大学物理功 动能定理 保守力的功

1一掌握功的概念，能计算变力的功，理解保守力作功的特点及势能的概念，会计算万有引力、重力和弹性力的势能。二掌握动能定理、功能原理和机械能守恒定律，掌握运用守恒定律分析问题的思想和方法。教学基本要求24.1功动能定理一、功与功率1、恒力直线运动的功在质点位移方向的分量与位移大小的乘积。力对空间积累效应用功来表示。θFFS||cosrΔθFArΔFrΔ位移无限小时：dA称为元功元功——质点发生微小的位移过程中，力所作的功rdFdA3解决方法：由微积分的方法1）把路径无限分割成许多小段，任取一小段位移（元位移）；2）在这段位移上质点受的力可以看成是恒力，在该微过程中的元功为：ab1F1θdr３）总功等于各段上元功的代数和，即：||cosrdθFrdFdAbabadsθFrdFdAAcos2.变力曲线运动的功rdθFcosarbrdrro4力的功就是质点所受的力沿质点运动路径的线积分babadsθFrdFdAAcos0900dAθ,dsθFrdθFrdFdAcoscos018090dAθ,090dArdFθ说明：1）功是标量，没有方向，但有大小正负。Fdrabθ54）在直角坐标系中功的解析式：bazyxdz)FdyFdx(FAbardF3）合力的功=分力的功的代数和AA12baAFdr()baFFdr12bbaaFdrFdr122）功是过程量，与路径有关。65）作功与参照系有关。例如：传送带将箱子从低处运到高处，地面上的人看摩擦力作功了，而站在传送带上的人看摩擦力没有作功。静f2.功率定义：力在单位时间内所作的功表征作功快慢的物理量。θυFvFdtrdFdtdAtΔAΔPtΔcoslim07例题某质点沿x轴作直线运动，受力为，试求质点从移动到的过程中该力的功。NixF)(5400xmx10解：1002905454JdxxidxixrdFA)()(8解：（一维运动可以用标量）rdFA＝tadtvv00JtdttdtttA7299363124303302vdtFtdtmF00203212tdtttdtdtdxFFdx例题质量为2kg的质点在力(SI)的作用下，从静止出发，沿x轴正向作直线运动。求前三秒内该力所作的功。itF12＝9例题一抛体质量m，计算从a到b这段路程中重力的功。解：drmgabyx抛体在重力场中运动，mg是一恒量，但m的轨迹是一抛物线，取一元位移dr在这一元段内写出元功与位移的夹角θ时时在变mgmgdrmgdycosmgdsdAFdr()bamgyybamgdycosbaFdsbaAFdr10•建立坐标系；•在过程区间任选一元位移；•写出元功,分析变量关系；•积分计算功；•分析结果的物理意义。计算功的基本步骤∶由此例我们看到，功的计算主要在把握对元功的分析，不论力是在变还是位移的方向在变，我们都只抓住任一元位移中，都可视它们是不变的，因而可写出元功，这叫做微元法。11在计算变力的功时，必须知道力随位移的函数关系，但在有些情况下力的变化比较复杂，难于找出这种固定的函数关系，使变力功的计算变得复杂。作功和物体状态变化有什么关系？二、动能定理力对物体作功，其效果是使质点的运动状态发生变化。12合力对质点所做的功等于质点动能的增量。1、质点的动能定理kkkEΔEEA12是描写物体运动状态的物理量，称为动能。221υmEk质点的动能定理为：，sdFrdFrdFAttdtυdmFt212221212121υmυmυdυmdsdtυdmAvvvv功和动能都与参考系有关；动能定理仅适用于惯性系.注意Fdrabθ131）动能定理的实质，说明了力的空间积累效应是改变了物体的动能。明确几点：2）功是过程量，动能是状态量，动能定理建立起过程量功与状态量动能之间的关系。在计算复杂的外力作功时只须求始末两态的动能变化，即求出该过程的功。bkaEFdr143）A为合外力作功的代数和，不是合外力中某一个力的功。动能定理中的速度必须相对同一个惯性系。4）通过作功，质点与外界进行能量交换。如果外力对物体做负功，质点的动能减少，即物体克服外力作功，是以减少自身的动能为代价。如果外力对物体做正功，质点动能增加；所以，动能是物体因运动而具有的作功的本领。151.一对作用力与反作用力的功)(2112221112rrdfrdfrdfdA1212rdf2112ff这一对相互作用力作功之和为：1221rrr令：设与是质点m1、m2的一对作用力反作用力12f21fdt时间内，m1和m2相对于某参照系有位移和1rd2rd为m1相对于m2的位移。12rd1m2m1r12f21f1rd2rdxyzO2r二、质点系的动能定理161212rdfdA同理：2121rdfdA一对相互作用力的总功等于其中一个质点受的力点乘其相对另一个质点的位移。为m1相对于m2的位移。12rd由于一对作用力的功只取决于两质点间的相对位移，因而与参照系的选择无关。1m2m1r12f21f1rd2rdxyzO2r17对其中第i个质点，动能定理可写为：2022121iiiiivmvmAAi是作用在第i个质点上的所有力对质点i所作的功，它既包括质点系以外其它物体所施的作用力—外力的功Ai外，又包括质点系内其它质点所施的作用力—内力的功Ai内。2022121iiiiiivmvmAA内外2.