23-24-快速傅里叶变换资料

-DIT-FFT算法-IFFT算法1引言FFT:FastFourierTransform1965年，Cooley-Turky发表文章《机器计算傅里叶级数的一种算法》，提出FFT算法，解决DFT运算量太大，在实际使用中受限制的问题。FFT的应用。频谱分析、滤波器实现、实时信号处理等。DSP芯片实现。TI公司的TMS320c30，10MHz时钟，基2-FFT1024点FFT时间15ms。典型应用：信号频谱计算、系统分析等)()(kXnxDFT)()()(nynhnxFFTnhnyIFFTFFTnx)()()(系统分析频谱分析与功率谱计算2直接计算DFT的问题及改进途径10)()(NnknNWnxkX10)(1)(NkknNWkXNnx2.1、DFT与IDFT()Nxn点有限长序列2.2、DFT与IDFT运算特点复数乘法复数加法一个X(k)NN–1N个X(k)(N点DFT)N2N(N–1)10()NnkNnxnWajbcjdacbdjadcb实数乘法实数加法一次复乘42一次复加2一个X(k)4N2N+2(N–1)=2(2N–1)N个X(k)(N点DFT)4N22N(2N–1)同理：IDFT运算量与DFT相同2.3、降低DFT运算量的考虑nkNW的特性*()()()nknkNnknNkNNNN对称性()()nkNnknNkNNN周期性nkmnkNmNWW可约性//nknkmNNmWW0/2(/2)11NkNkNNNN特殊点：2jnknkNNWeNknkNNWWnNnkNNWW2jmnkmNe221NjjNeeFFT算法分类:时间抽选法DIT:Decimation-In-Time频率抽选法DIF:Decimation-In-FrequencyFFTDFTDFTDFTDFT算法的基本思想：利用系数的特性，合并运算中的某些项，把长序列短序列，从而减少其运算量。3按时间抽取（DIT）的FFT算法12/...210)12()()2()(21Nrrxrxrxrx，，，，（DecimationInTime）3.1、算法原理设序列点数N=2L，L为整数。若不满足，则补零将序列x(n)按n的奇偶分成两组：N为2的整数幂的FFT算法称基-2FFT算法。将N点DFT定义式分解为两个长度为N/2的DFT10)()()(NnknNWnxnxDFTkXkrNnNrrkNnNrWrxWrx)12(12/0212/0)12()2(为奇为偶)(12/02/2)(2/12/0121)()(kXNrrkNkNkXrkNNrWrxWWrx)()()(21kXWkXkXkN记：………（1）rkNrkNWW2/2（这一步利用：）,0,1,.../21rkN再利用周期性求X(k)的后半部分/22NkNkkNNNN又)(2)()()(222112/02/112/0)2/(2/11kXkNXkXWrxWrxkNXNrrkNNrkNrNrkNkNrNWW2/)2/(2/)2()2()2()2(12/,...2,1,0)()()(2)2/(121kNXWkNXkNXNkkXWkXkXkNNkN，12/,...2,1,0)()(21NkkXWkXkN，将上式表达的运算用一个专用“蝶形”信流图表示。)(1kX)(2kX)()(21kXWkXkN)()(21kXWkXkNkNW1212()()()()()()2kNkNXkXkWXkNXkXkWXk0,1,...,/21kN注：a.上支路为加法，下支路为减法；b.乘法运算的支路标箭头和系数。用“蝶形结”表示上面运算的分解：328N)0(x)1(x)2(x)3(x)4(x)5(x)6(x)7(x)0(X)1(X)2(X)3(X)4(X)5(X)6(X)7(X1NW0NW2NW3NW)0(1X)1(1X)2(1X)3(1X)0(2X)1(2X(3)2X)2(2XDFTN点2DFTN点2分解后的运算量：复数乘法复数加法一个N/2点DFT(N/2)2N/2(N/2–1)两个N/2点DFTN2/2N(N/2–1)一个蝶形12N/2个蝶形N/2N总计22/2/2/2NNN2/21/2NNNN运算量减少了近一半进一步分解MN2122MN2N4N由于，仍为偶数，因此，两个点DFT又可同样进一步分解为4个点的DFT。1314(2)()(21)()xlxlxlxl0,1,...,/41lN13/2413/24()()()()()()4kNkNXkXkWXkNXkXkWXk0,1,...,14Nk02/NW12/NW)(3lx)(4lx)2(x)4(x)6(x)0(x)0(1X)1(1X)2(1X)3(1X)0(3X)1(3X)0(4X)1(4XDFTN点4DFTN点4“蝶形”信流图表示)(.....nxDFTN点4DFTN点4DFTN点4DFTN点4)2(x)4(x)6(x)0(x)1(x)3(x)5(x)7(x0NW2NW0NW2NW1NW0NW2NW3NW)0(X)1(X)2(X)3(X)4(X)5(X)6(X)(....kX)7(XN点DFT分解为四个N/4点的DFT类似的分解一直继续下去，直到分解为最后的两类蝶形运算为止(2点DFT).