流体力学 05 湍流

§5-1雷诺实验一、层流和湍流（流体在管道中运动时的两种流动状态）层流——流体质点无横向运动，互不混杂，层次分明地沿管轴流动。湍流——流体质点具有无规则的横向脉动。引起流层间流体质点的紊乱，相互混杂的流动。第五章湍流与管流二、雷诺数（流态的判定）临界雷诺数：Rec=13800层湍（上）（金属圆管）Rec=2320湍层（下）对于非圆截面管道：RevdReHvd4HAdS——水力直径式中：——雷诺数(无量纲）式中：S——湿周，即过流断面的周界长度。用下临界雷诺数判别流态（对于光滑金属管）：当ReRec=2320层流当Re2320湍流雷诺数的物理意义：流体运动时所受到的惯性力与粘性力之比。雷诺判据5-2湍流的基本现象与定义一、现象：1.洪水或湍急的河流。2.火箭发射时的尾气。3.风、旗子、烟囱等。风吹在脸上的感觉。湍流木星大红斑火山爆发爆炸圆球尾流达•芬奇的想象二、定义：Taylor和vonCarman,1937年：湍流是一种不规则运动，当流体流过固体表面，或者甚至当相邻的同类流体互相流过或绕过时，一般会在流体中出现这种不规则运动。KeyWord:不规则性。J.O.Hinze：流体的湍流运动是一种不规则的流动状态，它的各种量随时间和空间坐标表现出随机变化，因而能辨别出不同的统计平均值。KeyWords:不规则性，随机，统计平均值。要点：1.不规则性。时间上：欧拉坐标空间上：拉格朗日坐标2.统计平均值的存在。•湍流的特征：1.不规则性。2.湍流扩散性。3.高雷诺数。4.混合性。各种时间尺度和空间尺度的存在。5.耗散性。三、湍流的发生雷诺实验。雷诺数：其中：LV——特征长度，——平均速度，——运动粘度。ReVL当Re≥2320时，开始发生湍流，称为临界雷诺数。但当雷诺数从小到大变化时，通常要大于临界雷诺数才会产生湍流，若管子足够光滑，扰动足够小，可以到40000以上才开始湍流。雷诺数的含义在于惯性力比粘性力。当雷诺数较低时，粘性能够阻尼掉扰动，从而使层流状态得以保持。但当Re很大时，惯性力的影响超过粘性力的影响，使扰动放大，得以发展，最终出现湍流。如同F1赛车，低速行驶时，轻微的碰撞不影响赛车的行进。但高速行驶时，轻微的扰动，哪怕是一粒石子，也会产生严重后果。因此国际汽联对F1赛道一直有着相当严格的规定。四、涡普遍认为，湍流运动是由各种尺度的涡叠加而成的，这些涡的大小具有明显的上下限。上限主要由装置决定，下限则取决于粘性。同时，涡还是湍流流动中能量的传递方式。五、湍流运动与分子运动论比较项目分子运动论湍流运动1.基元素分子涡2.基元素性质稳定，现成大小不一，不稳定，求解后得到3.基元素数目常数变数4.特征长度平均自由程，只随温度压力的改变而改变，与边界无关混和长度，随边界形状改变而改变5.基元素速率只随温度变化，不是空间位置的函数脉动速度随时间空间变化很大6.运动性质随机运动有时规律，有时随机7.边界影响不影响涡的形状和数目随涡的形状和数目随边界形状改变而急剧改变8.驰豫时间短，无记忆长，有记忆9.分布函数玻氏微积分方程无其中的致命伤：6,8,9科学：1.确定性。2.可重复性。5-3稳定性理论的基本思想为了求解方程，需要对问题进行数学上的描述。当某些物理量达到稳定的临界值时，给方程加一个扰动，如果解变得不规则，则方程处于不稳定状态。例题同前：不可压，定常。该问题满足方程：22222222011uvxyuuupuuuvtxyxxyvvvpvvuvtxyyxy•边界条件：•层流解：•在层流流动中，有：•满足方程：,0,0,,0yhuvyhuUv2222UPuyhyhh,0,uuyvppx2210dpdudxdy•假定流动受到小扰动，即：•带“′”的物理量称为脉动量。•代入原始方程，并去掉平均量，得脉动方程：,,,,,,,,,,,,uxytuyuxytvxytvxytpxytpxpxyt22222222011uvxyuuupuuuvtxyxxyvvpvvutxyxy无量纲化，取特征量速度——U，长度——2h，时间——2h/U，从两式中消去p’，并令：•及其满足的方程：•其中Re=U(2h)/ν。vuxy2222221Reuuvtxyxy引入流函数Ψ，自动满足：于是：将Ψ进行傅里叶展开，将每一个分量代入方程，典型的分量为：,uvyx2222xy211,,cossinixttxytyeyextixt122,,1,hii其中为扰动的波长当β20，扰动随时间衰减，流动稳定。