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知识点一分类加法原理与分步乘法计数原理的共同点与不同点1.共同点是，它们都是研究完成一件事情共有多少种不同的方法．2．不同点是，它们研究完成一件事情的方式不同，加法原理是“分类完成”，即任何一类办法中的任何一个方法都能完成这件事．乘法原理是“分步完成”，即这些方法需要分步，各个步骤顺次相依，且每一步都完成了，才能完成这件事情.知识点二分类加法原理与分步乘法计数原理的选择1.完成一件事情有n类办法，若每一类办法中的任何一种方法均能将这件事情从头至尾完成，则计算完成这件事情的方法总数用分类加法原理．2．完成一件事情有n个步骤，若每一步的任何一种方法只能完成这件事的一部分，并且必须且只需完成互相独立的这n步后，才能完成这件事，则计算完成这件事的方法总数用分步乘法计数原理．3．正确区分完成一件事情是分类还是分步．类型一选(抽)取与分配问题【例1】(1)8本不同的书，任选了3本分给3个同学，每人1本，有多少种不同的分法？(2)将4封信投入3个邮筒，有多少种不同的投法？(3)3位旅客到4个旅馆住宿，有多少种不同的住宿方法？解析：(1)分三步，每位同学取书一本，第1,2,3个同学分别有8,7,6种取法，因而由分步乘法计数原理，不同分法共有N＝8×7×6＝336(种)．(2)完成这件事情可以分作四步，第一步投第一封信，可以在3个邮筒中任选一个，因此有3种投法；第二步投第二封信，同样有3种投法；第三步投第三封信，也同样有3种投法；第四步，投第四封信，仍然有3种投法．由分步乘法计数原理，可得出不同的投法共有N＝3×3×3×3＝81(种)．(3)分三步，每位旅客都有4种不同的住宿方法，因而不同的方法共有N＝4×4×4＝64(种)．[名师点评]应用两个计数原理解题的注意点：在运用分类加法计数原理和分步乘法计原理解决一些简单的实际问题时，首先必须认清是“分类”还是“分步”，其次要搞清“分类”或“分步”的标准是什么，选择合理简捷的标准处理事件，可以避免计数的重复或遗漏．变式训练1(1)4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有多少种报名方法？(2)4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军，共有多少种可能的结果？解析：(1)要完成的是“4名同学每人从三个项目中选一项报名”这件事，因为每人必报一项，四人都报完才算完成，于是按人分步，且分为四步，又每人可在三项中选一项，选法为3种，所以共有3×3×3×3＝81种报名方法．(2)完成的是“三个项目冠军的获取”这件事，因为每项冠军只能有一人获得，三项冠军都有得主，这件事才算完成，于是应以“确定三项冠军得主”为线索进行分步．而每项冠军是四人中的某一人，有4种可能情况，于是共有4×4×4＝64种可能的情况.类型二组数问题【例2】用0,1,2,3,4,5可以组成多少个无重复数字的比2000大的4位偶数？解析：法一：按末位是0,2,4分为三类：第一类：末位是0的有4×4×3＝48(个)；第二类：末位是2的有3×4×3＝36(个)；第三类：末位是4的有3×4×3＝36(个)．则由分类计数原理有N＝48＋36＋36＝120(个)．法二：按千位是2,3,4,5分四类：第一类：千位是2的有2×4×3＝24(个)；第二类：千位是3的有3×4×3＝36(个)；第三类：千位是4的有2×4×3＝24(个)；第四类：千位是5的有3×4×3＝36(个)．则由分类计数原理有N＝24＋36＋24＋36＝120(个)．法三：间接法．用0,1,2,3,4,5可以组成的无重复数字的四位偶数分两类：第一类：末位是0的有5×4×3＝60(个)；第二类：末位是2或4的有2×4×4×3＝96(个)．共有60＋96＝156(个)．其中比2000小的有：千位是1的共有3×4×3＝36(个)．所以符合条件的四位偶数共有156－36＝120(个)．[名师点评]对于组数问题的计数，一般按特殊位置(末位或首位)由谁占领分类，每类中再分步来计数；但当分类较多时，可用间接法先求出总数，再减去不符合条件的数去计数．变式训练2用0,1,2,3,4这五个数字可以组成多少个无重复数字的：(1)四位密码？(2)四位数？(3)四位奇数？解析：(1)完成“组成无重复数字的四位密码”这件事，可以分为四步：第一步：选取左边第一个位置上的数字，有5种选取方法；第二步：选取左边第二个位置上的数字，有4种选取方法；第三步：选取左边第三个位置上的数字，有3种选取方法；第四步：选取左边第四个位置上的数字，有2种选取方法．由分步乘法计数原理，可以组成不同的四位密码共有N＝5×4×3×2＝120(个)．