导数公式及运算法则

基本初等函数的导数公式及导数的运算法则我们今后可以直接使用的基本初等函数的导数公式11.(),'()0;2.(),'();3.()sin,'()cos;4.()cos,'()sin;5.(),'()ln(0);6.(),'();17.()log,'()(0,1);ln8.nnxxxxafxcfxfxxfxnxfxxfxxfxxfxxfxafxaaafxefxefxxfxaaxa公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则且公式若1()ln,'();fxxfxx则例1、求下列函数的导数。(1)y=5(2)y=x4(3)y=x-2(4)y=2x(5)y=log3x0y34xy3ln1xy3322xxy2ln2xyxxy)2(41)1(xy思考如何求下列函数的导数：导数的运算法则:法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的和(差),即:()()()()fxgxfxgx法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数,即:()()()()()()fxgxfxgxfxgx法则3:两个函数的商的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数,再除以第二个函数的平方.即:2()()()()()(()0)()()fxfxgxfxgxgxgxgx如果上式中f(x)=c,则公式变为：)(])([xgcxcg例2、根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求函数y=x3-2x+3的导数解：因为)32(3xxy)3()2()(3xx232x232xy所以，函数y=x3-2x+3的导数是.%982;%901:,.100801005284:%1.,.3化率所需净化费用的瞬时变时求净化到下纯度为元单位用时所需费化到纯净度为吨水净已知将用不断增加所需净化费纯净度的提高随着水净化的经过通常是、日常生活中的饮用水例xxxcx)2)(1()3(xxycosxsin)1(3xxy课堂练习1、求下列函数的导数(2)122cos2sin2(1)2xxxyxxxysincos3232xyxxy4cos练习2、求下列函数的导数:2212(1);(2);1(3)tan;yxxxyxyx答案:;41)1(32xxy;)1(1)2(222xxy;cos1)3(2xy?2ln的导数呢如何求函数思考xy.,22ln2ln.ln,22的函数表示为自变量可以通过中间变量即的得到复合经过和看成是由可以从而则若设xuyxxuuyxyuyxxu.2ln,,xxgfufyxguxuufyuy过程可表示为复合那么这个的关系记作和的关系记作与如果把.,3232,,22等等而成复合和由函数例如得到的复合经过可以看成是由两个函数我们遇到的许多函数都xuuyxyxgfyxguufyxyuxguufy的复合函数。记作和那么称这个函数为函数的函数可以表示成如果通过变量和对于两个函数一般地,,,,复合函数.,'''xuxuyyxguufyxgfy导数间的关系为的的导数和函数复合函数.的导数的乘积对的导数与对的导数等于对即xuuyxy.2333123ln,23ln23ln,'''''xuxuuyyxxuuuyxxyxux即的导数的乘积对导数与的对的导数等于对由此可得的导数对表示xyyx'.,sin3;2;3214105.02均为常数其中求下列函数的导数例xyeyxyx.3232122的复合函数和可以看作函数函数解xuuyxy由复合函数求导法则有'''xuxuyy''232xu.1284xu.105.02105.0的复合函数和可以看作函数函数xueyeyux由复合函数求导法则有'''xuxuyy''105.0xeu.05.005.0105.0xuee.sinsin3的复合函数和可以看作函数函数xuuyxy由复合函数求导法则有'''xuxuyy''sinxu.coscosxu例1.某运动物体自始点起经过t秒后的距离s满足s=-4t3+16t2.(1)此物体什么时刻在始点?(2)什么时刻它的速度为零?441t解:(1)令s=0,即1/4t4-4t3+16t2=0,所以t2(t-8)2=0,解得:t1=0,t2=8.故在t=0或t=8秒末的时刻运动物体在始点.(2)即t3-12t2+32t=0,解得:t1=0,t2=4,t3=8,,0)(,3212)(23tstttts令故在t=0,t=4和t=8秒时物体运动的速度为零.课外讲解：;3)()1(,14333xxxyxy解：.043),1(31,3|)1,1(1yxxyykPx即从而切线方程为处的切线的斜率为曲线在设直线m的方程为3x+y+b=0,由平行线间的距离公式得:;146,10|4|1013|)4(|2bbbb或故所求的直线m的方程为3x+y+6=0或3x+y-14=0.例2:已知曲线在点P(1,1)处的切线与直线m平行且距离等于,求直线m的方程.31xy10看几个例子:例3.已知P（-1，1），Q（2，4）是曲线y=x2上的两点，求与直线PQ平行的曲线y=x2的切线方程。;2)11.yxy例4.已知，1)求求曲线在点（，）处的切线方程