反之则不稳定。β2=0称为中性稳定。上面的方程最后可得：该方程称为奥尔-萨默菲尔德方程，为四阶微分方程，满足四个边界条件：相当于满足壁面无滑移条件。2242Reiuu,0,0yhyh该方程有四个线性无关解通解为：从边界条件可以得到关于ci的四阶齐次线性方程组，该方程组有非零解的条件是系数行列式为零。于是得到Re，α，β=β1+β2之间的关系：,1,2,3,4iyi41iiiiycyc，其中为待定常数。1122ReRe，，•最后得到不稳定的最小雷诺数为1.06×104。•而实验结果为1900。不准确的原因：1.线性扰动不适合本问题。2.有限振幅扰动的非线性稳定性的理论发展不够。3.实际扰动为三维扰动。5-4张量的主要记号e1,e2,e3——x,y,z轴上的单位向量。︱ei︱=1，通常用i,j,k来表示，即：对于任意向量a，有：123,,eiejek123112233iiaaaaaaaaijkeeee•1.爱因斯坦求和符号（哑标或哑指标）•数学式中的任一项，如出现一对符号相同的指标，如上式中的i，表示对这个指标遍其取值范围求和，上式中为1到3。又如动能：112233,1,2,3iiaaaaiaeeee222211222iiEuvwuuv规则：(1)在同一项中，以一对符号相同的指标出现，表示遍历其取值范围求和。(2)每一对哑标的字母可以用相同取值范围的另一对字母代替，其意义不变。如：iijjaaaee2.自由指标(1)一个指标在表达式的各项中都只出现一次。表示该表达式在该自由指标的n维取值范围内都成立，即代表了n个表达式。例如：(2)一个表达式的某个自由指标可以全体的换用相同取值范围的其他字母。ixyzFFFFFijkxxiiyyzzFmamFmaFmaFmaFa3.缩并——将自由指标变成哑指标，如：4.克罗内克尔(Kronecker)记号：21222222iiijyyxxzzuuuuttuuuuuutttv缩并动能1,0,ijijijijee5-5湍流运动的雷诺方程尽管N-S方程既可用于层流，也可用于湍流。但湍流的计算量太大，直接模拟非常困难，因此要寻找其他途径。尽管运动是随机的，但我们关心的物理量，都是某一时间或某一体积上的平均效果。平均的方法有很多，最常用的是对时间区平均的方法，叫做时均法。任一物理量f(x,y,z,t)的时均值定义：221,,,,,,TTfxyztfxyztdtT式中的时均周期T应比脉动周期大很多，以包含大量的脉动，同时又比宏观流动的特征时间小很多，以便充分描述时均值随时间变化。若时均值不随时间变化，称为时均定常湍流，简称定常湍流。一般的，我们把物理量分解为时均值与脉动值之和，即：并有：,,,fxyzt,,,fxyzt,,,fxyzt,,,,,,,,,fxyztfxyztfxyzt1.02.3.4.5.6.7.ffffgfgfgfgfgfgfgffffxxtt对于公式5的证明：fgffggfgfgfgfgfgfgfgfgfgfg不可压流体湍流运动的时均方程组。原始方程：连续方程：动量方程：令速度，可将方程展开：0uDpDtuτuvwuijk0(1)(2)xyxxxzyxuvwxyzuuuupuvwtxyzxxyzvvvvpuvwtxyzy(3)(4)yyyzzyzxzzxyz用张量符号表示：0(5)(6)jjijiijjijuxuuputxxx56iu，有：ijijijijuuuptxxx写成向量形式的方程：展开：ptuuuτxyxxxzyxyyyzzyzxzzuuuvuwuptxyzxxyzvuvvvwvptxyzyxyzwuwv•逐项平均，并注意到：•例如：•对连续方程平均：ijijijijjjjjuuuuuuuuxxxxuvuvuvuvyyyy00jjuuvwxyzx或•平均后的动量方程：•应用连续方程：ijijijijjijuuuuuptxxxxiijijijjijuupuuutxxx•分量形式：xxxyxzyxyyuuuupuvwuutxyzxxuvuwyzvvvvpuvwvutxyzyxvvyzyzzxzyzzv与层流流动的方程相比，应力项多出一部分，即：后一部分称为雷诺应力：xxxyxzyxyyyzzxzyzzuuuvuwvuvvvwwuwvwwτuuuvuwvuvvvwwuwvww