2013-2018年全国1卷文科数学分类汇编：立体几何

12013～2018年全国1卷文科数学分类汇编：立体几何一、选择填空题1、【2013全国1卷．文11】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()．A．16＋8πB．8＋8πC．16＋16πD．8＋16π2、【2013全国1卷．文15】已知H是球O的直径AB上一点，:1:2AHHB，AB平面，H为垂足，截球O所得截面的面积为，则球O的表面积为______．3、【2014全国1卷．文8】如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的事一个几何体的三视图，则这个几何体是（）A．三棱锥B．三棱柱C．四棱锥D．四棱柱（第1题图）（第3题图）4、【2015全国1卷．文6】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问”积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米有（）A．14斛B．22斛C．36斛D．66斛5、【2015全国1卷．文11】圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为1620，则r()A．1B．2C．4D．8（第4题图）（第5题图）26、【2016全国1卷．文7】如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是（）A．17πB．18πC．20πD．28π7、【2016全国1卷．文11】平面过正方体1111ABCDABCD的顶点,//A平面11CBD，平面ABCDm，平面11ABBAn，则,mn所成角的正弦值为（）A．32B．22C．33D．138、【2017全国1卷．文6】如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是（）ABCD9、【2017全国1卷．文16】已知三棱锥S−ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥S−ABC的体积为9，则球O的表面积为________．10、【2018全国1卷．文5】已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O，2O，过直线12OO的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为（）A.122B.12C.82D.1011、【2018全国1卷．文9】某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（）A.217B.25C.3D.212、【2018全国1卷．文10】在长方体1111ABCDABCD中，2ABBC，1AC与平面11BBCC所成的角为030，则该长方体的体积为（）A.8B.62C.82D.833二、解答题1、【2013全国1卷．文19】如图，三棱柱111ABCABC中，CACB，1ABAA，0160BAA.(1)证明：1ABAC；(2)若2ABCB，16AC，求三棱柱111ABCABC的体积．2、【2014全国1卷．文19】如图，三棱柱111CBAABC中，侧面CCBB11为菱形，CB1的中点为O，且AO平面CCBB11.（1）证明：;1ABCB（2）若1ABAC,,1,601BCCBB求三棱柱111CBAABC的高.4PABDCGE3、【2015全国1卷．文18】如图四边形ABCD为菱形，G为AC与BD交点，BEABCD平面，（1）证明：平面AEC平面BED；（2）若120ABC，,AEEC三棱锥EACD的体积为63，求该三棱锥的侧面积.4、【2016全国1卷．文18】如图，已知正三棱锥PABC的侧面是直角三角形，6PA，顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连结PE并延长交AB于点G.（1）证明：G是AB的中点；（2）在图中作出点E在平面PAC内的正投影F（说明作法及理由），并求四面体PDEF的体积．55、【2017全国1卷．文18】如图，在四棱锥P−ABCD中，AB//CD，且90BAPCDP．（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，90APD，且四棱锥P−ABCD的体积为83，求该四棱锥的侧面积．6、【2018全国1卷．文18】如图，在平行四边形ABCM中，3ABAC，090ACM，以AC为折痕将ACM折起，使点M到达点D的位置，且ABAD．（1）证明：平面ACD平面ABC；（2）Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且23BPDQAD，求三棱锥QABP的体积．62013～2018年全国1卷文科数学分类汇编：立体几何参考答案一、选择填空题1、【答案】A2、【答案】9π2【解析】如图：73、【答案】B考点：三视图的考查【名师点睛】本题主要考查了空间几何体的三视图，考生在还原空间几何体的过程中，一定要坚持三视图的法则：长对正，高平齐，宽相等；本题主要考查了考生的空间想象力.4、【答案】B【解析】试题分析：设圆锥底面半径为r，则12384r=163r，所以米堆的体积为211163()5433=3209，故堆放的米约为3209÷1.62≈22，故选B.考点：本题主要考查圆锥的性质与圆锥的体积公式5、【答案】B【解析】试题分析：由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为r，圆柱的高为2r，其表面积为2222142225416202rrrrrrrr，解得2r，故选B.