如上述N=8=23，N/4=2点中：类似进一步分解1点DFTx(0)1点DFTx(4)X3(0)X3(1)02W进一步简化为蝶形流图：0NWX3(0)X3(1)x(0)x(4))4()0()4()0()0(004/3xWxxWxXNN因此8点FFT时间抽取方法的信流图如下——第一级......)2(x)4(x)6(x)0(x)1(x)3(x)5(x)7(x0NW0NW0NW0NW第二级..............0NW2NW0NW2NW1NW0NW2NW3NW)0(X)1(X)2(X)3(X)4(X)5(X)6(X)7(X第三级......................FFT运算量与运算特点1．N=2L时，共有L=log2N级运算；每一级有N/2个蝶形结。2．每一级有N个数据中间数据，且每级只用到本级的转入中间数据，适合于迭代运算。3．计算量：每级N/2次复乘法，N次复加。（每蝶形只乘一次，加减各一次）。共有L*N/2=N/2log2N次复乘法；复加法L*N=Nlog2N次。与直接DFT定义式运算量相比(倍数)N2/(Nlog2N)。当N大时，此倍数很大。222()2()loglog2FFmDFTNNNmFFTNN与DFT比较可以直观看出:当点数N越大时，FFT的优点更突出。按时间抽取FFT蝶形运算特点1、关于FFT运算的混序与顺序处理（位倒序处理）由于输入序列按时间序位的奇偶抽取，故输入序列是混序的，为此需要先进行混序处理。混序规律：x(n)按n位置进行码位（二进制）倒置规律输入，而非自然排序，即得到混序排列。所以称为位倒序处理。位倒序实现：（1）DSP实现采用位倒序寻址（2）通用计算机实现可以有两个方法：一是严格按照位倒序含义进行；二是倒进位的加N/2。倒位序自然序00000000100410010102201011063011001141001015510101136110111771112102()()xnnnnn倒位序例：计算，。计算点FFT。用时间抽取输入倒序算法，问倒序前寄存器的数和倒序后的数据值？2)(nnx31....2,1,0n32N)13(x)13(x16913)13(2x5232N210)01101()13(102)22()10110(48422)13(2x解：倒序前倒序倒序为倒序后DITFFT中最主要的蝶形运算实现（1）参与蝶形运算的两类结点（信号）间“距离”（码地址）与其所处的第几级蝶形有关；第m级的“结距离”为(即原位计算迭代）（2）每级迭形结构为，12m)2(,...2,1LNLmrNmmmmmrNmmmmWkXkXkXWkXkXkX)2()()2()2()()(1111111FFT算法中一些概念（1）“级”概念将N点DFT先分成两个N/2点DFT，再是四个N/4点DFT…直至N/2个两点DFT.每分一次称为“一”级运算。因为N=2M所以N点DFT可分成M级如上图所示依次m=0,m=1….M-1共M级（2）“组”概念每一级都有N/2个蝶形单元，例如：N=8,则每级都有4个蝶形单元。每一级的N/2个蝶形单元可以分成若干组，每一组具有相同的结构，相同的因子分布，第m级的组数为：rNW12mN例：N=8=23，分3级。m=0级,分成四组,每组系数为m=1级,分成二组,每组系数为m=2级,分成一组,每组系数为080204/28082012/02/,,,382818083210,,,,,,(3)因子的分布rNW121,0,,3,2,102101001238281808828081404408022mkkkkkWm级的系数为看出：第，，，级，，，，级，级，由上可知：结论：每由后向前（m由M-1--0级）推进一级，则此系数为后级系数中偶数序号的那一半。DIT算法的其他形式流图输入倒位序输出自然序输入自然序输出倒位序输入输出均自然序相同几何形状输入倒位序输出自然序输入自然序输出倒位序时间抽取、输入自然顺序、输出倒位序的FFT流图0NW0NW0NW2NW－1－1－10NW－10NW2NW－1－1－1－1X(0)x(0)X(4)x(1)X(2)x(2)X(6)x(3)X(1)x(4)X(5)x(5)X(3)x(6)X(7)x(7)－1－10NW0NW2NW1NW3NW－1－1例用FFT算法处理一幅N×N点的二维图像，如用每秒可做10万次复数乘法的计算机，当N=1024时，问需要多少时间（不考虑加法运算时间）？例用FFT算法处理一幅N×N点的二维图像，如用每秒可做10万次复数乘法的计算机，当N=1024时，问需要多少时间（不考虑加法运算时间）？解当N=1024点时，FFT算法处理一幅二维图像所需复数乘法约为次，仅为直接计算DFT所需时间的10万分之一。即原需要3000小时，现在只需要2分钟。722210log2NN-DIT-FFT算法-IFFT算法IDFT的FFT算法一、从定义比较分析knNNkWkXNkXIDFTnx10)(1)]([)(10)()]([)(NnknNWnxnxDFTkX与DFT的比较：1）、旋转因子WN-kn的不同；2）、结果还要乘1/N。)]([10*10****)(1)(1)]([)(kXDFTknNNkknNNkWkXNWkXNkXIDFTnx二、实现算法——直接使用FFT程序的算法**)]([1)(kXDFTNnx共轭FFT共轭乘1/N()Xk*()Xk()xn直接调用FFT子程序计算IFFT的方法：