23有限元法概述

July15,2011A-1MathModeling-FEMwithANSYSApplication有限元(FEM,FiniteElementMethod)分析（一）——有限元分析概述July15,2011A-2MathModeling-FEMwithANSYSApplication一.有限元发展概论有限元是一门以结构力学和弹性力学为理论基础，以计算机为媒体，以有限元程序为主体，对大型结构工程的数值计算方法。有限元的核心思想是结构的离散化，就是将实际结构假想地离散为有限数目简单单元的组合体，实际结构的物理性能可以通过对离散单元进行分析，得出满足工程精度的近似结果来替代对实际结构的分析。目的：在工程设计阶段时期分析应力和应变是否满足工程的要求。关键词：外力（荷载）内力位移杆件结构力学应力应变弹性力学强度刚度有限元分析July15,2011A-3MathModeling-FEMwithANSYSApplication有限元分析通常借助计算机软件完成，著名工程软件有MSCNASTRAN，ADINA，LS-DYNA，ANSYS，ABAQUS，2D-sigma等。MSC-NASTRAN软件在航空航天领域有着很高的地位，目前世界上规模最大的有限元分析系统。ANSYS软件致力于耦合场的分析计算，能够进行结构、流体、热、电磁四种场的计算。ADINA由于其在非线性求解、流固耦合分析等方面的强大功能，迅速成为有限元分析软件的后起之秀，现已成为非线性分析计算的首选软件。July15,2011A-4MathModeling-FEMwithANSYSApplication国际上有限元分析方法的发展趋势：1、与CAD软件的无缝集成许多商业化有限元分析软件都开发了和著名的CAD软件（例如Pro/ENGINEER、Unigraphics、SolidEdge、SolidWorks、IDEAS、Bentley和AutoCAD等）的接口。有些CAE软件为了实现和CAD软件的无缝集成而采用了CAD的建模技术，如ADINA软件由于采用了基于Parasolid内核的实体建模技术，能和以Parasolid为核心的CAD软件（如Unigraphics、SolidEdge、SolidWorks）实现真正无缝的双向数据交换。July15,2011A-5MathModeling-FEMwithANSYSApplication2、更为强大的网格处理能力(技术难题，关键步骤)有限元法求解问题的基本过程主要包括：分析对象的离散化、有限元求解、计算结果的后处理三部分。结构离散后的网格质量直接影响到求解时间及求解结果的正确性与否，在有些方面一直没有得到改进，如对三维实体模型进行自动六面体网格划分和根据求解结果对模型进行自适应网格划分。自动六面体网格划分是指对三维实体模型程序能自动的划分出六面体网格单元，现在大多数软件都能采用映射、拖拉、扫略等功能生成六面体单元，但这些功能都只能对简单规则模型适用，对于复杂的三维模型则只能采用自动四面体网格划分技术生成四面体单元。July15,2011A-6MathModeling-FEMwithANSYSApplication3、由求解线性问题发展到求解非线性问题随着科学技术的发展，线性理论已经远远不能满足设计的要求，许多工程问题如材料的破坏与失效、裂纹扩展等仅靠线性理论根本不能解决，必须进行非线性分析求解，例如薄板成形就要求同时考虑结构的大位移、大应变（几何非线性）和塑性（材料非线性）；而对塑料、橡胶、陶瓷、混凝土及岩土等材料进行分析或需考虑材料的塑性、蠕变效应时则必须考虑材料非线性。国外较好软件的共同特点是具有高效的非线性求解器、丰富而实用的非线性材料库，ADINA还同时具有隐式和显式两种时间积分方法。July15,2011A-7MathModeling-FEMwithANSYSApplication4、由单一结构场求解发展到耦合场问题的求解现在用于求解结构线性问题的有限元方法和软件已经比较成熟，发展方向是结构非线性、流体动力学和耦合场问题的求解。例如当流体在弯管中流动时，流体压力会使弯管产生变形，而管的变形又反过来影响到流体的流动……这就需要对结构场和流场的有限元分析结果交叉迭代求解，即所谓\流固耦合\的问题。5、程序面向用户的开放性给用户一个开放的环境，允许用户根据自己的实际情况对软件进行扩充，包括用户自定义单元特性、用户自定义材料、用户自定义流场边界条件、用户自定义结构断裂判据和裂纹扩展规律等等。July15,2011A-8MathModeling-FEMwithANSYSApplication二.有限元相关概念•外力：作用在物体外部的力。（重力等）•内力：在外力作用下，物体内部不同部分之间的相互作用力。物体横截面上的合力。•位移：在外力作用下物体的整体变形量。•杆件：长度远远大于横截面高度的构件。•结构力学：研究有许多杆件组成的杆系的内力，位移。•应力：物体横截面上单位面积上的内力。•应力=内力/横截面面积•应变：单位长度上的位移。•应变=位移/构件长度•弹性阶段：去除外力物体还能恢复到外力作用前的形状。•强度：物体能够承受的最大应力。（用于校核结构的安全性）•刚度：物体产生的最大位移。（用于校核结构的适用性）July15,2011A-9MathModeling-FEMwithANSYSApplication有限元模型真实系统有限元模型有限元模型是真实系统理想化的数学抽象。定义July15,2011A-10MathModeling-FEMwithANSYSApplication自由度（DOFs）自由度(DOFs)用于描述一个物理场的响应特性。结构DOFs结构位移热温度电电位流体压力磁磁位方向自由度ROTZUYROTYUXROTXUZJuly15,2011A-11MathModeling-FEMwithANSYSApplication节点和单元节点:空间中的坐标位置，具有一定自由度和存在相互物理作用。