第6章 保形映射

第6章保形映射对于解析函数而言，它所构成的映射，还必需作一些具体的研究，因为这种映射在实际问题中是很有用处的.本章中先分析解析函数所构成的映射的特性，引出保形映射的概念；然后进一步研究分式线性函数和几个初等函数所构成的保形映射的性质.在第1章中已经讲过，函数在几何上可以看做是把平面上的一个点集(定义集合)变到平面上的一个点集（函数值集合）的映射（或变换）.()wfzGwz*G§1保形映射的概念C0PP0PPt00()()zttztt0PP0()ztt0()ztP0PPC0PC0P如果规定：通过上两点与的割线，的正向对应于参数增大的方向，那么这个方向与表示的向量的方向相同.这里，与分别为点与所对应的复数.当点沿无限趋向于点时，割线的极限位置就是上处的切线.1．平面内的一条有向连续曲线它的正向取为增大的方向，为一连续函数.如果，那么表示的向量(取为起点)与相切于点.(),zzt:Ct00()0,ztt,t()zt0()zt0zC00()zzt因此，表示0000()()()limtzttztzttC00()zztC的向量与相切于点，且方向与的正向一致.2）相交于一点的两条曲线与正向之间的夹角就是与在交点处的两条切线正向之间的夹角.1c2c1c2c如果规定这个向量的方向作为上点处的切线的正向，那么有：1）就是在上点处切线的正向与轴正向之间的夹角；C0zC0Arg()zt0zx2．解析函数的导数的几何意义设函数在区域内解析，为内的一点，且.又设为平面内通过点的一条有向光滑曲线，它的参数方程是：，它的正向为参数增大的方向，且()wfzD0zD0()0fzCz0z(),zztt0000(),()0,.zztztt（1）辐角的几何意义0Arg()fz这样，映射就将曲线映射成平面内通过点的对应点的一条有向光滑曲线它的参数方程是，方向为参数增大的方向.()wfzCw00()wfz0z,[()],wfztttx0yu0v图6.100C0z0w()wfz()0ofz根据复合函数求导法，有因此，由前面的论断1）得知，在上点处也有切线存在，且切线的正向与轴正向之间的夹角是000()()()0wtfzztu000Arg()Arg()Arg()wtfzzt0wx如果假定图6.2中轴与轴,轴与轴的正向相同，而且将原来的切线的正向与映射过后的切线的正向之间的夹角理解为曲线经过映射后在处的转动角，那么（1）式表明：1）导数的辐角是曲线经过映射后在处的转动角.uyvC()wfz0z0()0fz0Arg()fzC()wfz0z000Arg()Arg()Arg()wtzzft（1）2）转动角的大小与方向跟曲线的形状与方向无关.C现在假设曲线与相交于点，它们的参数方程分别是与，；并且.1C2C0z1()zzt2()zztt01020102000()(),()0,()0,,zztztztzttt20102010Arg()Arg()Arg()Arg()wtwtztzt即（2）1()wwt又设映射将与分别映射为相交于点的曲线及，它们的参数方程分别是与，由（1）式.有()wfz1C2C00()wfz122(),wwtt10102020Arg()Arg()Arg()Arg()wtztwtzt上式两端分别是和以及与之间的夹角，因此，（2）式表明：相交于点的任何两条曲线与之间的夹角，在其大小和方向上都等同于经过映射后跟与对应的曲线与之间的夹角.所以这种映射具有保持两曲线间夹角的大小与方向不变的性质.这种性质称为保角性.()wfz121C2C1C2C0z1C2C121C2C120z0w()wfz0()0fzxy0uv0图6.2设，且用表示上的点与之间的一段孤长，表示上的对应点与之间的孤长.由00,iizzrewweSC0zz0ww()0000()()iiiwwfzfzeSezzzzreSr()fz0z0|()|fz（2）函数在的点导数的模的几何意义00|()|limzzfzS00lim1,lim1zzzzSrC0z得.注意：这个极限值称为曲线在的伸缩率.因此上式表明：是经过映射后通过点的任何曲线在的伸缩率，它与曲线的形状及方向无关.所以这种映射又具有伸缩率的不变性.0|()|fz()wfzCC0z0z3．保形映射的概念定义：凡是有保角性和伸缩率不变性的映射称为保角映射，或者更确切地称为第一类保角映射.定理：如果函数在处解析，且,那么映射在点是保形映射，而且表示这个映射在的转动角，表示伸缩率.0()0fz()wfz0z0Arg()fz0|()|fz0z()wfz0z例：求在的转动角及伸缩率.2()fzz0zi解：()2fzz()2fiiArg()Arg222fiik0|()|2fz§2分式线性映射分式线性映射是保形映射中比较简单的但又很重要的一类映射，它是由来定义的，其中均为常数.()(0)azbwLzadbcczd,,,abcd现在先来讨论几种特殊的情况.为方便，暂且将平面看成是与平面重合的.wz这是一个平移变换，因为复数相加可以化为向量相加，所以在映射之下，沿向量（即复数所表示的向量）的方向平行移动一段距离后，就得到.wzbzb||bwb这是一个旋转与伸长(或缩短)的映射.事实上,设,那么.因此,把先转一个角度,再将伸长(或缩短)到倍后,就得到.,iizreae()iwrez||z||awwzbi）.,0wazaii）.1wziii）.