方程的近似解

二、牛顿切线法及其变形三、一般迭代法(补充)方程的近似解一、根的隔离与二分法一、根的隔离与二分法，内只有一个根在若方程],[0)(baxf内严格单调）（在且baxf,)(为则称],[ba.其隔根区间,0)()(,],[)(bfafbaCxf为隔根区间],[ba(1)作图法1.求隔根区间的一般方法;)(估计隔根区间的草图由xfy转化为等价方程将0)(xfOxy)(xfy.)(,)(的草图估计隔根区间由xyxyab)()(xx)(xy)(xyOxyab(2)逐步收索法01,3xx方程例如13xx由图可见只有一个实根,)5.1,1(可转化为.)5.1,1(即为其隔根区间,],[的左端点出发从区间ba以定步长h一步步向右搜索,若0))1(()(hjafjhaf))1(;,1,0(bhjaj.])1([内必有根，则区间hjajha搜索过程也可从b开始,取步长h0.xy213xy1xyO只有且方程0)(xf1a1b2.二分法，设],[)(baCxf，0)()(bfaf，一个根),(ba取中点，21ba1，若0)(1f.1即为所求根则，若0)()(1faf,),(1a则根;,111baa令,),(1b否则对新的隔根区间],[11ba重复以上步骤,反复进行,得,,111bba令],[],[],[11nnbababa的中点若取],[nnba则误差满足)(211nnnab)(121abnab)(211nnnba,的近似根作为0n1a1b例1.用二分法求方程04.19.01.123xxx的近似实根时,要使误差不超过,103至少应对分区间多少次?解:设,4.19.01.1)(23xxxxf),()(Cxf则9.02.23)(2xxxf)067.5(0,),()(单调递增在xf又,04.1)0(f06.1)1(f故该方程只有一个实根,,]1,0[为其一个隔根区间欲使)01(1211nn310必需,100021n即11000log2n96.8可见只要对分区间9次,即可得满足要求的实根近似值10二、牛顿切线法及其变形:)(满足xf0)()(,],[)1bfafba上连续在不变号及上在)()(],[)2xfxfba.),(0)(内有唯一的实根在方程baxf有如下四种情况:xbayOxbayOxbayOxbayO00ff00ff00ff00ff)()(0001xfxfxx牛顿切线法的基本思想:程的近似根.记纵坐标与)(xf同号的端点为,))(,(00xfx用切线近似代替曲线弧求方1x在此点作切线,其方程为))(()(000xxxfxfy令y=0得它与x轴的交点,)0,(1x其中再在点))(,(11xfx作切线,可得近似根.2x如此继续下去,可得求近似根的迭代公式:)()(111nnnnxfxfxx),2,1(n2x称为牛顿迭代公式yxabO0x牛顿法的误差估计:)()(111nnnnxfxfxx由微分中值定理得))(()()(nnxffxf,0)(f)()(fxfxnn,0则得mxfxnn)(说明:用牛顿法时,若过纵坐标与)(xf异号的端点作切线,则切线与x轴焦点的横坐标未必在.],[内ba)(min],[xfmba记yxab1x0x2xO牛顿法的变形:(1)简化牛顿法若用一常数代替,)(1nxf即用平行,)()(10nxfxf代替例如用则得简化牛顿迭代公式.线代替切线,得)()(011xfxfxxnnn),2,1(n优点:，避免每次计算)(1nxf因而节省计算量.缺点:逼近根的速度慢一些.yxaO0xyx0x1x(2)割线法为避免求导运算,,)(1nxf用割线代替切线,2121)()(nnnnxxxfxf即用差商代替从而得迭代公式:)()()()(212111nnnnnnnxxxfxfxfxx2x3x(双点割线法)),3,2(n特点:逼近根的速度快于简化牛顿法,但慢于牛顿法.说明:若将上式中,02xxn换为则为单点割线法,逼近根的速度与简化牛顿法相当.O例2.用切线法求方程074223xxx的近似解,使误差不超过0.01.解:.742)(23xxxxf设由草图可见方程有唯一的正实根,且9)4(,10)3(ff.]43[为一隔根区间，因此上，由于在]43[443)(2xxxf)2)(23(xx046)(xxf)23(2x0)(min]4,3[xfm11)3(fyx34O,40x故取得)4()4(41ffx289468.3而mxfx)(111103.109.0，精度不够故1x再求)68.3()68.3(68.32ffx9.2103.168.363.3mxfx)(2211042.001.0004.0因此得满足精度要求的近似解63.3yx34O三.一般迭代法(补充),)(0)(xxxf转化为等价方程将方程在隔根区,0x间内任取一点按递推公式),2,1()(1nxxnn,nx生成数列,limnnx若则即为原方程的根.①①称为迭代格式,,)(称为迭代函数x称为迭代0x,lim存在称迭代收敛若nnx初值.否则称为发散.例3.用迭代法求方程.]2,1[013内的实根在xx解法1将方程变形为,13xx迭代格式为,131nnxx5.10x取123nnx05.1375.2396.12779.1903发散!解法2将方程变形为,13xx迭代格式为,131nnxx5.10x取12nnx05.135721.133086.17832472.132472.1迭代收敛,1.32472为计算精度范围内的所求根.定理.:],[)(上满足在区间方程baxxbxaxx)()(1且，连续）1)()(2Lxx且，存在），上有唯一解在方程）],[)(1baxxnnnxxbax)(],[210）(证明略)迭代法的敛散性与迭代函数的特性有关.可以证明下述定理: