双曲线第二定义

双曲线简单的几何性质(2)双曲线的第二定义教学目标•重点：•理解第二定义•难点：•利用第二定义解决生活中与双曲线相关的问题关于x轴、y轴、原点对称图形方程范围对称性顶点离心率1(0,0)xyabab2222A1（-a，0），A2（a，0）A1（0，-a），A2（0，a）100yx(a,b)ab2222,yayaxR≥≤，或关于x轴、y轴、原点对称(1)ceea渐近线ayxb..yB2A1A2B1xOF2F1xB1yO.F2F1B2A1A2.F1(-c,0)F2(c,0)F2(0,c)F1(0,-c),xaxayR≥≤，或(1)ceeabyxaoxy解：4,2)x21y4xM（的交于＝与渐近线＝点作直线过Q321,2Myxx点在直线＝的下方，即双曲线焦点在轴上2222100(,)xyabab设双曲线方程为得到入上式代），把双曲线经过点（,)3,4(34,1,4)2),122ba解得由例1.已知双曲线的渐近线是，并且双曲线过点02yx)3,4(M,求双曲线方程。Q4M2222431()ab1)12yx又渐近线是＝21ab2)4221.xy双曲线方程为－＝法一:直接设标准方程,运用待定系数法;2244.xy所求双曲线方程为－＝022yx双曲线的渐近线方程为：解2240().xy可设所求双曲线的方程为)3,4(M双曲线过点.)3(44224法二:巧设方程,运用待定系数法.例1.已知双曲线的渐近线是，并且双曲线过点02yx)3,4(M,求双曲线方程。解：由题意可设双曲线方程为,22(0)4xy224(5)412214xy双曲线的方程为45(,)双曲线过点N变式1：求与双曲线2214xy有共同渐近线，且过点N(4,5)的双曲线的方程.222222220010.(),.xxyxyabaabyb双曲线的渐近线方程是即2222200.).(xyaxyabb渐近线方程为的双曲线方程是λ0表示焦点在x轴上的双曲线；λ0表示焦点在y轴上的双曲线。“共渐近线”的双曲线22222222(10)xyabxyab3、与共渐近线的双曲线系方程为⑴与双曲线221916xy有共同渐近线，且过点(3,23)；⑵与双曲线221164xy有公共焦点，且过点(32,2)求下列双曲线的标准方程：巩固练习根据已知条件研究双曲线的性质(1)双曲线的两条渐近线互相垂直,则它的离心率为________xy22221ab(2)双曲线的渐近线方程y=x则双曲线的焦点坐标_________2214xym32(3)设双曲线的焦点分别为F1F2,离心率为2,求双曲线渐近线方程22213yxa27,033y例2、双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小半径为12m,上口半径为13m,下口半径为25m,高55m.选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程(精确到1m).A′A0xC′CB′By131225例题讲解`AABB`C`Cxy8222.图131225O.`||,`||,``,,.,`,,.2252132822BBCCxBBCCxAAxOy且轴都平行于上、下口的直径这时重合圆心与原点轴上在径使小圆的直角坐标系建立直如图解,,0012222babyax设双曲线的方程为.,5525yB的坐标为则点,,yC13的坐标为令点所以在双曲线上因为点,,CB`AABB`C`Cxy8222.图131225O2112131155122522222222.,byby,,负值舍去得由方程1252by..,,25018150275191551251225122222bbbbb用计算器解得化简得得代入方程.,162514422yx所求双曲线的方程为所以3,5,0165:,.54MxyFlxM例点到定点的距离和它到直线的距离的比是常数求点的轨迹.45516522xyx由此得HFxyMOd922.图,||,45dMFMPlMd集合所求轨迹就是的距离到到直线是点设解22229161441169,,,.xyxy将上式两边平方并化简得即86,.M所以点的轨迹是实轴、虚轴长分别为、的双曲线双曲线的第二定义平面内，若定点F不在定直线l上，则到定点F的距离与到定直线l的距离比为常数e(e1)的点的轨迹是双曲线。定点F是双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率.对于双曲线22221xyab是相应于右焦点F(c,0)的右准线(类似于椭圆)2axc是相应于左焦点F′(-c,0)的左准线2axcxyoFlMF′2axcl′2axc点M到左焦点与左准线的距离之比也满足第二定义.想一想：中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的准线方程是怎样的？xyoF相应于上焦点F(0,c)的是上准线2yac2yac相应于下焦点F′(0,-c)的是下准线2yac2yacF′如果双曲线上一点P到右焦点的距离为，那么点P到右准线的距离是（）A.B.13C.5D.22xy=1131213135513A变式1：点P到左准线的距离多少？395变式2：若|PF2|=3,则点P到左准线的距离多少？1313或F2oF1..P巩固练习395归纳总结1.双曲线的第二定义平面内，若定点F不在定直线l上，则到定点F的距离与到定直线l的距离比为常数e(e1)的点的轨迹是双曲线。定点F是双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率。2.双曲线的准线方程对于双曲线22221,xyab准线为2axc对于双曲线22221yxab准线为2ayc注意:把双曲线和椭圆的知识相类比.已知双曲线221,169xyF1、F2是它的左、右焦点.设点A(9,2),在曲线上求点M，使24||||5MAMF的值最小,并求这个最小值.xyoF2MA165x由已知：解：a=4,b=3,c=5,双曲线的右准线为l:54e作MN⊥l,AA1⊥l,垂足分别是N,A1,N2||5||4MFMN24||||5MFMNA124||||||||5MAMFMAMN1||AA当且仅当M是AA1与双曲线的交点时取等号,令y=2,解得:4132x413,2,3M即29.5最小值是2221212,,xyaFFPOPFPOPF双曲线的两个焦点分别为为双曲线上任意一点，为坐标原点。求证：、、成等比数列。