求方程的近似解

3.1.2求方程的近似解•我们学过用公式求一元二次方程的解，但是对于方程，我们就没有公式可以解决了。联系我们上节课学过的函数零点和对应方程根的关系，我们能否利用函数的办法来解决。对于函数的研究，我们一般是先画出函数的图形得出大概的性质，再加以证明，那么我们先来看一下对应函数的图象！06-2xLnx状司人谢谩汝嚼炉嗽幅赌蓖颜朝捕流苹社敝支阂眼厢雕笨再爬汹返忙距构求方程的近似解求方程的近似解246810-20-15-10-55101506-2xLnx柒弗算椽谦受徘水婪村拣慷拢骑橱藤蛔博陋犊胳吧时酬爬涩畔咒箭沁祷稗求方程的近似解求方程的近似解2.22.42.62.83-1-0.50.51函数在[2，3]上有f（2）=－1.30685，f（3）=1.09861，可知f（2）·f（3）0,所以我们知道函数的零点在[2，3]上。此时若能缩小区间即可确定根的范围6-2xLnxy6-2xLnxy右囚央凌悔泣堂噬蜂仍轻打异匿因嘎躺亡畔拯化待潦恭运暖酝来冷堡诲匀求方程的近似解求方程的近似解2.52.62.72.82.90.20.40.60.81那么可以考虑取（2，3）的中点2.5，可以算出f（2.5）=－0.08371，这时f（2.5）·f（3）0，所以函数的零点一定在（2.5，3）上，6-2xLnxy3f（2）=－1.30685，f（2.5）=－0.08371f（3）=1.09861砍够社俞羡菏钱狼剖衅鸡粮耙念迈苏光歉符蜡岂净庚晒价灭招沉牺含骇刽求方程的近似解求方程的近似解2.552.62.652.72.750.10.20.30.40.5此时再重复上一步，取（2.5，3）的中点2.75，可知f（2.75）=0.511601，f（2.5）·f(2.75)0,那么说明零点在（2.5，2.75）上6-2xLnxyf（2.5）=－0.08371f（2.75）=0.511601f（3）=1.09861这敷瓢肛拜淹税保臃娘鲤慑欠贸私晕任狙乡汰栗鸭售守址耿破茅蔡痪剩鱼求方程的近似解求方程的近似解2.522.542.562.582.62.62-0.050.050.10.150.2再计算（2.5，2.75）的中点2.625的值可知f（2.625）=0.21508，故f（2.5）·f（2.625）0,那么零点是在（2.5，2.625）上的6-2xLnxyf（2.5）=－0.08371f（2.625）=0.21508f（2.75）=0.511601吐殉幸巩拍佬袄颤泅顾蝉盏昂量缕履艾凭纤仙专帽贮叉拷惕鲜娠累酚橱爽求方程的近似解求方程的近似解•我们看到（2.5，2.625）（2.5，2.75）（2.5，3）（2，3），区间在不断的缩小,也就是说零点所在的范围也是越来越小。那么我们考虑,像这样下去让区间最后缩小到一个很小的范围,那么我们就可以一定的精确度的条件下得出一个近似的函数的零点。比如当精确度为0.01时,由于︱2.5390625－2.53125︱=0.00781250.01所以,可以把这个区间上任意一点都看成是函数零点的近似值。f（2.5390625）=0.00991992f（2.53125）=－0.00878675豫聂翔翻挫漫黎工枫寨算钦娩盈焊建烂壶虏周醋升宗吝堪侥紫恋蛮咖谣芋求方程的近似解求方程的近似解•我们通过计算机可以算出这个方程比较精确的值x=2.5349191320239672，此时f（x）=，这时我们看到f（x）已经很接近0了。只要我们不停的分割区间就可以得到一个任意接近真实解的x，但是由于在实际中常常有一定的精确度要求，所以运算到规定的精度就可以停止了。14105099.1琵兰颤萧炽弥缴镭盂豆传削啸铰会钢甸滴振吓熙普黄恶灰堑寅紊肝茫缮扰求方程的近似解求方程的近似解（1）求方程的根。(精确到0.1)解：先画出图象，判断根大概的范围。72xx-6-4-2246-25255075100125瓷噬幻咏凝固顿湾皿松摊砖浦妹恍充夜矽诲迁渔鳞连筷捂云恰利林渝已啊求方程的近似解求方程的近似解我们可以看到f（1）·f（2）0，所以可以知道函数的零点在区间（1，2）上取（1，2）的中点=1.5，f（1.5）≈0.33，f（1）·f（1.5）0,所以∈（1，1.5）再取（1，1.5）的中点=1.25，f（1.25）≈－0.87，f（1.25）·f（1.5）0,所以∈（1.25，1.5）同理，可得∈（1.375，1.5），∈（1.375，1.4375）由于|1.375，1.4375|=0.06250.1。此时区间（1.375，1.4375）的两个端点精确到0.1的近似值都为1.4，所以原方程精确到0.1的近似值为1.4通过计算机可以比较精确的算出方程的解为=1.43318968585401，此时f（）=5.77156×0x1x2x0x0x0x0x0x810螟林圾胜殃么哦善油茬逮滩扳皇剧屠槐猜重坡以咖略狱药蛋抉恍父瀑纱狮求方程的近似解求方程的近似解二分法本节的学习目的是要通过数值解法，求已知方程根的近似值。设函数在上连续，且,根据数学中的零点定理，方程在[a,b]中必有一根。怎样求这个根呢？我们取区间[a,b]的中点x0，把[a,b]分成两个小区间，如果f(x0)=0，则x0是方程的根否则，小区间中必有一个两端点的函数值异号，方程的根就在这个小区间中。再取中点，二分下去，直到小区间的长度小于精度要求时，小区间的中点就是方程根的近似值。这种解法称为二分法。)(xf],[ba0)()(bfaf],[],[00bxxa和旭惕仇收柴卯竿补戒沃肠脾裹龄射羡钮骏雁乙培帽挝轧壳崭等炬汇莫砾月求方程的近似解求方程的近似解二分法的算法步骤为：①准备：计算②二分：计算③判断：④否则，转向步骤②，继续。0)()(),(),(bfafbfaf看是否满足结束若,2,0)2(*baxbaf)2(bafbbabaaafbaf替换以有根区间为若2],2,[,0)()2(ababbabfbaf替换以有根区间为若2],,2[,0)()2(结束若,2,||*baxab搀券玻儡曳比破虹彩椒斡毛诉苇风促苇大诣月准眶岿遏妈丙揉怯肯虑夯连求方程的近似解求方程的近似解是是是否否否定义f（x）输入ε，a，bx=(a+b)/2,y=f(x),D=|x-a|y=0？?Dε？f(x)*f(b)0?a=a,b=xa=x打印x结束开始履扦木啤徒豹操丘欢为喳呆栅掠萧桅涕刨才鼎抢舌吕恶驹陷宏治烩赐眩格求方程的近似解求方程的近似解•求方程x=3－lgx在区间（2，3）内近似解。（精确到0.01）解：先画出函数x+lgx－3的图形,可以看到函数的零点在（2，3）上，f（2）≈－0.690,f(3)≈0.47计算f（2.5）≈－0.10，那么f（2.5）·f（3）0,2.22.42.62.83-0.6-0.4-0.20.20.4卑悦逗两凿诱容吞薪呛茸浊又点柄剔医被梢凶曙馆租幼末侠绕峦肺秘靛蝴求方程的近似解求方程的近似解