专题52-巧解圆锥曲线中的定点和定值问题-备战2020高考技巧大全之高中数学黄金解题模板(解析版)

【高考地位】圆锥曲线是解析几何的重要内容之一，也是高考重点考查的内容和热点，知识综合性较强，对学生逻辑思维能力计算能力等要求很高，这些问题重点考查学生方程思想、函数思想、转化与化归思想的应用．定值问题与定点问题是这类题目的典型代表，为了提高同学们解题效率，特别是高考备考效率，本文列举了一些典型的定点和定值问题，以起到抛砖引乇的作用．【方法点评】方法一定点问题求解直线和曲线过定点问题的基本解题模板是：把直线或曲线方程中的变量x，y当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x，y的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点，或者可以通过特例探求，再用一般化方法证明．【例1】已知椭圆2222:10xyCabab的左右焦点分别为12,FF，椭圆C过点21,2P，直线1PF交y轴于Q，且22,PFQOO为坐标原点．（1）求椭圆C的方程；（2）设M是椭圆C上的顶点，过点M分别作出直线,MAMB交椭圆于,AB两点，设这两条直线的斜率分别为12,kk，且122kk，证明：直线AB过定点．【答案】（1）2212xy；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）因为22PFQO，所以212PFFF，1c，将21,2P代入椭圆得221121ab，解得221,2ba，椭圆方程为2212xy；（2）设AB方程为ykxb代入椭圆方程，写出根与系数关系，11,ABMAMBAByykkxx，求得2MAMBkk，所以1kb，代入ykxb得：1ykxk所以，直线必过1,1．学科网（2）设AB方程为ykxb代入椭圆方程22212102kxkbxb，22221,1122ABABkbbxxxxkk，11,ABMAMBAByykkxx，∴112ABABABABMAMBABAByxxyxxyykkxxxx，∴1kb代入ykxb得：1ykxk所以，直线必过1,1．考点：直线与圆锥曲线位置关系．【方法点晴】求曲线方程主要方法是方程的思想，将向量的条件转化为垂直.直线和圆锥曲线的位置关系一方面要体现方程思想，另一方面要结合已知条件，从图形角度求解．联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解是一个常用的方法.涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．【变式演练1】已知椭圆C过点6(1,)2M，点(2,0)F是椭圆的左焦点，点P、Q是椭圆C上的两个动点，且PF、MF、QF成等差数列．（1）求椭圆C的标准方程；（2）求证：线段PQ的垂直平分线经过一个定点A.方法二定值问题解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或某些代数表达式的值等和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值，求定值问题常见的解题模板有两种：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．【例2】已知抛物线2:2(0)Eypxp，直线3xmy与E交于A，B两点，且6OAOB，其中O为坐标原点.（1）求抛物线E的方程；（2）已知点C的坐标为（-3,0），记直线CA、CB的斜率分别为1k，2k，证明：22212112mkk为定值.【答案】（1）2yx；（2）详见解析【解析】试题解析：（1）解：设11(,)Axy，22(,)Bxy，联立方程组223ypxxmy，消元得2260ypmyp，所以122yypm，126yyp.又2121212122()9664yyOAOBxxyyyypp，所以12p，从而2yx.学科网又122yypmm，1263yyp，所以2222221211622123622439mmmmmmkk.即22212112mkk为定值.考点：1.抛物线方程；2.直线与抛物线的位置关系.【变式演练2】如图,椭圆2222:10xyCabab的离心率是32,点13,2E在椭圆上,设点11,AB分别是椭圆的右顶点和上顶点,过点11,AB引椭圆C的两条弦1AE、1BF.（1）求椭圆C的方程；（2）若直线1AE与1BF的斜率是互为相反数.①直线EF的斜率是否为定值？若是求出该定值,若不是,说明理由；②设1AEF、1BEF的面积分别为1S和2S,求12SS的取值范围.【答案】(1)2214xy；(2)①是定值21；②0,22.【解析】试题分析：(1)借助题设条件建立方程组求解；(2)借助题设运用直线与椭圆的位置关系探求.学科网点2222824,4141kkEkk,联立方程组22144ykxxy,消去y得：222284180,41kkxkxxk,222214141kykxk,点2222814,4141kkFkk,故121212EFyykxx.②设直线1:2EFyxb,联立方程组221244yxbxy,消去y得：222220xbxb,2222422840,22bbbb,222121212152,22,18422xxbxxbEFxxb,设12dd分别为点11,AB到直线EF的距离,则122211,111122bbdd,[来源:学,科,网Z,X,X,K]2121211122SSddEFbbb,当12b时,2241222220,1SSbbbb；考点：椭圆的标准方程及直线与圆的位置关系等有关知识的综合运用．【高考再现】1.【2016高考北京文数】（本小题14分）已知椭圆C：22221xyab过点A（2,0），B（0,1）两点.