大学物理力学部分习题

1大学物理习题课——力学部分22运动的守恒定律1、力的时间积累效应(1)冲量vmpFdt(2)动量定理:120ppdtFIt(3)动量守恒定律:0ijijFpppp外时(4)角动量、角动量定理以及角动量守恒定律动量(1)功dAFdS2、力的空间积累效应(2)动能质点的动能质点系的动能212kEmv2112NkiiEmv(3)势能1)保守力2)保守力的判断3)势能重力势能弹性势能引力势能pEmgh212pEkxpMmEGr4(5)机械能守恒定律及能量守恒机械能守恒定律:只有保守内力做功时,质点系的机械能保持不变.能量守恒定律:一个封闭系统经历任何变化时,该系统的所有能量的总和不改变.(4)动能定理质点的动能定理质点系的动能定理2221211122kkkAEEEmvmvkAAE外内5刚体的定轴转动一、描述刚体定轴转动的物理量2iiiJmr转动惯量2Jrdm角位移21角速度ddt角加速度22dddtdt角量和线量的关系2,,tnvvraravr角动量力矩力矩的功21AMd转动动能212kEJ6(1)转动惯量平行轴定理(2)刚体定轴转动定理2zcJJMhMJ二、基本定律(3)定轴转动刚体的动能定理22211122kAEJJ外0A内(4)角动量守恒定律系统所受的对某一固定轴的合外力矩为零时，系统对此轴的总角动量保持不变(5)机械能守恒定律只有保守力做功时，kpEE常量7三、题型以及例题求特殊形状刚体的转动惯量刚体转动定律以及牛顿第二运动定律的应用刚体定轴转动的动能定律、机械能守恒以及角动量守恒的应用8drRd解：在球壳上取圆环:其中环dr=Rd,质量为dm=2Rsindr,其中=m/4R2由薄圆环的转动惯量mr2,可得圆环的转动惯量为：所以：220(1cos)sin2mRdJdJ=dm,(Rsin)2=(m/4R2）2Rsindr(Rsin)2=(m/4R2）2RsinRd(Rsin)222(1cos)sin2mRd例1求质量为m，半径为R的薄球壳的转动惯量。220(1cos)(cos)JmRd3220coscos)3mRmR223mR11例2从一个半径为R的均匀薄圆板上挖去一个半径为R/2的圆板，所形成的圆洞的中心在距圆薄板中心R/2处，所剩薄板的质量为m。求此时薄板对通过原中心与板面垂直的轴的转动惯量。ORR/2O`半径为R的大圆盘对O点的转动惯量为2221112()2233mIMRmRmR由平行轴定理，半径为R/2的小圆盘对O点的转动惯量为22222211()()2228RRImmmR小圆盘面积的质量222241()()2233RRmmmR总转动惯量2121324IIImR解：圆盘质量面密度2224(2)3mmRRR13Mmm大圆盘面积的质量12例3如图所示，两物体的质量分别为m1和m2，滑轮质量为m，半径为r,已知m2与桌面之间的滑动摩擦系数为μ，不计轴承摩擦，求m1下落的加速度和两段绳中的张力。解：rm2m1maT2T2T1T1对m1：)1(111amTgm对m2：)2(222amgmT对滑轮：2121()(3)2aTTrJmrr,)21()(2121111mmmgmmmgmT.)21()(2121222mmmgmmmgmTmmmgmma21)(2121解:（1）因是纯滚动，A点瞬时速度为0,Av由机械能守恒：2220111,(1)222czzmghmghmvJJmR式中由相对速度0,(2)AccvvRvR由（1），（2）解得04()3cvghh0,Afv即摩擦力不做功。mcvmgrfARh0Nxyh例4质量为m，半径为R的均匀圆柱体沿倾角为θ的粗糙斜面，在离地面为h0处从静止开始无滑下滚（纯滚动）。试求1)圆柱体下降到高度为h时它的质心速度vc和转动角速度；2）最大静摩擦系数应满足的条件。04()3cvghh014()3cvghhRR（2）根据质心运动定理sincmgfma以质心为参考点，根据转动定律212cRfJmR由A点瞬时速度为零，有,ccvRaR解得12sin,sin33cfmgag要保证无滑滚动，所需摩擦力f不能大于最大静摩擦力，即cos,11sincos,.33fNmgmgmgtg或15试求1)圆柱体下降到高度为h时它的质心速度vc和转动角速度；2）最大静摩擦系数应满足的条件。解:对圆柱体进行受力分析mcvmgrfARh0Nxyh选A为瞬时转动中心，转动惯量为：232JmR转动定理：23sin2mgRmR由A点瞬时速度为零，对于质心有：,ccvRaR0,AcR16(2)根据质心运动定理sincmgfma解得1sin3fmg要保证无滑滚动，所需摩擦力f不能大于最大静摩擦力，即cos,11sincos,.33fNmgmgmgtg或解得2sin3cag圆柱体质心的速度为042()3ccvaxghh17结果讨论：静摩擦力在能量转换中的作用把刚体边缘与斜面接触点的位移分解为：随质心的平动＋绕质心的转动等值，反向摩擦力对此作负功摩擦力对此作正功二者之和为零，摩擦力使减少的势能不是全部转换为平动动能，而是部分地转换为转动动能。18例5一个内壁光滑的刚性圆环形细管，开始时绕竖直的光滑固定轴oo’自由转动，其转动惯量为J，角速度为0，环的（平均）半径为R.一个质量为m的小球在管内最高点A从静止开始向下滑动。（作业4.23）求:(1)小球滑到环的水平直径的端点B时，环的角速度多大？