多元函数的极值问题

一、二元函数的泰勒公式一元函数)(xf的泰勒公式:20000!2)()()()(hxfhxfxfhxfnnhnxf!)(0)()10(推广多元函数泰勒公式记号(设下面涉及的偏导数连续):),()(00yxfykxh),()(002yxfykxh),()(00yxfykxhm),(),(0000yxfkyxfhyx表示),(),(2),(00200002yxfkyxfkhyxfhyyyxxx),(C000yxyxfkhpmpmpmpmppm•一般地,••表示表示定理1.),(),(00yxyxfz在点设到n+1阶连续偏导数,),(00kyhx为此邻域内任一点,则有),(),(0000yxfkyhxf),()(00yxfkhyx),()(002!21yxfkhyx),()(00!1yxfkhnyxn),()(001!)1(1kyhxfkhRnyxnn)10(nR其中①②①称为f在点(x0,y0)的n阶泰勒公式,②称为其拉格朗日型余项.证:令),10(),()(00tktyhtxft则),()1(,),()0(0000kyhxfyxf利用多元复合函数求导法则可得:),(),()(0000tkythxfktkythxfhtyx),()()0(00yxfkhyx),()(002tkythxfhtxx),(200tkythxfkhyx),(002tkythxfkyy),()()0(002yxfkhyx),(C)(000)(tkythxyxfkhtpmpmpmpmppmm一般地,),()()0(00)(yxfkhmyxm由)(t的麦克劳林公式,得将前述导数公式代入即得二元函数泰勒公式.),()(001!)1(1kyhxfkhRnyxnn说明:(1)余项估计式.因f的各n+1阶偏导数连续,在某闭邻域其绝对值必有上界M,则有1)(!)1(nnkhnMRsincoskh11)sincos(!)1(nnnM)1(max2]1,0[xx利用11)2(!)1(nnnM)(no2(2)当n=0时,得二元函数的拉格朗日中值公式:),(),(0000yxfkyhxf),(00kyhxfhx),(00kyhxfky)10((3)若函数),(yxfz在区域D上的两个一阶偏导数恒为零,.),(常数yxf由中值公式可知在该区域上例1.求函数)0,0()1ln(),(在点yxyxf解:yxyxfyxfyx11),(),(的三阶泰勒公式.2)1(1),(),(),(yxyxfyxfyxfyyyxxx333)1(!2yxyxfpp)3,2,1,0(p444)1(!3yxyxfpp)4,3,2,1,0(p因此,)0,0()(fkhyx)0,0()0,0(yxfkfhkh)0,0()(2fkhyx)0,0()(3fkhyx)0,0()0,0(2)0,0(22yyyxxxfkfkhfh)0,0(C333303ppppppyxfkh2)(kh3)(2kh,0)0,0(f又代入三阶泰勒公式得将ykxh,)1ln(yxyx2)(21yx33)(31Ryx其中),()(43khfkhRyx44)1()(41yxyxykxh)10(的图形观察二元函数22yxexyz播放二、多元函数的极值定义:若函数则称函数在该点取得极大值(极小值).极大值和极小值统称为极值,的某邻域内有使函数取得极值的点1、二元函数极值的定义称为极值点.类比单元函数的极值问题::xfy有水平切线处导数为零(驻点)可能极值点没有水平切线处可能极值点:,yxfz有水平切平面处没有水平切平面处两个偏导数为零(驻点)可能极值点可能极值点(1)(2)例1处有极小值．在函数),(004322yxz例２．处有极大值(0,0)在yxz函数22例３．处无极值(0,0)在yxz函数22(3)xozy.00,00,0yxff有水平切平面.0z在(0,0)处偏导不存在,没有有水平切平面..00,00,0yxff有水平切平面.0z说明:使偏导数都为0的点称为驻点.定理1(必要条件)函数偏导数,证:据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.0),(,0),(0000yxfyxfyx取得极值,取得极值取得极值但驻点不一定是极值点.且在该点取得极值,则有存在故推广如果三元函数),,(zyxfu在点),,(000zyxP具有偏导数，则它在),,(000zyxP有极值的必要条件为0),,(000zyxfx，0),,(000zyxfy，0),,(000zyxfz.例如,有驻点(0,0),但在该点不取极值.驻点极值点问题：如何判定一个驻点是否为极值点？时,具有极值且定理2(充分条件)的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数,且令则:1)当A0(C0)时取极大值;A0(C0)时取极小值.2)当3)当时,没有极值.时,不能确定,需另行讨论.