2008江苏高考数学试题及答案

第1页共12页绝密★启用前2008年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学本试卷分第I卷（填空题）和第II卷（解答题）两部分．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的准考证号、姓名，并将条形码粘贴在指定位置上．2.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或炭素笔书写，字体工整，笔迹清楚．3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．4.保持卡面清洁，不折叠，不破损．5.作选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．参考公式:样本数据1x,2x,,nx的标准差222121nsxxxxxxn其中x为样本平均数柱体体积公式VSh其中S为底面积，h为高一、填空题：本大题共1小题，每小题5分，共70分．1.cos6fxx的最小正周期为5，其中0，则=▲．2．一个骰子连续投2次，点数和为4的概率▲．3.11ii表示为abi,abR，则ab=▲．4.A=2137xxx，则AZ的元素的个数▲．5.a，b的夹角为120，1a，3b则5ab▲．锥体体积公式13VSh其中S为底面积，h为高球的表面积、体积公式24SR，343VR其中R为球的半径第2页共12页6.在平面直角坐标系xoy中，设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D中随机投一点，则所投的点落入E中的概率是▲．7.某地区为了解70-80岁老人的日平均睡眠时间（单位：h），随即选择了50为老人进行调查，下表是这50为老人日睡眠时间的频率分布表。序号（i）分组（睡眠时间）组中值（Gi）频数（人数）频率（Fi）1[4，5]4.560.122[5，6]5.5100.203[6，7]6.5200.404[7，8]7.5100.205[8，9]8.540.08在上述统计数据的分析中，一部分计算见算法流程图，则输出的S的值是▲。8.设直线12yxb是曲线ln0yxx的一条切线，则实数b＝▲．9在平面直角坐标系xOy中，设三角形ABC的顶点分别为A(0,a),B(b,0),C(c,0)，点P（0，p）在线段AO上的一点（异于端点），设a,b,c,p均为非零实数，直线BP,CP分别与边AC,AB交于点E、F，某同学已正确求得OE的方程：11110xybcpa，请你完成直线OF的方程：（▲）110xypa.10．将全体正整数排成一个三角形数阵：123456789101112131415．．．．．．．按照以上排列的规律，数阵中第n行（n≥3）从左向右的第3个数为▲．11.已知,,xyzR，满足230xyz，则2yxz的最小值是▲．12.在平面直角坐标系xOy中，设椭圆2222xyab1(ab0)的焦距为2c，以点O为圆心，a为半径作圆M，若过点P2,0ac所作圆M的两条切线互相垂直，则该椭圆的离心率为e=▲．第3页共12页13．满足条件AB=2,AC=2BC的三角形ABC的面积的最大值是▲．14.设函数331fxaxx（x∈R），若对于任意1,1x，都有fx≥0成立，则实数a=▲．二、解答题：本大题共6小题，共计90分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边做两个锐角,，它们的终边分别与单位圆相交于A、B两点，已知A、B的横坐标分别为225,105．（Ⅰ）求tan()的值；（Ⅱ）求2的值．16．如图，在四面体ABCD中，CB=CD,AD⊥BD，点E、F分别是AB、BD的中点，求证：（Ⅰ）直线EF∥平面ACD；（Ⅱ）平面EFC⊥平面BCD．17．如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的两个顶点A、B及CD的中点P处，已知AB=20km,CB=10km，为了处理三家工厂的污水，现要在该矩形ABCD的区域上（含边界），且与A、B等距离的一点O处建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO,BO,OP，设排污管道的总长为ykm．（Ⅰ）按下列要求写出函数关系式：①设∠BAO=(rad)，将y表示成的函数关系式；②设OPx(km)，将y表示成x的函数关系式．（Ⅱ）请你选用（Ⅰ）中的一个函数关系，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短．18．设平面直角坐标系xoy中，设二次函数22fxxxbxR的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C．（Ⅰ）求实数b的取值范围；（Ⅱ）求圆C的方程；（Ⅲ）问圆C是否经过某定点（其坐标与b无关）？请证明你的结论．第4页共12页19.（Ⅰ）设12,,,naaa是各项均不为零的等差数列（4n），且公差0d，若将此数列删去某一项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列：①当n=4时，求1ad的数值；②求n的所有可能值；（Ⅱ）求证：对于一个给定的正整数n(n≥4)，存在一个各项及公差都不为零的等差数列12,,,nbbb，其中任意三项（按原来顺序）都不能组成等比数列．