9高等数学课件(完整版)详细

一、问题的提出实例:曲线形构件的质量oxyAB1nMiM1iM2M1M),(iiL.sM匀质之质量分割,,,,121insMMM,),(iiis取.),(iiiisM求和.),(1niiiisM取极限.),(lim10niiiisM近似值精确值二、对弧长的曲线积分的概念,),(,),(,),(,.,,,.),(,1121niiiiiiiiiinsfsfisinLMMMLLyxfxoyL并作和作乘积点个小段上任意取定的一为第又个小段的长度为设第个小段分成把上的点用上有界在函数面内一条光滑曲线弧为设1.定义oxyAB1nMiM1iM2M1M),(iiL.),(lim),(,),(,),(,,010niiiiLLsfdsyxfdsyxfLyxf即记作线积分第一类曲上对弧长的曲线积分或在曲线弧则称此极限为函数这和的极限存在时长度的最大值如果当各小弧段的被积函数积分弧段积分和式曲线形构件的质量.),(LdsyxM2.存在条件：.),(,),(存在对弧长的曲线积分上连续时在光滑曲线弧当LdsyxfLyxf3.推广曲线积分为上对弧长的在空间曲线弧函数),,(zyxf.),,(lim),,(10iniiiisfdszyxf注意：)(,)(.121LLLL是分段光滑的或若.),(),(),(2121LLLLdsyxfdsyxfdsyxf.),(),(.2LdsyxfLyxf曲线积分记为上对弧长的在闭曲线函数4.性质.),(),()],(),([)1(LLLdsyxgdsyxfdsyxgyxf).(),(),()2(为常数kdsyxfkdsyxkfLL.),(),(),()3(21LLLdsyxfdsyxfdsyxf).(21LLL三、对弧长曲线积分的计算定理)()()()](),([),(,],[)(),()(),(),(,),(22dtttttfdsyxfttttytxLLyxfL且上具有一阶连续导数在其中的参数方程为上有定义且连续在曲线弧设注意:;.1一定要小于上限定积分的下限.,,),(.2而是相互有关的不彼此独立中yxyxf特殊情形.)(:)1(bxaxyL.)(1)](,[),(2dxxxxfdsyxfbaL)(ba推广:)().(),(),(:ttztytx)()()()()](),(),([),,(222dtttttttfdszyxf.)(:)2(dycyxL.)(1]),([),(2dyyyyfdsyxfdcL)(dc例1).(,sin,cos:,象限第椭圆求tbytaxLxydsIL解dttbtatbtaI2220)cos()sin(sincosdttbtattab222220cossincossinabduubaab222)cossin(2222tbtau令.)(3)(22bababaab例2.)2,1()2,1(,4:,2一段到从其中求xyLydsIL解dyyyI222)2(1.0例3)20(.,sin,cos:,的一段其中求kzayaxxyzdsI解.21222kakaxy42dkaka222sincos20I例4.0,,22222zyxazyxdsxI为圆周其中求解由对称性,知.222dszdsydsxdszyxI)(31222故dsa32.323a),2(球面大圆周长dsa四、几何与物理意义,),()1(的线密度时表示当Lyx;),(LdsyxM;,1),()2(LdsLyxf弧长时当,),(),()3(处的高时柱面在点上的表示立于当yxLyxf.),(LdsyxfS柱面面积sL),(yxfz,)4(轴的转动惯量轴及曲线弧对yx.,22LyLxdsyIdsxI曲线弧的重心坐标)5(.,LLLLdsdsyydsdsxx五、小结1、对弧长曲线积分的概念2、对弧长曲线积分的计算3、对弧长曲线积分的应用思考题对弧长的曲线积分的定义中的符号可能为负吗？iS思考题解答iS的符号永远为正，它表示弧段的长度.一、填空题:1、已知曲线形构件L的线密度为),(yx,则L的质量M=_______________；2、Lds=_______________；3、对________的曲线积分与曲线的方向无关；4、Ldsyxf),(=dtttttf)()()](),([22中要求________.二、计算下列求弧长的曲线积分:1、Lyxdse22,其中L为圆周222ayx,直线xy及x轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界；练习题2、yzdsx2,其中L为折线ABCD,这里DCBA,,,依次为点(0,0,0),(0,0,2),(1,0,2),(1,3,2)；3、Ldsyx)(22,其中L为曲线)cos(sin)sin(costttaytttax)20(t；4、计算Ldsy,其中L为双纽线)0()()(222222ayxayx.三、设螺旋形弹簧一圈的方程为taxcos,taysin,ktz,其中20t,它的线密度222),,(zyxzyx,求:1、它关于Z轴的转动ZI惯量；2、它的重心.