这个映射可以分解为为了要用几何方法从作出，我们来研究所谓关于一已知圆周的一对对称点的概念.111,zw设为以原点为中心，为半径的圆周.在以圆心为起点的一条半直线上，如果有两点与满足关系式那么就称这两点为关于这圆周的对称点.设在外，从作圆周的切线.P2OPOPrCPTCrPPPC事实上，因此，即，规定：无穷远点的对称点是圆心.~OPTTPO::OPOTOTOP22OPOPOTrOTTPOPPPPOP由作的垂线与交于，那么与即互为对称点.xy1z2z0r图6.3如果设，那么，，从而.由此可知，与是关于单位圆周的对称点，与是关于实轴的对称点.因此，要从作出，应先作出关于圆周与的对称点，然后再作出关于实轴与对称的点.即得.izre111iwezr11iwwer1||||1wz1/wz1wz||1z1wwz||1zz1w1ww1ww1图6.4xy0z首先讨论映射iii）.根据第1章，关于数的四则运算知,这个映射将映射成,也就是说,当时，.如果把改写成,可知当时，.由此可见，在扩充复平面上映射iii）是一一对应的.又因为1wzz0wz0w1zww0z2211()wzz1wzzw以上讨论了如何从作出映射i），ii），iii）的对应点.下面分别讨论这三种映射的性质.1wz0zz所以除去与外,映射是保角的.0,zz0w当时，.至于在与是否保角问题就关系到如何理解两条曲线在无穷远点处交角的涵义问题.0zzz1wz如果规定：两条伸向无穷远的曲线在无穷远处的交角，等于它们在映射下通过原点的两条像曲线的交角，那么这映射在处是保角的.w1zw0z1wz1wz1zw再由知在处映射是保角的，也就是说在处映射是保角的.所以，映射在扩充复平面上是处处保角的.其次，再对i）与ii）进行讨论.显然，这个映射在扩充复平面上是一一对应的.又因为,所以当时，映射是保角的.还可以证明，当时，映射也是保角的.因此，映射在扩充复平面上是处处保角的.()0wazbazz(0)wazbb还要指出，映射与都具有将圆周映射成圆周的性质.wazb1wz据上所论，映射是将平面内的一点经过平移、旋转和伸缩而得到像点的,因此,平面内的一个圆周或一条直线经过映射所得到的像曲线显然仍是一个圆周或一条直线.如果把直线看成是半径为无穷大的圆周，那么这个映射在扩充复平面上把圆周映射成圆周.这个性质称为保圆性.(0)wazbawzwazbz下面来阐明映射也具有保圆性.为此，令,将代入,得或1/wz,1/zxiywzuivzxiy2222,xyuvxyxy2222,yvxyuvuv1/wz0,0ad0,0ad0,0ad0,0ad1/wz1/wz当然,在这种情况下,可能是将圆周映射成圆周(当);圆周映射成直线(当);直线映射成圆周(当),以及直线映射成直线(当).这就是说,映射把圆周映射成圆周.或者说,映射具有保圆性.22()0axybxcyd0a(,)22bcaa221()()2bcdaaa22()0duvbucva1/wz因此，映射将方程(圆心,半径)变为方程最后,再回到分式线性映射的一般情况的讨论2221/azbaczbcaczadbcadabcadwczdczdcczdccczdc0c(,)abwzdd1ww1wz0c21abcadwdcczcBwAzC2,,abcaddABCccc如果,那么就可以看成是由与复合而成;如果,那么就有,这里,.因此,映射可以看成是由上面已经讨论过的三个映射i),ii),iii)复合而成的.定理1.分式线性映射在扩充复平面上是一一对应的，且具有保圆的保形映射.根据保圆性，容易推知：在分式线性映射下，如果给定的圆周或直线上没有点映射或无穷远点，那么它就映射成半径为有限的圆周；如果有一个点映射成无穷远点，那么它就映射成直线.分式线性映射，除了保圆性外，还有所谓保对称性，这就是下面的定理2.定理2.设点是关于圆周的一对对称点,那么在分式线性映射下，它们像点与也是关于的像曲线的一对对称点.12,zzC1w2wC为证明这个结论，先来阐明对称点的一个重要特性，即是关于圆周的一对对称点的充要条件是经过的任何圆周与正交.12,zz0:||CzzR12,zzC图6.50zz2z1zC过点作圆切线，为切点0zz200122||zzzzzz20102zzzzR证：但在上，的切线就是的半径，因此与正交.zC12,zz反过来，设是经过与正交的任一圆周.CCC那么连接与的直线作为的特殊情况(半径为无穷大)必与正交,因而必过,又因与于交点处正交,因此的半径就是的切线,所以有即与是关于圆周的一对对称点.1z2z0zz0zz21020||||zzzzR1z2zCCCC下面利用上述对称点的特性来证明定理2.证：设经过与的任一圆周是经过与的圆周由分式线性映射映射过来的.由于与正交,而分式线性映射具有保角性，所以与(的像)也必正交，因此，与是一对关于的对称点.1w2w1z2zC1w2wCCC§3唯一决定分式线性映射的条件式中含有四个常数.但是，如果用这四个数中的一个去除分子和分母，就可将分式中的四个常数化为三个常数.所以实际上只有三个独立的常数.因此只须给定三个条件，就能决定一个分式线性映射.我们有azbwczd,,,abcd定理.在平面上任意给定三个相异的点,在平面上也任意给定三个相异的点,那么就存在唯一的分式线性映射，将依次映射成.z123,,zzzw123,,(1,2,3)kzk(1,2,3)kwk证：设，将依次映射成，即(0)azbwadbcczd(1,2,3)kzk(1,2,3)kwkkk