初三数学总复习——实数及其运算

中考复习第一讲实数与代数式概念及运算一.实数的组成(基本概念)：无限不循环小数实数有理数整数正整数(自然数)零负整数分数正分数负分数无理数正无理数负无理数有限小数和无限循环小数初中阶段遇到的无理数有三类:①开方开不尽的方根;如②特定结构的数;如:1.020020002…③特定定义的数;如:π,cos30°,sin45°,tan60°,…注:下列数不是无理数:如sin30°,3.14159,7/11,…,5,23有理数分类·整数和分数统称为有理数·可化为有限小数或无限循环小数有理数正有理数零负有理数正整数正分数负整数负分数有理数整数分数正整数零负整数正分数负分数自然数实数正实数负实数00正实数负实数例题讲解例1、在实数-1，，0，,tan60°,0.1010010001…(两个1之间依次多一个零)中,自然数有:;整数有:;有理数有:无理数有:.169,366.00,169169-1,0,169-1,0,..366.0,tan60°,0.1010010001…(两个1之间依次多一个零)把下列各数填到相应的集合里:整数集合：{}；分数集合：{}；有理数集合：无理数集合：{}。;31;8;273;;14.3;1010010001.0;722;30sin0;345tan0;123.02.3;tan45°;－33273-1；3.14；227;sin30°；｜-3.2｜；-0.32·1·3-1；3-27；3.14；227；sin30°；tan45°-3;-0.321;｜-3.2｜;-π；0.100110001…8{}；……………………1.下列语句:(1)所有整数都是正数;(2)所有正数都是整数;(3)小学学过的数都是正数;(4)分数是有理数;(5)在有理数中除了负数就是正数.其中正确的语句的个数有()A.0个B.1个C.3个D.4个B2.下列语句:①分数是小数.②无理数是特殊的小数.③无限小数是无理数.④无理数是开不尽方的数.⑤无理数一定是无限小数.其中正确的说法有()A.0个B.2个C.3个D.4个B3.下列实数中:tan60°,0.2121121112…(每相邻两个2之间依次多一个1)中有理数有()个A1个B2个C3个D4个,14159.3,21,11177,2,180C注:看数看实质,不能以“貌”取数．①.数轴(三要素)规定了的直线.1）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大；2）正数都大于0,负数都小于0；正数大于一切负数；-3–2–1012343）数轴上的点与______一一对应实数原点、正方向和单位长度二.实数中的几个重要概念:2.实数中的几个重要概念:②.相反数只有符号不同的两个数，其中一个是另一个的相反数。...-aa1)数a的相反数是-a2)0的相反数是0.3)a、b互为相反数a+b=0(a=-b)4)数轴上表示相反数的两个点关于原点对称,反之亦然.这两点到原点的距离相等.③.倒数如果两个数的积是1,则这两个数互为倒数.1）a（a≠0）的倒数是；a13）a与b互为倒数2）0没有倒数；ab=1注:常用倒数实例111nnnntanα·tan(90°-α)=12.实数中的几个重要概念:(n≥0)(α为锐角)④.绝对值几何意义:数轴上表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值,用︱a︱表示1)数a的绝对值记作︱a︱;若a＞0，则︱a︱=;2)若a＜0，则︱a︱=;若a=0，则︱a︱=;-3–2–101234234a-a03)对任何实数a,总有︱a︱≥0.2.实数中的几个重要概念:代数意义:一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值等于它的相反数;0的绝对值是0去绝对值符号(即化简绝对值)的方法:首先确定绝对值符号里代数式值的正负,然后按绝对值的代数意义进行化简.例2、（1）的倒数是；（2）－2的绝对值是；（3）若，且xy0，x+y=。32,1yx32－33或－3例题讲解31例题讲解例3、已知a、b是实数，与互为相反数，试求的倒数。34a22ba2ba8343ba39642的倒数＝ba五.科学记数法把一个数表示成a×10n的形式叫科学记数法.其中,1≦︱a︱10,n为整数.a在1~10之间n是整数10103-20.10.1或五.科学记数法把一个数表示成a×10n的形式叫科学记数法.其中,1≦︱a︱10,n为整数.(1)一个数a,如果︱a︱≧10时,用科学记数法来表示,n等于整数位数减1.(2)一个数a,如果0︱a︱≦1时,n等于第一个非零的数字前面的零的个数的相反数.注:只需用实例12=1.2×101,0.012=1.2×10-2就可以记住这个规律.符号：左加右减。n值为小数点移动的位数近似数与有效数字(1)近似数:一个与准确值相近,但又有差异的数叫近似数.一个近似数四舍五入到哪一位,就说这个数精确到哪一位.(2)一个近似数,从左边第一个不是0的数字起,到这个数的末位数字止,所有的数字都是这个数的有效数字.如:0.010010从左边不是0的数字1开始,到末位数字0结束,共有五个有效数字,分别是1、0、0、1、0.特别强调:(1)0在一个数中所处的位置不同,可能是有效数字,也可能不是有效数字,注意正确区分.(2)是否取近似数要看题目中的要求,不要随便利用计算机运算去取近似数.取近似值应先将其转化为科学记数法据“保护长江万里行”考察队统计,仅2003年长江流域废水排放量已达163.9亿吨.治长江污染真是刻不容缓了!请将这个数据用四舍五入法,使其保留两个有效数字,再用科学记数法表示出来是()A.1.6×103亿吨B.1.6×102亿吨C.1.7×103亿吨D.1.7×102亿吨B点评首先将所考查的数用科学记数法表示出来;然后再按题设要求四舍五入保留到有效数字.