两角和与差的余弦公式

12:51:2012:51:20一、新课引入问题1:cos15°＝？cos75°=？问题2:cos15°＝cos（45°－30°）＝cos45°－cos30°?cos75°＝cos（45°+30°）＝cos45°+cos30°？cos(α-β)=cos(α+β)=??12:51:20探究：如何用任意角α，β的正弦、余弦值表示？cos()思考1：设α，β为两个任意角,你能判断cos(α－β)＝cosα－cosβ恒成立吗?例:cos(30°－30°)≠cos30°－cos30°因此，对角α，βcos(α－β)＝cosα－cosβ一般不成立.12:51:20〖探究1〗cos（α-β）公式的结构形式应该与哪些量有关系？发现：cos（α-β）公式的结构形式应该与sinα,cosα,sinβ,cosβ均有关系sin)2cos()cos(,2令则令,则cos)cos()cos(令令,2,则则sin)2cos()cos(cos)cos()cos(12:51:20sin60°sin120°cos60°cos120°cos(120°－60°)sin30°sin60°cos30°cos60°cos(60°－30°)323232321212123212思考2：我们知道cos(α－β)的值与α，β的三角函数值有一定关系，观察下表中的数据，你有什么发现？1212:51:20从表中,可以发现:cos(60°－30°)=cos60°cos30°+sin60°sin30°cos(120°－60°)=cos120°cos60°+sin120°sin60°现在，我们猜想，对任意角α，β有：cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ12:51:20xyPP1MBOACsincoscoscos+11〖探究2〗借助三角函数线来推导cos（α-β）公式coscos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ又OM＝OB＋BMOM＝cos(α-β)OB＝cosαcosβBM＝sinαsinβsinsin12:51:20〖探究3〗两角差的余弦公式有哪些结构特征？()Ccoscoscossinsin注意：1.公式的结构特点：等号的左边是复角α-β的余弦值，等号右边是单角余弦值的乘积与正弦值的乘积的和。2.公式中的α,β是任意角，公式的应用要讲究一个“活”字，即正用、逆用、变形用，还要创造条件应用公式，如构造角β＝(α＋β)－α，β＝等．上述公式称为差角的余弦公式，记作简记“余余正正号相反”2212:51:20〖公式应用〗引例:求cos15°的值.分析：将150可以看成450-300而450和300均为特殊角，借助它们即可求出150的余弦.cos150=cos（450-300）=cos450cos300+sin450sin300=×+×=12:51:20应用解:由sinα＝,α∈(,),得542分析:由Cα-β和本题的条件，要计算cos(α-β),还应求什么？53541sin1cos22又由cosβ=，β是第三象限的角，得135-13121351cos1sin22所以cos(α-β)＝cosβcosα+sinβsinα653313125413553已知sinα＝,α∈(,),cosβ=-,β是第三象限角，求cos(α-β)的值。2135例1：小结：要求cos(α-β)应先求出α,β的正余弦，5412:51:20练习：000055sin175sin55cos175cos.121)24sin()21sin()24cos()21cos(.2000022cos()coscossinsinα-βαβ+αβcosαcosβ+sinαsinβ=cos(α-β)公式的逆用应用12:51:20〖探究4〗两角差的余弦公式推导两角和的余弦公式？coscoscossinsin注意：1.公式的结构特点：等号的左边是复角α+β的余弦值，等号右边是单角余弦值的乘积与正弦值的乘积的差。2.公式中的α,β是任意角。上述公式称为和角的余弦公式，记作简记“余余正正号相反”用替换，得到sinsincoscoscosC12:51:20附条件的求值问题例2：已知cosα+cosβ＝，sinα-sinβ＝，求cos(α+β)的值．应用2131解：有已知得，7211cos7211sinsincoscos3613sinsincoscos223613sin-sincoscos2212:51:201、化简sin(x＋y)sin(x－y)-cos(x＋y)cos(x－y)的结果是()(A)sin2x(B)cos2y(C)－cos2x(D)－cos2y练习2、）为（的值则4cos,2,23,53sin102.A102.B1027.C1027.DCA12:51:20