第二节 离散随机变量及其分布律

第二节离散随机变量及其分布律.X,,X),,,k(xXk的分布律或分布列量称此式为离散型随机变为的概率即事件取各个可能值的概率所有可能取的值为设离散型随机变量.1,2,k,p}xP{X}x{X21kkk一、离散型随机变量的分布律定义离散型随机变量的分布律也可表示为nnpppxxxX2121~Xkpnxxx21nppp21或离散型分布律的两个基本性质Ω}x{Xk1k证明：因为x1,x2,x3,….是X的所有可能取的值，且当i≠j时，{X=xi}∩{X=xj}=Φ，故从而有1kk1kkp)xP(XP(Ω(1;,2,1,0)1(kpk.1)2(1kkpxxkkpxXPxF}{)(分布函数分布律}{kkxXPp离散型随机变量的分布函数离散型随机变量分布律与分布函数的关系.)(}{)(xxxxkkkkxXPpxXPxF=P(抽得的两件全为次品)求分布律举例例设有一批产品20件，其中有3件次品，从中任意抽取2件，如果用X表示取得的次品数，求随机变量X的分布律及事件“至少抽得一件次品”的概率。解：X的可能取值为0，1，2=P(抽得的两件全为正品)190136220217CCP{X=1}P{X=2}1131722051190CCC232203190CC=P(只有一件为次品)P{X=0}故X的分布律为X012kp190136190511903而“至少抽得一件次品”={X≥1}={X=1}{X=2}P{X≥1}=P{X=1}+P{X=2}注意：{X=1}与{X=2}是互不相容的！952719054190319051实际上，这仍是古典概型的计算题，只是表达事件的方式变了故从一批次品率为p的产品中，有放回抽样直到抽到次品为止。求抽到次品时，已抽取的次数X的分布律。解记Ai=“第i次取到正品”,i=1,2,3,…则Ai,i=1,2,3,…是相互独立的！且X的所有可能取值为1，2，3，…,k,…P(X=k)=)(121kkAAAAP(1-p)k-1p,k=1,2,…(X=k)对应着事件kkAAAA121例设随机变量X的分布律为2(),1,2,3,3kPXkbk试确定常数b.解由分布律的性质,有11223()()2313kkkbPXkb例232113bb1.2b二、常见离散型随机变量的概率分布1、两点分布(0-1分布)1－ppP01X则称X服从参数为p的两点分布或(0-1)分布,△背景：样本空间只有两个样本点的情况都可以用两点分布来描述。如：上抛一枚硬币。△定义：若随机变量X的分布律为:例设一个袋中装有3个红球和7个白球，现在从中随机抽取一球，如果每个球抽取的机会相等，并且用数“1”代表取得红球，“0”代表取得白球，则随机抽取一球所得的值是一个离散型随机变量10X（取得红球）（取得白球）其概率分布为3(1)10PX7(0)10PX即X服从两点分布。{}(1)0,1,2...,;kknknPXknkCpp其中0p1,则称X服从参数为n,p的二项分布(也称Bernoulli分布）,记为X～B(n,p)在n重伯努利试验中,若以X表示事件A发生的次数,则X可能的取值为0,1,2,3,…,n.随机变量X的分布律2、二项分布（Binomialdistribution）二项分布的图形从一批由9件正品、3件次品组成的产品中,有放回地抽取5次,每次抽一件,求恰好抽到两次次品的概率.有放回地抽取5件,可视为5重Bernoulli实验记X为共抽到的次品数，则)41,5(~BX2522511{2}144PXCA=“一次实验中抽到次品”，P(A)=3/12,n=5p=1/4例解例一大批种子发芽率为90%，今从中任取10粒.求播种后,求（1）恰有8粒发芽的概率；（2）不小于8粒发芽的概率。解X～B（10,0.9）(1)P(X=8)=1937.01.09.028810C2()P(x8)=8829910101010100.90.10.90.10.90.9298CCCP(X=8)+P(X=9)+P(X=10)3.几何分布若随机变量X的分布律为则称X服从几何分布.实例设某批产品的次品率为p,对该批产品做有放回的抽样检查,直到第一次抽到一只次品为止(在此之前抽到的全是正品),那么所抽到的产品数目X是一个随机变量,求X的分布律.,1,qpXkpk21pqppqk1)(}{121kkAAAAPkXP)()()()(121kkAPAPAPAPppppk)1()1()1)(1(.1pqk),2,1(k所以X服从几何分布.说明几何分布可作为描述某个试验“首次成功”的概率模型.解.,3,2,1所取的可能值是X,个产品是正品抽到的第表示设iAi4.超几何分布设X的分布律为}),min{,,,,(}{nMmCCCmXPnNmnMNmM210.,,,服从超几何分布则称这里XNMMmNn超几何分布在关于废品率的计件检验中常用到.说明5、泊松分布Poissondistribution若随机变量X的分布律为:...2,1,0,!)(kekkXPk其中0,则称X服从参数为的泊松分布X～P()定义泊松分布的图形服务台在某时间段内接待的服务次数X；交换台在某时间段内接到呼叫的次数Y;矿井在某段时间发生事故的次数;显微镜下相同大小的方格内微生物的数目；单位体积空气中含有某种微粒的数目体积相对小的物质在较大的空间内的稀疏分布，都可以看作泊松分布,其参数可以由观测值的平均值求出。实际问题中若干R.v.X是服从或近似服从Poisson分布的已知某电话交换台每分钟接到的呼唤次数X服从4的泊松分布，分别求（1）每分钟内恰好接到3次呼唤的概率；（2）每分钟不超过4次的概率(4)(0)(1)(2)(3)(4)PXPXPXPXPXPX4,3k()!kPXkek344(3)3!PXe例解0.195630.628838泊松定理实际应用中：当n较大,p较小，np适中时，即可用泊松公式近似替换二项概率公式ekppCkknkkn!)1(二项分布的泊松近似ThePoissonApproximationtotheBinomialDistributionnp二项分布泊松分布n很大,p很小上面我们提到例为了保证设备正常工作,需配备适量的维修工人(工人配备多了就浪费,配备少了又要影响生产),现有同类型设备300台,各台工作是相互独立的,发生故障的概率都是0.01.在通常情况下一台设备的故障可由一个人来处理(我们也只考虑这种情况),问至少需配备多少工人,才能保证设备发生故障但不能及时维修的概率小于0.01?解.人设需配备N设备记同一时刻发生故障的,X台数为)..,(~,010300BX那末所需解决的问题,N是确定最小的使得合理配备维修工人问题由泊松定理得,!3}{03NkkkeNXP故有,99.0!303Nkkke即Nkkke03!3113!3Nkkke,01.0.8是小的查表可求得满足此式最N个工人,才能保证设备发生故障但不能及时维修的概率小于0.01.故至少需配备8.99.0}{NXP例:设一只昆虫所产虫卵个数X服从参数为λ的泊松分布，而每个虫卵发育为幼虫的概率为p，并且各个虫卵是否发育成幼虫是相互独立的。试证明：一只昆虫的下一代幼虫个数Y服从参数为λp的泊松分布。证明：由题设知,2,1,0me!m)mX(Pmmk0)mX|kY(Pm,,2,1,0kqpC)mX|kY(Pkmkkm这里q=1-p,由全概率公式得0m)mX|kY(P)mX(P)kY(Pkmkmkλmqpk)!(mk!m!em!λkmkmλkk)!(mq)(ek!p)(λqλk0k'k'λkkmk'eek!p)(!k'q)(ek!p)(,2,1,0ke!k)p(pk即Y服从参数为λp的泊松分布.