初中数学数与式版块基础知识点及例题分析

..一、数与式板块1有理数正数：像0.05,3这样大于0的数叫正数。负数：像-3，-0.45这样在正数前面加上符号“-”（负）的数叫做负数。0既不是正数也不是负数正整数、0、负正数统称为整数；正分数、负分数统称为分数，整数和分数统称为有理数。数轴：在数学中可用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴。相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数绝对值：数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|由绝对值的定义可知：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.有理数大小的比较（1）正数大于0，0大于负数，正数大于负数；（2）两个负数，绝对值大的反而小。倒数：乘积是1的两个数互为倒数有理数乘方的运算的符号法则：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；正数的任何次幂都是正数；0的任何正数次幂都是零。科学记数法：把一个大于10的数表示成a×n10的形式（其中a大于或者等于1且小于10，n是正整数），这样的记数的方法叫科学记法。（必考）考点1：实数的相关概念例1在数0,2，-3，-1.2中属于负整数的是（）A0B2C-3D-1.2解析：0既不是正数也不是负数2属于正整数-3是负整数故选C-1.2是负数但不是负整数，故错误。..考点2：绝对值（和相反数选考其中之一，选择或填空）典例2（2013.云南）-6的绝对值是（）A-6B6C±6D-61分析：根据绝对值的性质，当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数-a.根据绝对值的性质|-6|=6考点3：相反数（每年必考，选择题）典例3（晋江中考）化简-（-2）=解析：负数的相反数是正数，故-（-2）=2例4(2012昆明)5的相反数是.A15B.-5C.15D.5解：正数的相反数是负数，绝对值要相等，所以5的相反数是-5，故选B例5(2014昆明)21的相反数是（）A.21B.21C.2D.2解析：根据相反数的定义，即只有符号不同的两个数互为相反数，进行求解解：21的相反数是﹣21．故选B．考点4正负数的应用例5（济宁中考）一运动员某次跳水的最高点离跳台2m，记作+2m，则水面离跳台10m可以记作（）.A-10mB.-12mC.+10mD.+12m解析：最高点到跳台的方向和水面到跳台的方向是相反的，已知最高点到跳台的距离为2m，记作+2m，所以反方向距离记作负数，即水面离跳台10m,记作-10m...例6（2011昆明）昆明小学1月份某天的气温为5℃，最低气温为﹣1℃，则昆明这天的气温差为（）A、4℃B、6℃C、﹣4℃D、﹣6℃解析：温差为最高气温减去最低气温，所以温差等于5-（-1）=6度。考点5：科学记数法。（每年必考，填空题）类型1，要表示的数大于1，且无单位换算例7（2014.昆明）据报道，2014年4月昆明库塘蓄水量为58500万立方米，将58500万立方米用科学计数法表示为（）万立方米。分析：科学记数法的表示形式为a×n10的形式，其中1≤|a|10,n为整数。确定n的值时。要看把原数变为a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数的绝对值大于1时，n是正数，当原数绝对值小于1时，n是负数。解;将58500用科学记数法表示为5.85×410（每年必考）类型2，要表示的数小于1，但无单位换算例8某种细胞的直径是0.00000095m,将0.00000095用科学计数法表示为（）A7105.9B8105.9C71095.0D81095解析：数据0.00000095，第一个非零数字前面有7个0，所以该数据运用科学记数法可表示为7105.9(原数绝对值小于1时，n是负数).类型3，具有单位换算的科学记数法。例9（2014河南）据统计2013年河南省旅游业总收入达到约3875.5亿元，若将3875.5亿元用科学法表示为n108755.3，则n等于（）A、10B、11C、12D、13解析：3875.5亿元=387550000000=11108755.3故选B..点拨：像这种带单位用科学记数法表示的题目，要先将单位化为统一再用科学记数的计算法则来求。2、整式的加减单项式：都是数或者字母的积。多项式;几个多项式的和叫做多项式。整式：单项式与多项式统称为整式同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。合并同类项：合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的的和，且字母连同它的指数不变。考点1：整式的识别例1单项式中2a的系数是（）A2B2aC1Da解析：单项式的系数是指单项式中的数字因数，单项式2a中，2是数字因数，所以单项式2a的系数是2，故选A典例2（济宁中考）如果整式2nx-x+2是关于x的三次三项式，那么n等于（）A3B4C5D6因为整式2nx-x+2是关于x的三次三项式，所以该多项式的最高次数为3，即n-2=3，解得n=5，故选C。考点2：同类项的概念的应用典例3（凉山州中考）如果单项式-1ax3y与221xyb是同类项，那么a,b的值分别是多少？（）Aa=2b=3Ba=1b=2Ca=1b=3Da=2b=2解析：同类项是指所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项，所以由题意得x和y的指数应该相同，即a+1=2,3=b,所以a=1,b=3,选C选项。..考点3：合并同类项例4合并同类项：6baabbaababba337452222解析：合并同类项包括两点：一找同类项；二合并同类项。合并时将同类项放在一个括号中，连同各项前面的符号，各项间用加号连接。解：6baabbaababba337452222=（6-7）ba2+（5+3）2ab+（3-4）ab=ababba228考点4：整式的计算例5（2014宁波）化简：babababa2))(()(2解：babababa2))(()(2=abbababa222222=2a例6（2015咸宁）化简2322)()2(babbabba解2322)()2(babbabba=222222babababa=-22b整式的计算只需按照计算法则依次计算并合并同类项，最后得到最简整式，即可。