搜索
数学·新课标（BS）第3章复习2┃知识归类┃知识归纳┃数学·新课标（BS）1．确定圆的要素圆心确定其位置，半径确定其大小．只有圆心没有半径，虽圆的位置固定，但大小不定，因而圆不确定；只有半径而没有圆心，虽圆的大小固定，但圆心的位置不定，因而圆也不确定；只有圆心和半径都固定，圆才被唯一确定．2．点与圆的位置关系(1)点与圆的位置关系有三种：点在圆外、点在圆上、点在圆内．第3章复习2┃知识归类数学·新课标（BS）点在圆外，即这个点到圆心的距离半径；点在圆上，即这个点到圆心的距离半径；点在圆内，即这个点到圆心的距离半径．判断点与圆的位置关系可由点到圆心的距离d与圆的半径r来比较得到．(2)设⊙O的半径是r，点P到圆心的距离为d，则有d＜r⇒点P在圆内；d＝r⇒点P在圆上；大于等于小于第3章复习2┃知识归类数学·新课标（BS）d＞r⇒点P在圆外．[点拨]点与圆的位置关系可以转化为点到圆心的距离与半径之间的关系；反过来，也可以通过这种数量关系判断点与圆的位置关系．3．垂径定理(1)垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的.[注意]①条件中的“弦”可以是直径；②结论中的“平分弧”指平分弦所对的劣弧、优弧．弧第3章复习2┃知识归类数学·新课标（BS）(2)垂径定理的推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．4．圆的旋转不变性(1)中心对称性：圆是中心对称图形，对称中心为.(2)探究圆中角的一些性质定理1：在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦相等．定理2：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．圆心两条弦第3章复习2┃知识归类数学·新课标（BS）5．圆周角与圆心角的关系(1)圆周角的定义：顶点在圆上，且角的两边还与圆相交的角叫做圆周角．[注意]圆周角有两个特征：角的顶点在圆上，两边在圆内的部分是圆的两条弦．(2)圆周角与圆心角的关系：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的.(3)圆周角的性质性质：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角.一半相等第3章复习2┃知识归类数学·新课标（BS）直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是.[注意]“同弧”指“在一个圆中的同一段弧”；“等弧”指“在同圆或等圆中相等的弧”；“同弧或等弧”不能改为“同弦或等弦”．6．确定圆的条件不在同一直线上的三个点确定一个圆．7．三角形的外接圆直径第3章复习2┃知识归类数学·新课标（BS）三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的.8．直线与圆的位置关系设r为圆的半径，d为圆心到直线的距离外心第3章复习2┃知识归类数学·新课标（BS）位置关系相离相切相交图形公共点个数数量关系012drd＝rdr第3章复习2┃知识归类数学·新课标（BS）[易错点]将圆心到直线上某一点的距离看成是圆心到直线的距离．9．圆的切线的性质及判定性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．判定：经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线是圆的切线．10．三角形的内切圆第3章复习2┃知识归类数学·新课标（BS）和三角形三边都相切的圆可以作出一个，并且只能作出一个，这个圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形角平分线的交点，叫做三角形的.[注意]对一个确定的三角形来说，其内切圆有且只有一个，其内心也有且只有一个：内心就是内切圆的圆心．内心第3章复习2┃知识归类数学·新课标（BS）[注意](1)两圆内含时，若d为0，则两圆为同心圆．(2)由两圆构成的图形都是轴对称图形，其对称轴是两圆的圆心所在的直线．12．弧长及扇形的面积公式(1)弧长公式半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长l＝.(2)扇形的面积公式半径为R，圆心角是n°的扇形面积是S扇形＝n360πR2；nπR180►考点一确定圆的条件第3章复习2┃考点攻略┃考点攻略┃数学·新课标（BS）例1[2010·河北]如图X3－4，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是()A．点PB．点QC．点RD．点MB第3章复习2┃考点攻略数学·新课标（BS）[解析]B圆心既在AB的中垂线上又在BC的中垂线上，由图可以看出圆心应该是点Q.第3章复习2┃考点攻略方法技巧过不在同一条直线上的三个点作圆时，只需由两条线段的垂直平分线确定圆心即可，没有必要作出第三条线段的垂直平分线．事实上，三条垂直平分线交于同一点．数学·新课标（BS）►考点二垂径定理及其推论第3章复习2┃考点攻略数学·新课标（BS）例2如图X3－5，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于D点，且AB＝6cm，OD＝4cm，则DC的长为()A．5cmB．2.5cmC．2cmD．1cmD第3章复习2┃考点攻略数学·新课标（BS）[解析]D连接AO，因为OC⊥AB，所以AD＝BD＝3cm，因为OD＝4cm，在直角三角形ADO中，由勾股定理可以得到AO＝5cm，所以OC＝5cm，所以DC＝1cm.第3章复习2┃考点攻略方法技巧(1)垂径定理是根据圆的对称性推导出来的，该定理及其推论是证明线段相等、垂直关系、弧相等的重要依据．