2.2.3椭圆习题课1.进一步巩固椭圆的简单几何性质.2.掌握直线与椭圆位置关系的相关知识.1.直线与椭圆的三种位置关系是:____________________.2.联立直线与椭圆方程得到方程组y=kx+b,fx,y=0,消元得Ax2+Bx+C=0,由其判别式可判断直线与椭圆公共点的个数.(1)当Δ0时,直线与椭圆有________.(2)当Δ=0时直线与椭圆有________.(3)当Δ0时,直线与椭圆________.相离、相切、相交两个交点一个交点无交点3.椭圆上到椭圆中心最近的点是__________;最远的点是__________.4.椭圆上到椭圆焦点最近或最远的点一定是___________.短轴端点长轴端点长轴端点【要点1】你能运用三角函数知识解释,为什么e=ca越大,椭圆越扁;e=ca越小,椭圆越圆吗?【剖析】如图2-2-5所示,在Rt△BF2O中,图2-2-5cos∠BF2O=ca,ca越大,∠BF2O越小,椭圆越扁;ca越小,∠BF2O越大,椭圆越圆.【要点2】共焦点的椭圆方程的设法及焦点弦公式.【剖析】(1)与椭圆x2a2+y2b2=1有共同焦点的椭圆方程可设为x2a2+k+y2b2+k=1.(2)焦点弦(过焦点的弦):设AB为椭圆的焦点弦,A(x1,y1),B(x2,y2),AB中点M(x0,y0),则|AB|=2a±e(x1+x2)=2a±2ex0(由椭圆的第二定义可推).题型1直线与椭圆的位置关系例1:椭圆ax2+by2=1与直线x+y-1=0相交于A,B两点,C是AB的中点,若|AB|=22,OC的斜率为22,求椭圆的方程.思维突破:解答本题可先利用弦长公式及两点斜率公式构造方程组,再通过解方程组,得到基本元素a,b的值,从而求得方程.自主解答:由ax2+by2=1,x+y=1,得(a+b)x2-2bx+b-1=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=k2+1x1-x22=2·4b2-4a+bb-1a+b2.∵|AB|=22,∴a+b-aba+b=1.①设C(x,y),则x=x1+x22=ba+b,y=1-x=aa+b,∵OC的斜率为22,∴ab=22.代入①,得a=13,b=23.∴椭圆方程为x23+23y2=1.【变式与拓展】1.设椭圆C:x2a2+y2b2=1ab0过点(0,4),离心率为35.(1)求C的方程;(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C所截线段的中点坐标.解:(1)将(0,4)代入C的方程得16b2=1,∴b=4.又由e=ca=35,得a2-b2a2=925,即1-16a2=925,∴a=5.∴椭圆C的方程为x225+y216=1.(2)过点3,0且斜率为45的直线方程为y=45x-3,设直线与椭圆C的交点为Ax1,y1,Bx2,y2,将直线方程y=45x-3代入C的方程,得x225+x-3225=1,即x2-3x-8=0,解得x1=3-412,x2=3+412,∴AB的中点坐标x-=x1+x22=32,y-=y1+y22=25x1+x2-6=-65,即中点坐标为32,-65.题型2求椭圆离心率的取值例2:设椭圆上存在一点P,它到椭圆中心和长轴一个端点的连线互相垂直,求椭圆离心率的取值范围.自主解答:设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(ab0),A为右顶点(a,0),P为(x0,y0),∵PO⊥PA,∴y0x0·y0x0-a=-1,即y20=ax0-x20.又x20a2+y20b2=1,∴(a2-b2)x20-a3x0+a2b2=0,(x0-a)[(a2-b2)x0-ab2]=0.求离心率的取值范围,关键是根据题设条件得到关于a,c的不等关系,或者得到a,c的取值范围.又0x0a,∴x0=ab2a2-b2,且0ab2a2-b2a,而b2=a2-c2,∴0a2-c2c21.∴01e2-11.∴22e1.【变式与拓展】2.已知P是以F1,F2为焦点的椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)上一点,且PF1⊥PF2,tan∠PF1F2=12,则该椭圆的离心率为()A.12B.23C.13D.53解析:由题意,得|PF1|=2|PF2|,又|PF1|+|PF2|=2a,解得|PF1|=43a,|PF2|=23a,又|PF1|2+|PF2|2=4c2,所以209a2=4c2,则e=53.D题型3直线与椭圆的弦中点问题例3:已知椭圆C的焦点F1(-22,0)和F2(22,0),长轴长6.(1)设直线y=x+2交椭圆C于A,B两点,求线段AB的中点坐标;(2)求过点(0,2)的直线被椭圆C所截弦的中点的轨迹方程.自主解答:(1)由已知条件得椭圆的焦点在x轴上,其中c=22,a=3,从而b=1,所以其标准方程是:x29+y2=1.联立方程组x29+y2=1,y=x+2,消去y,得10x2+36x+27=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),AB线段中点为M(x0,y0),那么:x1+x2=-185,x0=x1+x22=-95,所以y0=x0+2=15.即线段AB的中点坐标为-95,15.(2)当直线的斜率存在时,设直线方程为y=kx+2,把它代入x2+9y2=9,整理,得(9k2+1)x2+36kx+27=0,要使直线和椭圆有两个不同交点,则Δ0,即k-33或k33,设直线与椭圆两个交点为A(x1,y1),B(x2,y2),中点坐标为C(x,y),则x=x1+x22=-18k9k2+1,y=-18k29k2+1+2=29k2+1,从参数方程x=-18k29k2+1,y=29k2+1,k-33或k33,消去k,得x2+9(y-1)2=9,且|x|3,0y12.当直线的斜率不存在时,所截弦的中点为(0,0),也符合02+9(0-1)2=9.综上,所求轨迹方程为x2+9(y-1)2=9,其中|x|3,0≤y12.【变式与拓展】3.已知过椭圆x216+y24=1内一点M(1,1)的弦AB,如图2-2-6.图2-2-6(1)若点M恰为弦AB的中点,求直线AB的方程;(2)求过点M的弦的中点的直线的轨迹方程.解:(1)当直线AB的斜率存在时,设其斜率为k,则AB的方程可设为y-1=k(x-1).由y=kx-1+1,x216+y24=1,得x2+4(kx+1-k)2=16,即(1+4k2)x2+8k(1-k)x+4(1-k)2-16=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=8kk-11+4k2,而M(1,1)是AB中点,则x1+x22=1.综上,得8kk-11+4k2=2,解得k=-14.∴直线AB的方程为y-1=-14(x-1),即x+4y-5=0.当直线AB的斜率不存在时,AB的方程为x=1,但此时,M不是AB中点.综上,直线AB的方程为x+4y-5=0.(2)设弦AB的中点为P(x,y),∵A,B,M,P四点共线,∴kAB=kMP.即-14·x1+x2y1+y2=y-1x-1(x≠1),而x1+x2=2x,y1+y2=2y,∴-142x2y=y-1x-1,整理得轨迹方程为:x2+4y2-x-4y=0(x≠1).当x=1时,斜率不存在,中点是(1,0),也满足上面的轨迹方程.综上所述,轨迹方程是x2+4y2-x-4y=0.