若函数的在点),(),(00yxyxfz0),(,0),(0000yxfyxfyx),(,),(,),(000000yxfCyxfByxfAyyyxxx02BAC02BAC02BAC证:由二元函数的泰勒公式,并注意0),(,0),(0000yxfyxfyx则有),(),(0000yxfkyhxfz20021),([hkyhxfxxkhkyhxfyx),(200]),(200kkyhxfyy,),(),(00连续的二阶偏导数在点由于yxyxf所以Akyhxfxx),(00Bkyhxfyx),(00Ckyhxfyy),(00]2[2221kCkhBhA其中,,是当h→0,k→0时的无穷小量,于是z),(21khQ)(22kh,,很小时因此当kh.),(确定的正负号可由khQz(1)当AC－B2＞0时,必有A≠0,且A与C同号,])()2[(),(2222221kBACkBkhBAhAkhQA])())[(2221kBACkBhAA可见,,0),(,0khQA时当从而△z＞0,因此),(yxf;),(00有极小值在点yx)(2o]2[2221kkhh,0),(,0khQA时当从而△z＜0,在点因此),(yxf;),(00有极大值yx(2)当AC－B2＜0时,若A,C不全为零,无妨设A≠0,则]))[(),(221kkBhAkhQA)(2BAC),(0)()(),(0000yxyyBxxAyx接近沿直线当时,有,0kBhAAkhQ与故),(异号;),(yx当,),(0000时接近沿直线yxyy,0k有AkhQ与故),(同号.可见△z在(x0,y0)邻近有正有负,在点因此),(yxf;),(00无极值yxxy),(00yxo++－xy),(00yxo若A＝C＝0,则必有B≠0,不妨设B＞0,此时222),(kCkhBhAkhQ),(00kyhx对点,,同号时当kh,0),(khQ,,异号时当kh,0),(khQ可见△z在(x0,y0)邻近有正有负,在点因此),(yxf;),(00无极值yxkhB2,0z从而,0z从而(3)当AC－B2＝0时,若A≠0,则21)(),(kBhAkhQA若A＝0,则B＝0,2),(kCkhQ可能),(khQ为零或非零此时)(),(221okhQz因此,)(,0),(2确定的正负号由时因为ozkhQ不能断定(x0,y0)是否为极值点.求函数),(yxfz极值的一般步骤：第一步解方程组,0),(yxfx0),(yxfy求出实数解，得驻点.第二步对于每一个驻点),(00yx，求出二阶偏导数的值A、B、C.第三步定出2BAC的符号，再判定是否是极值.例1.求函数解:第一步求驻点.得驻点:(1,0),(1,2),(–3,0),(–3,2).第二步判别.在点(1,0)处为极小值;解方程组ABC的极值.求二阶偏导数,66),(xyxfxx,0),(yxfyx66),(yyxfyy,06122BAC,0A在点(3,0)处不是极值;在点(3,2)处为极大值.,66),(xyxfxx,0),(yxfyx66),(yyxfyy,06122BAC,0)6(122BAC,0A在点(1,2)处不是极值;,0)6(122BACABC例2.讨论函数及是否取得极值.解:显然(0,0)都是它们的驻点,在(0,0)点邻域内的取值,因此z(0,0)不是极值.因此,022时当yx222)(yxz0)0,0(z为极小值.正负0在点(0,0)xyzo并且在(0,0)都有可能为三、多元函数的最值函数f在闭域上连续函数f在闭域上可达到最值最值可疑点驻点边界上的最值点特别,当区域内部最值存在,且只有一个极值点P时,)(Pf为极小值)(Pf为最小值(大)(大)依据例3.解:设水箱长,宽分别为x,y,z(m),有xyz=2，于是水箱所用材料的面积为令得驻点某厂要用铁板做一个体积为2根据实际问题可知最小值在定义域内应存在,的有盖长方体水问当长、宽、高各取怎样的尺寸时,才能使用料最省?yxyx2220)(222xxyA0)(222yyxA因此可断定此唯一驻点就是最小值点.即当长、宽均为高为时,水箱所用材料最省.)2,2(333232222332m,xy则z=例5求二元函数)4(),(2yxyxyxfz在直线6yx，x轴和y轴所围成的闭区域D上的最大值与最小值.解先求函数在D内的驻点，xyo6yxD解方程组0)4(),(0)4(2),(222yxyxxyxfyxyxxyyxfyx得区域D内唯一驻点)1,2(,且4)1,2(f,再求),(yxf在D边界上的最值，在边界0x和0y上0),(yxf,在边界6yx上，即xy6于是z=)2)(6(),(2xxyxf,由02)6(42xxxz,得4,021xx,2|64xxy,64)2,4(f比较后可知4)1,2(f为最大值,64)2,4(f为最小值.xyo6yxD例6求122yxyxz的最大值和最小值.,0)1()(2)1(22222yxyxxyxzx,0)1()(2)1(22222yxyxyyxzy得驻点)21,21(和)21,21(,解由即边界上的值为零.,21)21,21(z,21)21,21(z所以最大值为21，最小值为21.因为01lim22yxyxyx无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件.实例：小王有200元钱，他决定用来购买两种喜爱物品：DVD影碟和音乐CD，设他购买张影碟，张音乐CD达到最佳效果，效果函数为．设每张音乐CD8元，每张影碟10元，问他如何分配这200元以达到最佳效果．xyyxyxUlnln),(问题的实质：求在条件下的极值点．yxyxUlnln),(200108yx四、条件极值极值问题无条件极值:条件极值