单元:一组节点自由度间相互作用的数值、矩阵描述（称为刚度或系数矩阵)。单元有线、面或实体以及二维或三维的单元等种类。有限元模型由一些简单形状的单元组成，单元之间通过节点连接，并承受一定载荷。载荷载荷July15,2011A-12MathModeling-FEMwithANSYSApplication节点和单元(续)每个单元的特性是通过一些线性方程式来描述的。作为一个整体，单元形成了整体结构的数学模型。尽管梯子的有限元模型低于100个方程（即“自由度”），然而在今天一个小的ANSYS分析就可能有5000个未知量，矩阵可能有25，000，000个刚度系数。历史典故早期ANSYS是随计算机硬件而发展壮大的。ANSYS最早是在1970年发布的，运行在价格为＄1，000，000的CDC、由Univac和IBM生产的计算机上，它们的处理能力远远落后于今天的PC机。一台奔腾PC机在几分钟内可求解5000×5000的矩阵系统，而过去则需要几天时间。July15,2011A-13MathModeling-FEMwithANSYSApplication节点和单元(续)信息是通过单元之间的公共节点传递的。分离但节点重叠的单元A和B之间没有信息传递（需进行节点合并处理）具有公共节点的单元之间存在信息传递...AB........AB...1node2nodesJuly15,2011A-14MathModeling-FEMwithANSYSApplication节点和单元(续)节点自由度是随连接该节点单元类型变化的。JIIJJKLILKIPOMNKJIL三维杆单元(铰接)UX,UY,UZ三维梁单元二维或轴对称实体单元UX,UY三维四边形壳单元UX,UY,UZ,三维实体热单元TEMPJPOMNKJIL三维实体结构单元ROTX,ROTY,ROTZROTX,ROTY,ROTZUX,UY,UZ,UX,UY,UZJuly15,2011A-15MathModeling-FEMwithANSYSApplication单元形函数•FEA仅仅求解节点处的DOF值。•单元形函数是一种数学函数，规定了从节点DOF值到单元内所有点处DOF值的计算方法。•因此，单元形函数提供出一种描述单元内部结果的“形状”。•单元形函数描述的是给定单元的一种假定的特性。•单元形函数与真实工作特性吻合好坏程度直接影响求解精度。July15,2011A-16MathModeling-FEMwithANSYSApplication真实的二次曲线.节点单元二次曲线的线性近(不理想结果).2单元形函数(续)节点单元DOF值二次分布..1节点单元线性近似(更理想的结果)真实的二次曲线.....3节点单元二次近似(接近于真实的二次近似拟合)(最理想结果)..4July15,2011A-17MathModeling-FEMwithANSYSApplication单元形函数(续)遵循:•DOF值可以精确或不太精确地等于在节点处的真实解，但单元内的平均值与实际情况吻合得很好。•这些平均意义上的典型解是从单元DOFs推导出来的（如，结构应力，热梯度）。•如果单元形函数不能精确描述单元内部的DOFs，就不能很好地得到导出数据，因为这些导出数据是通过单元形函数推导出来的。July15,2011A-18MathModeling-FEMwithANSYSApplication单元形函数(续)遵循原则:•当选择了某种单元类型时，也就十分确定地选择并接受该种单元类型所假定的单元形函数。•在选定单元类型并随之确定了形函数的情况下，必须确保分析时有足够数量的单元和节点来精确描述所要求解的问题。July15,2011A-19MathModeling-FEMwithANSYSApplicationANSYS/FLOTRANANSYS/EmagANSYS/StructuralANSYS/MultiphysicsANSYS/LS-DYNAANSYS/MechanicalANSYS/LinearPlusANSYS/Thermal三.有限元软件ANSYS模块简介July15,2011A-20MathModeling-FEMwithANSYSApplication1.ANSYS/Mechanical：该模块提供了范围广泛的工程设计分析与优化功能，这些功能包括完整的结构、热、压电及声学分析。是一个功能强大的设计校验工具，可用来确定位移、应力、作用力、温度、压力分布以及其它重要的设计标准。2.ANSYS/Structural：通过利用其先进的非线性功能，该模块可进行高目标的结构分析，具体包括：几何非线性、材料非线性、单元非线性及屈曲分析。该模块可以使用户精确模拟大型复杂结构的性能。3.ANSYS/Linearplus：该模块是从ANSYS/Structural派生出来的，一个线性结构分析选项，可用于线性的静态、动态及屈曲分析，非线性分析仅包括间隙元和板/梁大变形分析。July15,2011A-21MathModeling-FEMwithANSYSApplication4.ANSYS/Thermal：该模块同样是从ANSYS/Mechanical中派生出来的，是一个可单独运行的热分析程序，可用于稳态及瞬态热分析。5.ANSYS/Flotran：该程序是个灵活的CFD软件，可求解各种流体流动问题，具体包括：层流、紊流、可压缩流及不可压缩流等。通过与ANSYS/Mechanical耦合，ANSYS/FLOTRAN是唯一一个具有设计优化能力的CFD软件，并且能提供复杂的多物理场功能。6.ANSYS/Emag：该程序是一个独立的电磁分析软件包，可模拟电磁场、静电学、电路及电流传导分析。当该程序与其它ANSYS模块联合使用时，则具有了多物理场分析功能，能够研究流场、电磁场及结构力学间的相互影响。7.ANSYS/Preppost：该模块为用户在前处理阶段提供了强大的功能，使用户能够便捷地建立有限元模型。其后处理器能够使用户检查所有AN