考点：简单几何体的三视图；球的表面积公式；圆柱的测面积公式6、【答案】A【解析】试题分析：由三视图知：该几何体是78个球，设球的半径为R，则37428VR833，解得R2，所以它的表面积是22734221784，故选A考点：三视图及球的表面积与体积87、【答案】A考点：平面的截面问题，面面平行的性质定理，异面直线所成的角.8、【答案】A【解析】对于B，易知AB∥MQ，则直线AB∥平面MNQ；对于C，易知AB∥MQ，则直线AB∥平面MNQ；对于D，易知AB∥NQ，则直线AB∥平面MNQ．故排除B，C，D，选A．9、【答案】36π【解析】取SC的中点O，连接,OAOB，因为,SAACSBBC，所以,OASCOBSC，因为平面SAC平面SBC，所以OA平面SBC，设OAr，则3111123323ASBCSBCVSOArrrr，所以31933rr，所以球的表面积为24π36πr.10、【答案】B【解析】分析：首先根据正方形的面积求得正方形的边长，从而进一步确定圆柱的底面圆半径与圆柱的高，从而利用相关公式求得圆柱的表面积.9详解：根据题意，可得截面是边长为22的正方形，结合圆柱的特征，可知该圆柱的底面为半径是2的圆，且高为22，所以其表面积为222222212S，故选B.11、【答案】B【解析】分析：首先根据题中所给的三视图，得到点M和点N在圆柱上所处的位置，点M在上底面上，点N在下底面上，并且将圆柱的侧面展开图平铺，点M、N在其四分之一的矩形的对角线的端点处，根据平面上两点间直线段最短，利用勾股定理，求得结果.详解：根据圆柱的三视图以及其本身的特征，可以确定点M和点N分别在以圆柱的高为长方形的宽，圆柱底面圆周长的四分之一为长的长方形的对角线的端点处，所以所求的最短路径的长度为224225，故选B.12、【答案】C【解析】分析：首先画出长方体1111ABCDABCD，利用题中条件，得到0130ACB，根据2AB，求得123BC，可以确定122CC，之后利用长方体的体积公式详解：在长方体1111ABCDABCD中，连接1BC，根据线面角的定义可知0130ACB，因为2AB，所以123BC，从而求得122CC，所以该长方体的体积为222282V，故选C.二、解答题1、【答案】（1）详见解析；（2）3.102、【答案】（1）详见解析;（2）三棱柱111ABCABC的高为217.【解析】11又OHAD，所以OH平面ABC.考点：1.线线，线面垂直的转化;2.点到面的距离;3.等面积法的应用【名师点睛】本题考查线面垂直的判定与性质,以及它们之间的转化，这是高考题中经常考查的方向，同时本题还考查点到平面距离的计算,考查学生分析解决问题的综合能力.3、【答案】（1）见解析（2）3+25试题解析：（1）因为四边形ABCD为菱形，所以AC^BD，因为BE^平面ABCD，所以AC^BE，故AC^平面BED.又ACÌ平面AEC，所以平面AEC^平面BED（2）设AB=x，在菱形ABCD中，由ÐABC=120°，可得AG=GC=32x,GB=GD=2x.因为AE^EC，所以在RtDAEC中，可得EG=32x.由BE^平面ABCD，知DEBG为直角三角形，可得BE=22x.12由已知得，三棱锥E-ACD的体积3116632243EACDVACGDBEx-=醋?=.故x=2从而可得AE=EC=ED=6.所以DEAC的面积为3，DEAD的面积与DECD的面积均为5.故三棱锥E-ACD的侧面积为3+25.考点：线面垂直的判定与性质；面面垂直的判定；三棱锥的体积与表面积的计算；逻辑推理能力；运算求解能力4、【答案】（1）见解析；（2）作图见解析，体积为43.【解析】试题分析：证明.ABPG由PAPB可得G是AB的中点.（II）在平面PAB内，过点E作PB的平行线交PA于点F，F即为E在平面PAC内的正投影.根据正三棱锥的侧面是直角三角形且6PA，可得2,22.DEPE在等腰直角三角形EFP中，可得2.EFPF四面体PDEF的体积114222.323V（II）在平面PAB内，过点E作PB的平行线交PA于点F，F即为E在平面PAC内的正投影.理由如下：由已知可得PBPA，PBPC，又//EFPB,所以EFPAEFPC，,因此EF平面PAC，即点F为E在平面PAC内的正投影.连结CG，因为P在平面ABC内的正投影为D，所以D是正三角形ABC的中心.13由（I）知，G是AB的中点，所以D在CG上，故2.3CDCG由题设可得PC平面PAB，DE平面PAB，所以//DEPC，因此21,.33PEPGDEPC由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且6PA，可得2,22.DEPE在等腰直角三角形EFP中，可得2.EFPF所以四面体PDEF的体积114222.323V考点：线面位置关系及几何体体积的结束5、【解析】（1）由已知90BAPCDP∠∠，得ABAP，CDPD．由于ABCD∥，故ABPD，从而AB平面PAD．又AB平面PAB，所以平面PAB平面PAD．6、【答案】(1)见解析.(2)1.【解析】分析：(1)首先根据题的条件，可以得到090BAC，即BAAC，再结合已知条件BA⊥AD，利用线面垂直的判定定理证得AB⊥平面ACD，又因为AB平面ABC，根据面面垂直的判定定理，证得平面ACD⊥平面ABC；14(2)根据已知条件，求得相关的线段的长度，根据第一问的相关垂直的条件，求得三棱锥的高，之后借助于三棱锥的体积公式求得三棱锥的体积.详解：（1）由已知可得，090BAC，即BAAC．又BA⊥AD，且ACADA，所以AB⊥平面ACD．又AB平面ABC，所以平面ACD⊥平面ABC．（2）由已知可得，DC=CM=AB=3，DA=32．又23BPDQDA，所以22BP．作QE⊥AC，垂足为E，则//QEDC，