小球相对于环的速率多大？(2)小球滑到环的最低点C时，环的角速度多大？小球相对于环的速率多大？ABCOO’Rm19小球相对环的速率vB球环（1）求小球在B点时环的角速度B及小球的重力对轴无力矩,环的支持力对轴有力矩321NNNN解：说：小球的角动量守恒（？）对小球从AB的过程：有人选系统：小球但是3N对轴是有力矩的！所以小球的角动量不守恒！其中对轴无力矩，21,NNABCOO’R1N2N3N20所以此系统角动量是守恒的。由于支持力矩是一对内力矩，它始终为零！0外M有如果将系统扩大：小球+环RvmJJB00此v应是vB球地环地球环球地BBBvvvB环地Bv球地Bv球环Bv方向垂直向下，对角动量无贡献所以，此v即vB环地=BRRRmJJBB0ABCOO’R1N2N3N21BmRJ)(2020,BBmRJJ环转动变慢，因小球有了角动量。RRmJJBB0系统：“小球+环+地球”BA过程中，小球与环的一对正压力在小球的功是零；vB球环=？00内非外，且WW所以E机守恒设通过环心的水平面重力势能为0。）环地球环22220212121BBBvv(mJmgRJ则22）环地球环22220212121BBBvv(mJmgRJ)Rv(mJBBB22222121球环得22202mRJRJgRvB球环讨论：（1）量纲对（2）当0=0时，gRvB2球环若选“小球+地球”为系统，好不好？答；不好！ABCOO’R1N2N3N23从环参照系看，环对小球的支持力是不作功的，但环不是惯性系。从地面系看，环对小球的支持力（外力）是作功的，E机不守恒。对“小球+地球”系统，机械能不守恒，由于圆环参考系为非惯性系。小球要受科氏力和惯性离心力，还需考虑它们的功。ABCOO’R1N2N3N24ABCOO’R1N2N3N科氏力与速度垂直，不作功；但惯性离心力要作功，而且这个功（和r都变）不易求。所以，机械能不守恒;而且用功能原理也不容易算。（2）求小球在C点时，环的角速度c及小球相对环的速率vc球环25考虑小球从AC的过程（更简单）同理，对系统：“小球+环”条件：M外=0，角动量守恒000JJc0c环又回到原来的角速度。取C点为重力势能的零点，同理，对系统：“小球+环+地球”条件：只有保守力作功，机械能守恒vc球环=？26球环环地球环球地ccccvvvv球环球地ccvv22202121)2(21球地ccmvJRmgJ可得gRvc4球环由机械能守恒220202121221球环cmvJ)R(mgJ0c将和代入，球环球地ccvv环又回到原来的角速度，球的势能转化为动能。结束27例6两个同样重的小孩，各抓着跨过滑轮的轻绳的一端如图，他们起初都不动，然后右边的小孩用力向上爬绳，另一个小孩仍抓住绳子不动。忽略滑轮的质量和轴的摩擦。问：哪一个小孩先到达滑轮？设滑轮半径为R，两小孩的质量分别为m1、m2，解把小孩看成质点，以滑轮中心为“固定点”，m1=m21m2m(爬)(不爬)28对“m1+m2+轻绳+滑轮”系统：外力：条件：12,,mgmgN0外M所以角动量守恒设两小孩分别以速度上升。21vv,设角动量以指向纸内为正。gm1gm2N0R1m1v1rR0r∥2v2m2rR0r∥29111111111111vRmvrRmvrmPrL)(（指向纸内）111RvmL222112222222vRmvrRmvrmPrL)(（指向纸外）222RvmLgm1gm2N0R1m1v1rR0r∥2v2m2rR0r∥30系统的角动量守恒：021LL02211RvmRvm2211vmvm2121vvmm爬与不爬，两小孩同时到达滑轮！有人说该系统机械能守恒，对不对？有人说该系统动量守恒，对不对？思考：（启动前）（启动后）若，此时系统的角动量也不守恒了，会出现什么情况？21mm讨论不对。不对。31系统所受的合外力矩为（仍以朝向纸内为正）（1）设（右边爬绳的是较轻的小孩）21mm0)21gRmmM（外思考：的方向是什么？外M角动量定理tLMdd外Ld的方向朝向纸外（为负）初始时小孩未动，。0L现在02211RvmvmLLd2211vmvm1m2m(爬)(不爬)322121vvmm即质量为m2（轻的、爬的）小孩先到。（2）设m2m1（右边爬绳的小孩较重）2211vmvm1212vvmm即质量为m1（轻的、不爬的）小孩先到。2211vmvm同理可得，1m2m(爬)(不爬)总之，轻的小孩总是先到，爬绳的小孩不一定先到。33101o2o例7两个均质圆盘对各自轴的转动惯量分别为和，半径分别为r1和r2，开始时圆盘Ⅰ以的角速度旋转，圆盘Ⅱ静止，然后使两盘边沿接触.求：当接触点处无相对滑动时，两圆盘的角速度.1J2J10gm12f1fgm2解：无竖直方向上的运动222yTfmg以O1点为参考点，系统的外力矩2212()()yMTmgrr212()Mfrr作用在系统上的外力矩不为0只能用角动量定律做此题!以两转盘为系统，分析受力0系统的角动量不守恒2N1N2T1Txy34盘1：111frdtdJ盘2：222frdtdJ21210121)(rJrJ不打滑条件：2211rr可解得：212221102211rJrJrJ212221102112rJrJrrJ对盘Ⅰ设顺时针转动为正向21100212121drJdrJ101o2ogm12f1fgm22N1N2T1T对盘Ⅱ逆