利用垂径定理常作“垂直于弦的直径”辅助线(往往又只是作圆心到弦的垂线段，如本例)；(2)垂径定理常与勾股定理结合在一起，进行有关圆的半径、圆心到弦的距离、弦长等数量的计算．这些量之间的关系是r2＝d2＋a22(其中r为圆半径，d为圆心到弦的距离，a为弦长)．数学·新课标（BS）►考点三圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系第3章复习2┃考点攻略数学·新课标（BS）例3如图X3－6，⊙O中，弦AB、CD相交于点P，若∠A＝30°，∠APD＝70°，则∠B等于()A．30°B．35°C．40°D．50°C第3章复习2┃考点攻略数学·新课标（BS）[解析]C由三角形的外角求得∠C＝40°，所以∠B＝∠C＝40°.►考点四圆心角与圆周角第3章复习2┃考点攻略数学·新课标（BS）例4如图X3－7，点A，B，C在⊙O上，AB∥CO，∠B＝22°，则∠A＝________°.44第3章复习2┃考点攻略数学·新课标（BS）[解析]由同弧所对的圆心角等于它所对的圆周角的2倍，得∠O＝2∠B＝44°，又因为AB∥CO，所以∠A＝∠O＝44°.第3章复习2┃考点攻略方法技巧圆周角定理建立了圆心角与圆周角之间的关系，因此，最终实现了圆中的角(圆心角和圆周角)的转化，从而为研究圆的性质提供了有力的工具和方法．当图形中含有直径时，构造直径所对的圆周角是解决问题的重要思路．在证明有关问题中注意90°的圆周角的构造．数学·新课标（BS）►考点五与圆有关的开放性问题第3章复习2┃考点攻略数学·新课标（BS）例5如图X3－8，在边长为2的圆内接正方形ABCD中，AC是对角线，P为边CD的中点，延长AP交圆于点E.(1)∠E＝________度；(2)写出图中现有的一对不全等的相似三角形，并说明理由；(3)求弦DE的长．第3章复习2┃考点攻略[解析](1)由题目可知∠E＝∠ACD，因为四边形ABCD是正方形，所以∠ACD＝45°，所以∠E＝∠ACD＝45°.(2)当对应角相等的时候，两个三角形相似，由圆的性质可知∠E＝∠ACD，∠EDP＝∠CAP，所以△ACP∽△DEP.(3)因为△ACP∽△DEP，所以APDP＝ACDE，因为P是CD的中点，所以CP＝DP＝12CD＝1，由勾股定理分别求出AP＝5，AC＝22，代入比例式算出DE＝2105.数学·新课标（BS）第3章复习2┃考点攻略解：(1)45(2)△ACP∽△DEP.理由：∵∠AED＝∠ACD，∠APC＝∠DPE，∴△ACP∽△DEP.(3)∵△ACP∽△DEP，∴APDP＝ACDE.又AP＝AD2＋DP2＝5，AC＝AD2＋DC2＝22，∴DE＝2105.数学·新课标（BS）第3章复习2┃考点攻略数学·新课标（BS）►考点七计算扇形面积例7如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇形称为“等边扇形”．则半径为2的“等边扇形”的面积为()A．πB．1C．2D.23πC[解析]C扇形的面积等于弧长乘以半径的一半，所以此扇形的面积为12×2×2＝2.►考点八计算弧长第3章复习2┃考点攻略数学·新课标（BS）例8如图X3－9，已知正方形的边长为2cm，以对角的两个顶点为圆心，2cm长为半径画弧，则所得到的两条弧长度之和为________cm(结果保留π)．2π第3章复习2┃考点攻略数学·新课标（BS）►考点九圆的切线性质例9如图X3－10，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过点D的切线交BC于E.(1)求证：DE＝12BC；(2)若tanC＝52，DE＝2，求AD的长．第3章复习2┃考点攻略数学·新课标（BS）方法技巧圆的切线性质有很多，可以总结为：与圆相切一直线，只有一个公共点；切点圆心相连接，垂直切线是必然；切线上面取一点，此点圆心相互联；如若垂直圆切线，此点切点零相间(此句指此点与切点之间距离为零)．►考点十圆的切线的判定方法第3章复习2┃考点攻略数学·新课标（BS）例10如图X3－11，已知Rt△ABC，∠ABC＝90°，以直角边AB为直径作⊙O，交斜边AC于点D，连接BD.(1)若AD＝3，BD＝4，求边BC的长；(2)取BC的中点E，连接ED，试证明ED与⊙O相切．第3章复习2┃考点攻略数学·新课标（BS）[解析]先由勾股定理求出AB，再利用相似求出BC.只要证明OD⊥DE就能说明ED与⊙O相切，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到等边转化为等角，进而算出∠ODE是直角．第3章复习2┃考点攻略数学·新课标（BS）解：(1)∵AB是直径，∴∠ADB＝90°.∵AD＝3，BD＝4，∴AB＝5.∵∠CDB＝∠ABC，∠A＝∠A，∴△ADB∽△ABC，∴ADAB＝DBBC，即35＝4BC，∴BC＝203.(2)证明：连接OD，在Rt△BDC中，∵E是BC的中点，∴CE＝DE，∴∠C＝∠CDE.又OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD，第3章复习2┃考点攻略数学·新课标（BS）又∵∠OBD＋∠DBC＝90°，∠C＋∠DBC＝90°，∴∠C＝∠OBD，∴∠BDO＝∠CDE.∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∴∠BDC＝90°，即∠BDE＋∠CDE＝90°，∴∠BDE＋∠BDO＝90°，即∠ODE＝90°，∴ED与⊙O相切．第3章复习2┃考点攻略数学·新课标（BS）方法技巧在涉及切线问题时，常连接过切点的半径，要想证明一条直线是圆的切线，常常需要作辅助线．如果已知直线过圆上某一点，则作出过这一点的半径，证明直线垂直于半径；如果直线与圆的公共点没有确定，则应过圆心作直线的垂线，证明圆心到直线的距离等于半径．