(2)完成“组成无重复数字的四位数”这件事，可以分四步：第一步：从1,2,3,4中选取一个数字作千位数字，有4种不同的选取方法；第二步：从1,2,3,4中剩余的三个数字和0共四个数字中选取一个数字作百位数字，有4种不同的选取方法；第三步：从剩余的三个数字中选取一个数字作十位数字，有3种不同的选取方法；第四步：从剩余的两个数字中选取一个数字作个位数字，有2种不同的选取方法．由分步乘法计数原理，可以组成不同的四位数共有N＝4×4×3×2＝96(个)．(3)完成“组成无重复数字的四位奇数”这件事，可以分四步：第一步定个位，只能从1,3中任取一个有2种方法；第二步定首位，把1,2,3,4中除去用过的一个还有3个可任取一个有3种方法；第三步、第四步把剩下的包括0在内的还有3个数字先排百位有3种方法，再排十位有2种方法．由分步乘法计数原理共有2×3×3×2＝36(个).类型三涂色问题【例3】将红、黄、绿、黑四种不同的颜色涂入图中的五个区域内，要求相邻的两个区域的颜色都不相同，则有多少种不同的涂色方法？解析：给区域标出记号A，B，C，D，E(如图所示)，则A区域有4种不同的涂色方法，B区域有3种，C区域有2种，但E区域的涂色依赖于B与D涂色的颜色：如果B与D颜色相同，D区域有1种，E区域有2种涂色方法；如果B与D颜色不相同，则D区域有1种，E区域有1种．因此应先分类后分步．当B与D同色时，有4×3×2×1×2＝48(种)；当B与D不同色时，有4×3×2×1×1＝24(种)．故共有48＋24＝72(种)不同的涂色方法．[名师点评]解涂色问题的注意事项：在解涂色问题时，如果题目没有特殊要求，不相邻的区域是可以用同一种颜色的，而且给我们的颜色不一定要全部都用上，有时我们可以用少于题目给我们的颜色就完成涂色问题，这种情形在解题时容易忽视，在解题的时候一定要引起重视，也就是说，要注意分类的完整性．变式训练3将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端点异色，如果只有5种颜色可供使用，求不同的染色方法总数．解析：按照S→A→B→C→D的顺序分类染色．第一类：A、C染相同颜色有5×4×3×1×3＝180(种)；第二类：A、C染不同颜色有5×4×3×2×2＝240(种)．故共有180＋240＝420(种)不同的染色方法．1．由1,2,3,4,5这5个数字组成无重复数字的五位数中，小于50000的偶数有()A．60个B．48个C．36个D．24个解析：分两类：第一类，末位数字为2，依次确定万位、千位、百位、十位上的选择方法，可得N1＝3×3×2×1＝18(个)．第二类，末位数字为4，同第一类办法，可得N2＝3×3×2×1＝18(个)．所以，满足题目条件的数共有N＝N1＋N2＝36(个)．答案：C2．如图所示，一环形花坛分成A，B，C，D四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的两块种不同的花，则不同的种法总数为()A．96B．84C．60D．48解析：按A，B，C，D的顺序种花，分两类：A，C种同一种花，共有：4×3×3＝36(种)；A，C种不同种花，共有4×3×2×2＝48(种)，共计36＋48＝84(种)．答案：B3．如图，四边形ABCD中，若把顶点A，B，C，D染上红、黄、绿三种颜色中的一种，使得相邻顶点所染颜色不相同，则不同的染色方法共有__________种．解析：不妨从点A涂起，则A，C可同色，也可不同色，故可分两类，第一类，若A，C同色，涂A有3种方法，涂B有2种方法，涂D有2种方法，共计3×2×2＝12(种)方法；第二类，若A，C不同色，涂A有3种方法，涂C有2种方法，涂B有1种方法，涂D有1种方法，共计3×2×1×1＝6(种)方法．所以不同的染色方法共有12＋6＝18(种)．答案：184．如图，要给地图上A，B，C，D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种，允许同一种颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同的颜色，不同的涂色方案有__________种．解析：按地图A，B，C，D四个区域依次分四步完成，第一步涂A，有3种涂色方法；第二步涂B，有2种涂色方法；第三步涂C，有1种涂色方法；第四步涂D，有1种涂色方法．所以根据分步乘法计数原理，得到不同的涂色方案共有N＝3×2×1×1＝6(种)．答案：65．将数字7,8,9与符号“×”“÷”五个字符都填入下列表格的五个空格中，任意两个数字都不相邻，共有多少种不同的填法？12345解析：根据题意，分两步进行，第一步，填数字：数字只能填在1,3,5的位置，共有3×2×1＝6(种)方法；第二步，填符号，只能填在2,4的位置，共有2×1＝2(种)方法，所以共有N＝6×2＝12(种)不同的填法．