例题讲解1.今年1—5月份,深圳市累计完成地方一般预算收入216.58亿元,数据216.58亿精确到()A.百亿位B.亿位C.百万位D.百分位C点评四舍五入精确到多少位不能被表面现象迷惑,而要看清数据后面有无单位,还原后再做判断.2.下列四个数据中,精确的是()A.小莉班上有45人B.某次地震中,伤亡大约10人C.小明测得数学书的长度为21.0厘米D.吐鲁番盆地低于海平面大约155米点评对精确数与近似数的判断主要抓住其定义理解,在日常生活中很多如测量的质量、长度等等都是近似数.A练习六.实数的运算(1)实数的加、减、乘、除、乘方和开方运算:特别注意两个转化:①减法变加法:减去一个数等于加上这个数的相反数,即:a-b=a+(-b);②除法变乘法:除以一个不等于0的数等于乘以这个数的倒数,即a÷b=a×b1(2)混合运算中注意两点:一是运算顺序及符号变化;二是灵活运用运算律简化计算.(3)注意幂的运算性质和根式的化简.计算：(1)(2010·重庆)(π－3.14)0－|－3|＋(12)－1－(－1)2010；(2)(2010·宜宾)(2010＋1)0＋(－13)－1－|2－2|－2sin45°；(3)(2010·眉山)(13)－1－(5－2)0＋18－(－2)2·2；(4)(2010·山西)9＋(－12)－1－2sin45°＋(3－2)0.【点拨】实数的运算，一定要把握运算种类和运算顺序．【解答】(1)原式＝1－3＋2－1＝－1.(2)原式＝1＋(－3)－(2－2)－2×22＝1－3－2＋2－2＝－4.(3)原式＝3－1＋32－42＝2－2.(4)原式＝3＋(－2)－2×22＋1＝3－2－1＋1＝1.例题讲解七.实数大小的比较(1)数轴法:数轴上右边的点表示的数总比左边的点表示的数大.如:a与b在数轴上的位置如图所示:..ab则ab.(2)正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数；对于两个负数比较大小,绝对值大的反而小.即若a0,b0且︱a︱︱b︱,则ab)0ba222大小。（的与例：比较baba七.实数大小的比较(3)作差法:设a、b为任意实数,若a-b0,则ab;若a-b=0,则a=b;若a-b0,则ab;反之成立.(4)求商法:设a、b为正任意实数,若a/b1,则ab;若a/b=1,则a=b;若a/b1,则ab.若a、b为负任意实数,则与上述结论相反.用二种方法解决30sin..2例题讲解在数轴上分别表示实数:并用“＜”号连接。,2,30sin,2,210-4-3-2-1012345。.21.02.2230sin21030203230sin.A03202330sin.B200330sin23.C203030sin32.D30203,2,30sin将这三个实数按从小到大的顺序排列,正确的结果是()点评本题主要考查幂的运算,难点是符号的变化,因此,解此类题的最好方法是正确运用相关法则细心计算,得出结果后再与各选项比较.C例题讲解1．下列各数中，最大的数是(D)A．－1B．0C．1D.22．如果□×(－23)＝1，则“□”内应填的实数是(D)A.32B.23C．－23D．－323．下列各式，运算结果为负数的是(D)A．－(－2)－(－3)B．(－2)×(－3)C．(－2)－2D．(－3)－34．－23×(－2)2＋2的结果是(B)A．18B．－30C．0D．345．下列计算正确的是(B)A.3－27＝3B．(π－3.14)0＝1C．(12)－1＝－2D.16＝±46．设a＝20，b＝(－3)2，c＝3－9，d＝(12)－1，则a、b、c、d按由小到大的顺序排列正确的是(A)A．c＜a＜d＜bB．b＜d＜a＜cC．a＜c＜d＜bD．b＜c＜a＜d7．用“*”定义新运算，对于任意实数a、b，都有a*b＝b2＋1，例如：7*4=42＋1=17,那么5*3=_______.108．计算：(1)(π－1)0＋(12)－1＋|5－27|－23；3－2(2)8－2sin45°＋(2－π)0－(13)－1；2－2实数的运算及大小比较训练时间：60分钟分值：100分实数的运算及大小比较训练时间：60分钟分值：100分一、选择题(每小题3分，共45分)1．(2010·哈尔滨)某年哈尔滨市一月份的平均气温为－18℃，三月份的平均气温为2℃，则三月份的平均气温比一月份的平均气温高()A．16℃B．20℃C．－16℃D．－20℃【解析】2－(－18)＝2＋18＝20(℃)．【答案】B2．(2010·金华)在－3、－3、－1、0这四个实数中，最大的是()A．－3B．－3C．－1D．0【解析】0大于负数．【答案】D3．(2010·杭州)计算(－1)2＋(－1)3＝______.()A．－2B．－1C．0D．2【解析】(－1)2＋(－1)3＝1－1＝0.【答案】C4．(2010·怀化)下列运算结果等于1的是()A．(－3)＋(－3)B．(－3)－(－3)C．－3×(－3)D．(－3)÷(－3)【解析】(－3)÷(－3)＝1.【答案】D5．(2010·天津)比较2、5、37的大小，正确的是()A．2537B．2375C.3725D.5372【解析】∵78，∴3738，即372.而45，∴45，即25，故3725.【答案】C6．(2009中考变式题)估算6的值()A．在2和3之间B．在3和4之间C．在4和5之间D．在5和6之间【解析】∵469，∴469，即263.【答案】A7．(2010·红河自治州)下列计算正确的是()A．(－1)－1＝1B．(－3)2＝－6C．π0＝1D．(－2)6÷(－2)3＝(－2)2【解析】因为a0＝1(a≠0)，所以π0＝1.【答案】C8．(2010·金华)如图，若A是实数a在数轴上对应的点，则关于a、－a、1的大小关系表示正确的是()A．a1－aB．a－a1C．1－aaD．－