3一元一次方程一元一次方程：只含有一个未知数，未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程。等式的性质..性质1：等式两边同时加上或者减去同一个数或者式子，结果仍相等性质2：等式两边同时乘或者除同一个不为0的数，结果仍相等。解一元一次方程的一般步骤为：去分母，去括号，移向，合并同类项，系数化为1.考点1，解一元一次方程例1，解方程3)7(25.15)3(2xxx解：去分母得)7(105.22)3(6xxx去括号得70105.22186xxx移向得1870105.226xxx合并同类项得-6.552x系数化为1得8x例2（2015济南）若代数式54x与212x的值相等，则x的值是A1B23C32D2解：由题意得54x=212x去分母得12)54(2xx去括号得12108xx移向得96x系数化为1得23x故选B考点2，一元一次方程的应用类型1，配套问题（在现实生活中存在“产品配套”问题，这类问题的基本等量关系是加工或生产的总量成正比。例3某车间有工人28人，已知每个工人一天能生产螺栓12个或者螺母18个，每个螺栓要和两个螺母配套，问怎样分配生产螺栓和螺母的人数才能使每天生产..螺栓和螺母正好配套？解：设生产螺栓的工人为x人，则生产螺母的工人为（28-x）人，根据题意得)28(18122xx解得x=12所以28-x=28-12=16(人)答：生产螺栓的工人为12人，生产螺母的工人为16人。类型2打折销售问题常见数量关系注意事项利润=售价-进价打几折是按照原价的百分之几十出售利润率=（售价-进价）／进价×100℅分清利润与利润率例4（哈尔滨中考）某种衬衫每件标价150元，如果每件以8折出售，那么这种衬衫每件的实际售价应为（）元。解析：设衬衫每件实际售价为x元，根据题意得x=150×80℅=120所以答案为120元。类型3行程问题行程问题中常见的关系式为路程=速度×时间，在行程中一般有三种情况（1）相遇问题：相等关系为速度和×相遇时间=距离（2）追及问题：相等关系式为（快行速度-慢行速度）×追及时间=距离（3）航行问题：相等关系为顺水速度=静水速度+水流速度。例5从甲地到乙地的路有一段平路和一段上坡路，如果骑自行车保持平路每小时行15km，上坡路每小时10km,下坡路每小时18km,那么从甲地到乙地需29分钟，从乙地到甲地需25分钟，从甲地到乙地的路程是多少？解：设平路所用时间为x小时，29分钟=6029小时，25分钟=6025小时，根据题意得)6025(18)6029(10xx解得31x..则从甲地到乙地的行程是5.6)316029(103115（km）答：从甲地到乙地的路程为6.5km.4,、实数算数平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a,即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根。a的算术平方根记为a，读作“根号a”，a叫做被开方数。0的算术平方根是0.平方根：一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或者二次方根。即如果x2=a，那么x叫做a的平方根，记作±a，读作正负根号a。开平方：求一个数a的平方根的运算，叫开平方。性质：正数有两个平方根，他们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。立方根：一般地如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或者三次方根。性质：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.有理数：任何有限小数或者无限循环小数都是有理数，如3.21,4.33333无理数;无限不循环的小数叫无理数，π，3实数：有理数和无理数的统称。考点1，算术平方根典例1（南通中考）9的算术平方根是（）A3B-3C81D-81解析：根据算术平方根的定义，得9的算术平方根是9=3，所以答案选A.考点2，平方根与立方根典例2，-27的立方根与81的平方根之和是A0B-6C0或者-6D6解析：因为（-3）3=-27，所以327=-3..又因为81=9，且（±3）2=9所以81的平方根是±3。所以，它们的和是0或者-6,故选C考点3，实数与数轴的对应关系典例3，实数a，b在数轴上的位置如图所示则aba2)(的化简结果是。b0a解析：从数轴上看a0，b0，且|a||b|，所以aba2)(=|ba|+a=-a-b+a=-b考点4，估算无理数典例4（2012.昆明）定出一个大于2小于4的无理数考点：无理数及平方根解析因为2=4，4=16，所以2=4﹤x﹤16=4（x=5,6,7,8,10,11,12,13,14,15）估算无理数就要看无理数介于的两个数是哪两个数的平方根或者算术平方根，然后只要被开方数介于两者之间且是开不尽的即可。5.二元一次方程组二元一次方程组：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程。二元一次方程组：有两个未知数，含有每个未知数的项的次数都是1，并且一共由两个方程。0CByAx二元一次方程组0FEyDx解的情况（1）当EBBA时，方程组有唯一一组解；..（2）当FCEBBA时，方程组有无数组解；（3）当FCEBDA时方程组无解。解二元一次方程组的方法：代入法和消元法。代入法：把二元一次方程组中一个方程的未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另外一个方程中，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。加减法：当二元一次方程组中同一未知数的系数相反或者相等时，把这两个方程的两边分别相加或者相减，就能消去这个未知数，得到一元一次方程。列一元一次方程组解实际问题时会抓住“不变量”和“等值量”列方程。实际问题与二元一次方程组：（1）弄清楚题意和题目中的数量关系，用字母x,y表示题目中的两个未知数（2）找出能够表示应用题全部题意的两个相等关系（3