练习题答案一、1、Ldsyx),(；2、的弧长L；3、弧长；4、.二、1、2)42(aea；2、9；3、)21(2232a；4、)22(22a.三、)43(32222222kakaaIz；2222436kaakx；2222436kaaky；22222243)2(3kakakz.oxyABL一、问题的提出1nMiM1iM2M1Mixiy实例:变力沿曲线所作的功,:BALjyxQiyxPyxF),(),(),(常力所作的功分割.),,(,),,(,1111110BMyxMyxMMAnnnn.)()(1jyixMMiiii.ABFW求和.]),(),([1niiiiiiiyQxP取极限.]),(),([lim10niiiiiiiyQxPW近似值精确值,),(),(),(jQiPFiiiiii取,),(1iiiiiMMFW.),(),(iiiiiiiyQxPW即niiWW1oxyABL1nMiM1iM2M1M),(iiFixiy二、对坐标的曲线积分的概念,0.),(,,).,;,,2,1(),(,),,(),,(.),(),,(,11101111222111时长度的最大值如果当各小弧段上任意取定的点为点设个有向小弧段分成把上的点用上有界在函数向光滑曲线弧的一条有到点面内从点为设iiiiiiiiiiniinnnMMyyyxxxBMAMniMMnLyxMyxMyxMLLyxQyxPBAxoyL1.定义.),(lim),(,(),(,),(101iiniiLniiiixPdxyxPxLyxPxP记作或称第二类曲线积分）积分的曲线上对坐标在有向曲线弧数则称此极限为函的极限存在类似地定义.),(lim),(10iiniiLyQdyyxQ,),(),,(叫做被积函数其中yxQyxP.叫积分弧段L2.存在条件：.,),(),,(第二类曲线积分存在上连续时在光滑曲线弧当LyxQyxP3.组合形式LLLdyyxQdxyxPdyyxQdxyxP),(),(),(),(.,jdyidxdsjQiPF其中.LdsF4.推广空间有向曲线弧.),,(lim),,(10iiiniixPdxzyxP.RdzQdyPdx.),,(lim),,(10iiiniiyQdyzyxQ.),,(lim),,(10iiiniizRdzzyxR5.性质.,)1(2121LLLQdyPdxQdyPdxQdyPdxLLL则和分成如果把则有向曲线弧方向相反的是与是有向曲线弧设,,)2(LLL即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.LLdyyxQdxyxPdyyxQdxyxP),(),(),(),(三、对坐标的曲线积分的计算,),(),(,0)()(,)(),(,),(,),(),(,),(),,(22存在则曲线积分且续导数一阶连为端点的闭区间上具有及在以运动到终点沿的起点从点时到变单调地由当参数的参数方程为续上有定义且连在曲线弧设LdyyxQdxyxPttttBLALyxMttytxLLyxQyxP定理dttttQtttPdyyxQdxyxPL)}()](),([)()](),([{),(),(且特殊情形.)(:)1(baxxyyL，终点为起点为.)}()](,[)](,[{dxxyxyxQxyxPQdyPdxbaL则.)(:)2(dcyyxxL，终点为起点为.]}),([)(]),([{dyyyxQyxyyxPQdyPdxdcL则.,,)()()(:)3(终点起点推广ttztytxdtttttRttttQttttPRdzQdyPdx)}()](),(),([)()](),(),([)()](),(),([{(4)两类曲线积分之间的联系：,)()(tytxL：设有向平面曲线弧为,,),(为处的切线向量的方向角上点yxLLLdsQPQdyPdx)coscos(则其中,)()()(cos22ttt,)()()(cos22ttt（可以推广到空间曲线上）,,,),,(为处的切线向量的方向角上点zyxdsRQPRdzQdyPdx)coscoscos(则dstArdA,dsAt可用向量表示，其中},,{RQPA},cos,cos,{cost},,{dzdydxdstrd有向曲线元；.上的投影在向量为向量tAAt处的单位切向量上点),,(zyx例1.)1,1()1,1(,2的一段弧到上从为抛物线其中计算BAxyLxydxL解的定积分，化为对x)1(.xyOBAOLxydxxydxxydx1001)(dxxxdxxx10232dxx.54xy2)1,1(A)1,1(B的定积分，化为对y)2(,2yxABLxydxxydx1122)(dyyyy.11到从y1142dyy.54xy2)1,1(A)1,1(B.)0,()0,()2(;)1(,2的直线段轴到点沿从点的上半圆周针方向绕行、圆心为原点、按逆时半径为为其中计算aBxaAaLdxyL例2解,sincos:)1(ayaxL，变到从0)0,(aA)0,(aB0原式daa)sin(sin22)0,(aA)0,(aB.343a,0:)2(y