王孝武主编《现代控制理论基础》(第3版)第6章课件

第6章最优控制最优控制是控制系统设计的一种方法。它所研究的中心问题是如何选择控制信号，才能保证控制系统的性能在某种意义下最优。本章内容为：1.引言2.用变分法求解最优控制问题3.极小值原理及其在快速控制中的应用4.用动态规划法求解最优控制问题5.线性状态调节器6.线性伺服机问题6.1引言什么是最优控制？以下通过直流他励电机的控制问题来说明问题6-1电动机的运动方程为tJTIKDFDmdd（1）其中，为转矩系数；为转动惯量；为恒定的负载转矩；mKDJFT希望：在时间区间[0，tf]内，电动机从静止起动，转过一定角度后停止，使电枢电阻上的损耗最小，求DRttIREDtDfd)(20)(tIDDI因为是时间的函数，E又是的函数，E是函数的函数，称为泛函。DIconstttftd)(0（2）采用状态方程表示，令1x12xxDFDDmJTIJKx2于是FDDDmTJIJKxxxx10000102121（3）初始状态00)0()0(21xx末值状态0)()(21fftxtxDI控制不受限制性能指标ttIREDtDfd)(20（4）)(tID本问题的最优控制问题是：在数学模型（3）的约束下，寻求一个控制，使电动机从初始状态转移到末值状态，性能指标E为最小。问题6-2对于问题6-1中的直流他励电动机，如果电动机从初始)(tID时刻的静止状态转过一个角度又停下，求控制（是受到限制的），使得所需时间最短。00t)(tID这也是一个最优控制问题：系统方程为FDDDmTJIJKxxxx10000102121初始状态00)0()0(21xx末值状态0)()(21fftxtx)(tIDmaxDI≤（5）性能指标ftttJf0d（6）)0(x最优控制问题为：在状态方程的约束下，寻求最优控制，将转移到，使J为极小。maxDI)(tID≤)(ftx最优控制问题的一般性提法为系统状态方程为),(tux,fx初始状态为)(0tx其中，x为n维状态向量；u为r维控制向量；f为n维向量函数，它是x、u和t的连续函数，并且对x、t连续可微。最优。其中是x、u和t的连续函数),,(tuxL)(ftxrRu寻求在上的最优控制或，以将系统状态从转移到或的一个集合，并使性能指标],[0fttrRUu)(0tx)(ftxttttJfttffd),,(]),([0uxLx最优控制问题就是求解一类带有约束条件的条件泛函极值问题。补充：泛函与变分法一、泛函与变分1、泛函的基本定义：)(tx如果对于某个函数集合中的每一个函数，变量J都有一个值与之对应，则称变量J为依赖于函数的泛函，记作)(tx)(tx)(txJ可见，泛函为标量，可以理解为“函数的函数”例如：ttxxJd)(][30（其中，为在上连续可积函数）)(tx]3,0[当时，有；当时，有。ttx)(5.4Jtetx)(13eJ泛函如果满足以下条件时，称为线性泛函：)]([tJx1），其中c为任意常数；2）)]([)]([tcJtcJxx)]([)]([)]()([2121tJtJttJxxxx)()(0ttxx对于一个任意小正数，总是可以找到，当时，有就称泛函在处是连续的。)()(0ttxx)]([)]([0tJtJxx)]([tJx2、泛函的变分)(tx所谓泛函的宗量的变分是指两个函数间的差。)]([tJx)()(δ0ttxxxnRtt)(),(0xx定义：设是线性赋泛空间上的连续泛函，其增量可表示为][xJnR]δ,[]δ,[][]δ[][ΔxxxxxxxxrLJJJ]δ,[xxr其中，是关于的线性连续泛函，是关于的高阶无穷小。则称为泛函的变分。]δ,[xxLxδxδ]δ,[δxxLJ][xJ3、泛函变分的规则1）2121δδ)δ(LLLL2）122121δδ)δ(LLLLLL3）ttLttLbabad],,[δd],,[δxxxx4）xxδddddδtt泛函的变分等于0)(xtxJ0xx定理：设是在线性赋泛空间上某个开子集D中定义的可微泛函，且在处达到极值，则泛函在处必有][xJ][xJnR0xx0]δ,[δ0xxJ4、泛函的极值0x][xJ设是在线性赋泛空间上某个子集D中的线性连续泛函，，若在的某领域内nRD0xnRUxxxxx,),(00在时，均有DU),(0xx][][][Δ0xxxJJJ≥0][][][Δ0xxxJJJ≤0或则称在处达到极大值或极小值。)(xJ0xx欧拉方程：fftxx)(ft定理：设有如下泛函极值问题：其中，及在上连续可微，和给定，已知，，，则极值轨线满足如下欧拉方程dttLJfttt0),,(][min)(xxxx),,(tLxx)(tx],[0ftt0t00)(xxtnRt)(x)(*tx0ddxxLtL及横截条件0)()(00txLtxLtTftTfxx注意：满足欧拉方程是必要条件，不是充分条件。6.2用变分法求解最优控制问题6.2.1末值时刻固定、末值状态自由情况下的最优控制非线性时变系统状态方程为),(tux,fx（6）初始状态)()(00ttttxx（7）其中，x为n维状态向量；u为r维控制向量；f为n维向量函数。