0xsincossin2sin2422xxxA)0,120:(2xD0cos212xx0)sin(coscos2cos2422xx(cm)8,603x机动目录上页下页返回结束三、条件极值极值问题无条件极值:条件极值:条件极值的求法:方法1代入法.求一元函数的无条件极值问题对自变量只有定义域限制对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制例如,转化,0),(下在条件yx的极值求函数),(yxfz)(0),(xyyx中解出从条件))(,(xxfz机动目录上页下页返回结束2．求条件极值的方法（1）代入法：将条件代入函数，化为无条件极值问题来解。（这对于一类其条件的表达形式较简单的问题，是方便的）（2）Lagrange乘数法：构造辅助函数，化为无条件极值问题。Lagrange乘数法求z=f(x,y)在满足条件(x,y)=0时的极值，方法为：步骤Ⅰ构造函数（为待定常数）步骤Ⅱ解方程组求出实数解(x0,y0)和;步骤Ⅲ判别求出的点(x0,y0)是否为极值点(通常由实际问题的实际意义判定)，并求出极值z0=f(x0,y0)(,,)(,)(,)Fxyfxyxy(,)(,)0(,)(,)0(,)0xxxyyyFfxyxyFfxyxyFxy[注记]：以上方法步骤，也适用于三元以上的多元函数，以及多个条件的情形。例5求表面积为a2，而体积为最大的长方体的体积，及长、宽、高的尺寸。解：xyz22()Sxyyzzxa(,,)VVxyzxyz解得唯一驻点，由题意，知矩形的长宽高各为时，其体积最大。666(,,)666aaa66a2()0Fxzxzy2()0Fxyxyz22()0xyyzzxaF=令2(,,,)[2()]Fxyzxyzxyyzzxa设2()0Fyzyzx22()Sxyyzzxa(,,)VVxyzxyz推广拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形.设解方程组可得到条件极值的可疑点.例如,求函数下的极值.在条件),,(zyxfu,0),,(zyx0),,(zyx),,(),,(),,(21zyxzyxzyxfF机动目录上页下页返回结束例6.要设计一个容量为0V则问题为求x,y,令解方程组解:设x,y,z分别表示长、宽、高,下水箱表面积最小.z使在条件02zyyz02zxxz0)(2yxyx00Vzyx水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？的长方体开口水箱,试问0VzyxyxzyzxS)(2)()(20VzyxyxzyzxFxyz机动目录上页下页返回结束得唯一驻点,2230Vzyx3024V由题意可知合理的设计是存在的,长、宽为高的2倍时，所用材料最省.因此,当高为,340Vxyz机动目录上页下页返回结束思考:1)当水箱封闭时,长、宽、高的尺寸如何?提示:利用对称性可知,30Vzyx2)当开口水箱底部的造价为侧面的二倍时,欲使造价最省,应如何设拉格朗日函数?长、宽、高尺寸如何?提示:)()(20VzyxyxzyzxF2长、宽、高尺寸相等.例7将正数12分成三个正数zyx,,之和使得zyxu23为最大.解令)12(),,(23zyxzyxzyxF,120020323322zyxyxFyzxFzyxFzyx解得唯一驻点)2,4,6(，.691224623maxu则故最大值为内容小结1.函数的极值问题第一步利用必要条件在定义域内找驻点.即解方程组第二步利用充分条件判别驻点是否为极值点.2.函数的条件极值问题(1)简单问题用代入法,),(yxfz0),(0),(yxfyxfyx如对二元函数(2)一般问题用拉格朗日乘数法机动目录上页下页返回结束精品课件！精品课件！设拉格朗日函数如求二元函数下的极值,解方程组第二步判别•比较驻点及边界点上函数值的大小•根据问题的实际意义确定最值第一步找目标函数,确定定义域(及约束条件)3.函数的最值问题在条件求驻点.),(yxfz0),(yx),(),(yxyxfF机动目录上页下页返回结束