20.若113xpfx，2223xpfx，12,,xRpp为常数，函数f(x)定义为：对每个给定的实数x，112212,,fxfxfxfxfxfxfx（Ⅰ）求1fxfx对所有实数x成立的充要条件（用12,pp表示）；（Ⅱ）设,ab为两实数，满足ab，且12,pp∈,ab,若fafb，求证：fx在区间,ab上的单调增区间的长度之和为2ba（闭区间,mn的长度定义为nm）．第5页共12页2008年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学参考答案一、填空题：本大题共1小题，每小题5分，共70分．1.【答案】10【解析】本小题考查三角函数的周期公式.2105T2．【答案】112【解析】本小题考查古典概型．基本事件共6×6个，点数和为4的有(1,3)、(2,2)、(3,1)共3个，故316612P3.【答案】1【解析】本小题考查复数的除法运算．∵21112iiii，∴a＝0，b＝1，因此1ab4.【答案】0【解析】本小题考查集合的运算和解一元二次不等式．由2(1)37xx得2580xx,∵Δ＜0，∴集合A为，因此AZ的元素不存在．5.【答案】7【解析】本小题考查向量的线性运算．2222552510ababaabb=22125110133492，5ab76.【答案】16【解析】本小题考查古典概型．如图：区域D表示边长为4的正方形的内部（含边界），区域E表示单位圆及其内部，因此．214416P7.【答案】6.428.【答案】ln2－1第6页共12页【解析】本小题考查导数的几何意义、切线的求法．'1yx，令112x得2x，故切点（2，ln2），代入直线方程，得，所以b＝ln2－1．9【答案】11cb【解析】本小题考查直线方程的求法．画草图，由对称性可猜想填11cb．事实上，由截距式可得直线AB：1xyba，直线CP：1xycp，两式相减得11110xybcpa，显然直线AB与CP的交点F满足此方程，又原点O也满足此方程，故为所求直线OF的方程．10．【答案】262nn【解析】本小题考查归纳推理和等差数列求和公式．前n－1行共有正整数1＋2＋…＋（n－1）个，即22nn个，因此第n行第3个数是全体正整数中第22nn＋3个，即为262nn．11.【答案】3【解析】本小题考查二元基本不等式的运用．由230xyz得32xzy，代入2yxz得229666344xzxzxzxzxzxz，当且仅当x＝3z时取“＝”．12.【答案】22【解析】设切线PA、PB互相垂直，又半径OA垂直于PA，所以△OAP是等腰直角三角形，故22aac，解得22cea．13．【答案】22【解析】本小题考查三角形面积公式、余弦定理以及函数思想．设BC＝x，则AC＝2x，根据面积公式得ABCS=21sin1cos2ABBCBxB，根据余弦定理得第7页共12页2222242cos24ABBCACxxBABBCx244xx，代入上式得ABCS=2221281241416xxxx由三角形三边关系有2222xxxx解得222222x，故当22x时取得ABCS最大值2214.【答案】4【解析】本小题考查函数单调性的综合运用．若x＝0，则不论a取何值，fx≥0显然成立；当x＞0即1,1x时，331fxaxx≥0可化为，2331axx设2331gxxx，则'4312xgxx，所以gx在区间10,2上单调递增，在区间1,12上单调递减，因此max142gxg，从而a≥4；当x＜0即1,0时，331fxaxx≥0可化为a2331xx，'4312xgxx0gx在区间1,0上单调递增，因此ma14ngxg，从而a≤4，综上a＝4二、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．【解析】本小题考查三角函数的定义、两角和的正切、二倍角的正切公式．解：由已知条件及三角函数的定义可知，225cos,cos105，因为,为锐角，所以sin=725,sin105因此1tan7,tan2（Ⅰ）tan()=tantan31tantan第8页共12页（Ⅱ）22tan4tan21tan3，所以tantan2tan211tantan2∵,为锐角，∴3022，∴2=3416．【解析】本小题考查空间直线与平面、平面与平面的位置关系的判定．解：（Ⅰ）∵E,F分别是AB,BD的中点，∴EF是△ABD的中位线，∴EF∥AD，∵EF面ACD，AD面ACD，∴直线EF∥面ACD．（Ⅱ）∵AD⊥BD，EF∥AD，∴EF⊥BD.∵CB=CD,F是BD的中点，∴CF⊥BD.又EFCF=F，∴BD⊥面EFC．∵BD面BCD，∴面EFC⊥面BCD．17．【解析】本小题主要考查函数最值的应用．解：（Ⅰ）①延长PO交AB于点Q，由条件知PQ垂直平分AB，若∠BAO=(rad)，则10coscosAQOA,故10cosOB，又OP＝1010tan10－10ta，所以10101010tancoscosyOAOBOP，所求函数关系式为2010sin10cosy04②若OP=x(km)，则OQ＝10－x，所以OA=OB=222101020200xxx所求函数关系式为2220200010yxxxx（Ⅱ）选择函数模型①，'2210coscos2010sin102sin1coscossiny令'y0得sin12，因为04，所以=6，当0,6时，'0y，y是的减函数；当,64时，'0y，y是的增函数，所第9页共12页以当=6时，min10103y。这时点P位于线段AB的中垂线上，且距离AB边1