（I）求椭圆C的方程及离心率；（Ⅱ）设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值.【答案】（Ⅰ）2214xy；32e（Ⅱ）见解析.【解析】[来源:学§科§网Z§X§X§K]考点：椭圆方程，直线和椭圆的关系，运算求解能力.学科网【名师点睛】解决定值定点方法一般有两种：(1)从特殊入手，求出定点、定值、定线，再证明定点、定值、定线与变量无关；(2)直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量，从而得到定点、定值、定线.应注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算.2.【2016高考山东文数】(本小题满分14分)已知椭圆C:（ab0）的长轴长为4，焦距为2.（I）求椭圆C的方程；(Ⅱ)过动点M(0，m)(m0)的直线交x轴与点N，交C于点A，P(P在第一象限)，且M是线段PN的中点.过点P作x轴的垂线交C于另一点Q，延长线QM交C于点B.(i)设直线PM、QM的斜率分别为k、k'，证明为定值.(ii)求直线AB的斜率的最小值.【答案】(Ⅰ)22142xy.(Ⅱ)(i)见解析；(ii)直线AB的斜率的最小值为62.【解析】所以直线AB的斜率的最小值为62.学科网考点：1.椭圆的标准方程及其几何性质；2.直线与椭圆的位置关系；3.基本不等式.【名师点睛】本题对考生计算能力要求较高，是一道难题.解答此类题目，利用,,,abce的关系，确定椭圆（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到参数的解析式或方程是关键，易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出..本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、基本计算能力、分析问题解决问题的能力等.学科网3.【2016高考四川文科】（本小题满分13分）已知椭圆E：22221(0)xyabab的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点1(3,)2P在椭圆E上.(Ⅰ)求椭圆E的方程；(Ⅱ)设不过原点O且斜率为12的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B，线段AB的中点为M，直线OM与椭圆E交于C，D，证明：MAMBMCMD．【答案】（1）2214xy；（2）证明详见解析.【解析】所以2555(2)(2)(2)224MCMDmmm.又222212121212115[()()][()4]4416MAMBABxxyyxxxx22255[44(22)](2)164mmm.所以=MAMBMCMD.考点：椭圆的标准方程及其几何性质.[来源:学科网ZXXK]【名师点睛】本题考查椭圆的标准方程及其几何性质，考查学生的分析问题解决问题的能力和数形结合的思想.在涉及到直线与椭圆（圆锥曲线）的交点问题时，一般都设交点坐标为1122(,),(,)xyxy，同时把直线方程与椭圆方程联立，消元后，可得1212,xxxx，再把MAMB用12,xx表示出来，并代入刚才的1212,xxxx，这种方法是解析几何中的“设而不求”法．可减少计算量，简化解题过程．4.【2016年高考北京理数】（本小题14分）已知椭圆C：22221xyab（0ab）的离心率为32，(,0)Aa，(0,)Bb，(0,0)O，OAB的面积为1.（1）求椭圆C的方程；（2）设P的椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N.求证：BMAN为定值.【答案】（1）2214xy；（2）详见解析.【解析】试题解析：（1）由题意得,,121,23222cbaabac解得1,2ba.[来源:学科网ZXXK]所以椭圆C的方程为1422yx.[来源:学科网]令0y，得100yxxN.从而12200yxxANN.所以221120000xyyxBMAN228844224844400000000000000002020yxyxyxyxyxyxyxyxyx4.当00x时，10y，,2,2ANBM所以4BMAN.综上，BMAN为定值.学科网考点：1.椭圆方程及其性质；2.直线与椭圆的位置关系.【名师点睛】解决定值定点方法一般有两种：(1)从特殊入手，求出定点、定值、定线，再证明定点、定值、定线与变量无关；(2)直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量，从而得到定点、定值、定线.应注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算.5.【2016年高考四川理数】（本小题满分13分）已知椭圆E：22221(0)xyabab的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线:3lyx与椭圆E有且只有一个公共点T.（Ⅰ）求椭圆E的方程及点T的坐标；（Ⅱ）设O是坐标原点，直线l’平行于OT，与椭圆E交于不同的两点A、B，且与直线l交于点P．证明：存在常数，使得2PTPAPB，并求的值.【答案】（Ⅰ）22163xy，点T坐标为（2,1）；（Ⅱ）45.【解析】试题解析：（I）由已知，222(2)aac，即2ac，所以2ab，则椭圆E的方程为222212xybb.由方程组22221,23,xybbyx得22312(182)0xxb.①方程①的判别式为2=24(3)b，由=0，得2=3b，此方程①的解为=2x，所以椭圆E的方程为22163xy.点T坐标为（