质点系的动能定理18对所有质点求和：2022121iiiiiivmvmAA内外221iivm为质点系的动能，用表示——质点系的动能定理外力作功与内力作功代数和，等于质点系总动能的增量。式中：kkkiiEEEAAΔ0内外有：kEAAΔ内外kE19注意：内力能改变系统的总动能，但不能改变系统的总动量。因为内力总是成对出现，而一对作用力反作用力的冲量为零，因而内力不能改变系统的动量。比如:子弹射入墙中，墙对子弹的摩擦力作负功，而子弹对墙的摩擦力不作功，所以但是由于质点系内各质点间可以有相对位移，一般情况下，内力的功不一定为零，所以内力作功可以改变质点系的总动能。0内A20例题质量为m的小球系在线的一端，线的另一端固定在墙壁钉子上，线长为l。拉动小球使线保持水平静止后松手，求线摆下角时小球的速率。θlgmTvθθdds解：m以为研究对象，受两力mTmg和0TAdsθmgrdgmAmgcosθθmglθldθmg0sincos0212υmAAAmgTθglvsin221例题一链条总长为l，质量为m。放在桌面上并使其下垂，下垂的长度为a，设链条与桌面的滑动摩擦系数为，令链条从静止开始运动，则：1）到链条离开桌面的过程中，摩擦力对链条做了多少功？2）链条离开桌面时的速率是多少？al-axO解：(1)建坐标系如图lalafdxxllmgμrdfA)(注意：摩擦力作负功！lxlmgμf/)(22)(2)(2allmgμxllmgμla22(2)对链条应用动能定理：21222)()(alμallgv得20210mvAAvfP＋lalmgxdxlmgrdpAlalaP2)(22lalmgμAf2)(2前已得出：2222212)(2)(mvlalmgμlalmg2022121mvmvAAAfP＋＝xl-xxO230dzmgAkdzjdyidxrd)(abmgzmgzkmgPzmgrPAbazzbadd一、重力的功4.2保守力的功势能xyOabrPθrd240kxdxAikxFbabaxxxxkxdxFdxA)2121(22abkxkxAaxbxFxo二、弹性力的功25rrMmGF3bardrrMmGrdFA3三、万有引力的功以为参考系，的位置矢量为.rmM)(tr)(dttrrdmOMab对的万有引力为Mmm由点移动到点时作功为Fab26)(tr)d(ttrrdmOMab)()(abrMmGrMmGAbarrdrrMmGA2)(tr)d(ttrrdbardrrMmGrdFA3rdrφrdrrdrcosrdrrdzyxdzdzydyxdxrdr)(21)(21222227保守力:力所作的功与路径无关，仅决定于相互作用质点的始末位置.二保守力和非保守力aDbaCbrdFrdFabCD)()(abrMmGrMmGA引力功重力功)(abmgzmgzA弹力功)2121(22abkxkxA28非保守力:力所作的功与路径有关。（例如摩擦力、爆炸力等）物体沿闭合路径运动一周时,保守力对它所作的功等于零.abCD0lrdF29保守力做功改变的能量仅由系统内各物体之间的相互作用和相对位置所决定。这种能量称为系统的势能。用Ep表示。作功的结果是使系统的能量改变三、势能)]()[(abrmMGrmMGA)(abmghmghA)2121(22abkxkxA重力的功：弹力的功：万有引力的功：通式：[()()]baAErEr保30保守力的功与势能增量的关系：定义：势能是与物体间相互作用及相对位置有关的能量，pE——保守力做功等于相关势能增量的负值用表示pEcrmMGrEp)(cmghhEp)(ckxxEp221)(重力势能：弹性势能：万有引力势能：)]()([(abrErEA保312.势能的性质•势能属于相互作用的系统共有(动能则属于质点自身)•势能是相对的，势能差是绝对的势能是由系统中物体之间相对位置确定的能量势能的值与势能零点的选择有关•势能是系统状态的函数•只有保守力才能引入相关势能的概念32对于弹性势能，通常规定弹簧处于自然状态（x=0）时为势能零点。对于重力势能，通常规定某一参考平面（h=0）为势能零点。对于万有引力势能，通常规定两物体相距无限远时为势能零点。rMmGrEp)(mghhEp)(221)(kxxEp势能零点的选择33势能的完整定义∶例∶引力势能例∶弹性势能[()]()pbEbpaEaFdr0保mMGrpGrmMEGdrr2kx212pkxEkxdx0例∶重力势能pghEmgdy0mgh34pEzOmgzEp四、势能曲线弹性势能曲线0,0pEx重力势能曲线0,0pEz引力势能曲线0,pErxOpE221kxEpxOpErMmGEp35一、功能原理kEAAΔ内外利用质点系的动能定理：系统内部保守力的功和内部非保守力的功，pEAΔ保保内非保内外内外AAAAA保守力作功等于势能增量的负值pEAAΔ非保内外kEΔpkEEAAΔΔ非保内外)(ΔpkEE4.4功能原理和机械能守恒定律其中内力作功的代数和项可分为：内内iniAA136EEEAApkΔ)(Δ非保内外注意：1）功能原理给出的是机械能的改变与功的关系，只须计算保守内力之外的其它力的功。2）功能定理也只适用于惯性系。pkEEAAΔΔ非保内外)(ΔpkEE定义：机械能为物体系的动能与势能之和。pkEEE质点系的功能原理：质点系机械能的增量等于外力和非