要求在控制空间中寻求一个最优控制向量，使以下性能指标)(tutttJfttfd),,()]([0uxLx（8）沿最优轨线取极小值。)(tx（性能指标如（8）式所示的最优控制问题，是变分法中的波尔扎问题）引入拉格朗日乘子)()()()(21ttttnλ（9）将性能指标（8）式改写为其等价形式tttttJTttffd]}),,()[(),,({)]([0xuxfλuxLx),,()(),,(),,,(ttttHTuxfλuxLλux定义哈密顿函数（10）则tttHtJTttffd])(),,,([)]([0xλλuxxttttHtTttttfffd)(d),,,()]([00xλλuxx（11）由（6）式可知为零xux,f),(t（12）对（11）式中的第三项进行分部积分，得tttttHtJTttttTttffffd)()(d),,,()]([000xλxλλuxx当泛函J取极值时，其一次变分等于零。即0δJ可以变分的量：uuuδ)()(ttxxxδ)()(tt)(δ)()(ffftttxxx不可以变分的量：0tft)(0tx)(tλ求出J的一次变分并令其为零0dδδδ)(δ)()(δ)(δ0tHHttttJTTTttffTfTffxλuuxxxλxx将上式改写成0dδδ)(δ)()(δ0tHHtttJTTttfTfffuuxλxxλx（13）)(δftx)(tλ由于未加限制，可以选择使上式中和的系数等于零。于是有)(tλxδxλH（15）（14）（16）)()(ffttxλ0dδδ0tHJTttfuu由于是任意的变分，根据变分法中的辅助引理，由（16）式得uδ0uH（17）（14）式称为伴随方程，为伴随变量，（17）式为控制方程。)(tλ几点说明：1）实际上，（14）式和（17）式就是欧拉方程。λxfxLxλH（18）因为0uH0λufuL（19）如果令]),,()[(),,,(),,,(xuxfλλuxLλuxttttHT简记成][xfλLTH（20）λxfxLλ由欧拉方程得到0ddxxHtH0)(λλxfxL即（21）可见（21）式和（18）式相同，（22）式和（19）式相同。因此，（14）式和（17）就是欧拉方程，而（7）式和（15）就是横截条件。0dduuHtH0λufuL（22）2）是泛函取极值的必要条件是否为极小值还需要二次变分来判断，则泛函J取极小值。0δJJ2δ0δ2J3）哈密顿函数沿最优轨线随时间的变化率tHHHHtHTTTλλuuxxdd在最优控制、最优轨线下，有和*u*x0uH（10）式的哈密顿函数对求偏导，结果为λxux,f),(t由（14）式可得0xλλxλλxxHHHHHHTTTT因为减号两边是相等标量（行向量与列向量相乘）（23）（24）这两个等于零的式子代入（23）式，于是tHtHdd即哈密顿函数H沿最优轨线对时间的全导数等于它对时间的偏导数。记为则)(),,,(***tHtHλuxttHHdd（25）对上式积分，得到dHtHtHfttf**0*0)()(（26）当哈密顿函数不显含t时，由（25）式得consttHtHf)()(**初始条件例6-1系统状态方程为ux)(0tx性能指标tutcxJfttfd21)(212200c试求最优控制，使J取极小值。*u解哈密顿函数uutuxH221),,,(由伴随方程0xHconst)()()(fftcxtt)()(21)()(2fffftcxtcxtxt因为const由控制方程0uuH即)()(*ftcxtu将代入状态方程*u)(ftcxux解为10))(()(ctttcxtxf当时，代入上式，求得，所以0tt)(01txc)())(()(00txtttcxtxf当时，ftt)(1)()(00tttxtxff)(1)(21d21)(2100222*0ttctcxtutcxJfttff最优性能指标为6.2.2末值时刻固定，末端状态固定情况下的最优控制非线性时变系统状态方程为),(tux,fx（27）初始状态)()(00ttttxx（28）末值状态)()(fttttfxx（29）性能指标ttLJfttd),,(0ux（30）)(ftx寻求最优控制，在内，将系统从转移到，同时使性能指标J取极小值。*u],[0ftt)(0tx（性能指标如（30）式所示的最优控制问题，是变分法中的拉格朗日问题）引入哈密顿函数),,()(),,(),,,(ttttHTuxfλuxLλux)()()()(21ttttnλ其中ttHJTttfd]),,,([0xλλux于是因为xλλuxuxfλλuxuxL)(),,,(),,()(),,,(),,(ttHtttHtTT对上式右边第2项进行分部积分，可以得到ttHttttJTttffTTfd]),,,([)()()()(000xλλuxxλxλ上式中可以变分的量：uuuδ)()(ttxxxδ)()(tt)(tλ不可以变分的量：0tft)(0tx)(ftx令性能指标J的一次变分等于零，得0dδδδ0tHHJTTttfuuxλx（31）选择，使其满