特征方程

递推数列特征方程的发现一、问题的提出递推(迭代)是中学数学中一个非常重要的概念和方法，递推数列问题能力要求高，内在联系密切，蕴含着不少精妙的数学思想和方法。在递推数列中占有重要一席的斐波那契数列，又称兔子数列，是学生非常乐意探讨的递推问题，许多学生都会不约而同地向教师提出，这个数列有通项公式吗？如有，怎样求它的通项公式？笔者就曾碰到过一位喜爱钻研的学生，带着参考书上的解法而向我请教：已知斐波那契数列,3,2(,11121naaaaannn…)，求通项公式na。参考书上的解法是这样的：解此数列对应特征方程为12xx即012xx，解得251x，设此数列的通项公式为nnncca)251()251(21，由初始条件121aa可知，1)251()251(1251251222121cccc，解之得515121cc，所以nnna)251(251(55）。这位学生坦率地表示，尽管参考书上介绍了利用特征方程求通项公式的一些结论，用上述方法得到的通项公式也是正确的，但他还是“看不懂”。换句话说，这种解法的依据是什么？特征方程是怎样来的？我虽然深知这是特征方程惹的祸，但由于现行教材只字未提特征方程，我也从未在课堂上作过补充，如果将有关利用特征方程求递推数列通项的一些结论直接呈现出来，或者以“高考不作要求”为由来搪塞，学生是难以接受的，也是不负责任的。面对一头雾水的数学尖子，我在充分肯定其善于思考、勇于探索的可贵品质的同时，也在苦苦寻觅解答这一问题的良策。其后不久，一次偶然的数学探究活动，竟使这一长期困惑我们教学活动的尴尬问题迎刃而解。二、研究与探索问题的解决源于对一阶线性递推数列通项公式的探求：若数列na满足),1(,11cdcaabann其通项公式的求法一般采用如下的参数法，将递推数列转化为等比数列：设tccaatactannnn)1(),(11则，令dtc)1(，即1cdt，当1c时可得)1(11cdaccdann，知数列1cdan是以c为公比的等比数列，11)1(1nnccdacda将ba1代入并整理，得11cdcbdbcannn.将上述参数法类比到二阶线性递推数列,11nnnqapaa能得到什么结论？仿上，我们来探求数列nntaa1的特征：不妨设)(11nnnntaastaa，则11)(nnnstaatsa,令qstpts①（1）若方程组①有两组不同的实数解),(),,(2211tsts,则)(11111nnnnatasata,)(12221nnnnatasata,即nnata11、nnata21分别是公比为1s、2s的等比数列，由等比数列性质可得1111211)(nnnsataata,1212221)(1nnnsataata,∵,21tt由上两式消去1na可得nnnsttsatasttsataa22121221211112...（2）若方程组①有两组相等的解2121ttss，易证此时11st，则)(2112111111nnnnnnatasatasata…)(11211atasn，211121111sasasasannnn,即nnsa1是等差数列，由等差数列性质可知21112111.1sasansasann，所以nnsnsasasasasaa1211122111211.．（限于学生知识水平，若方程组①有一对共轭虚根的情况略）这样，我们通过参数方法，将递推数列转化为等比（差）数列，从而求得二阶线性递推数列的通项，若将方程组①消去t即得02qpss，显然1s、2s就是方程qpxx2的两根，我们不妨称此方程为二阶线性递推数列11nnnqapaa的特征方程，于是我们就得到了散见于各种数学参考资料的如下结论：设递推公式为,11nnnqapaa其特征方程为022qpxxqpxx即，1、若方程有两相异根1s、2s，则nnnscsca2211；2、若方程有两等根21ss，则nnsncca121)(.其中1c、2c可由初始条件确定。这正是特征方程法求递推数列通项公式的根源所在，令1qp，就可求得斐波那契数列的通项，真是“踏破铁蹄无觅处，得来全不费工夫”！将上述方法继续类比到分式线性递推数列dacbaaannn1（0,,,,cRdcba），看看又会有什么发现？仿照前面方法，等式两边同加参数t，则dacctadtbactatdacbaatannnnn)(1②令ctadtbt，即0)(2btdact③记此方程的两根为21,tt，（1）若21tt，将21,tt分别代入②式可得dactactatannn1111)(dactactatannn2221)(以上两式相除得21212111tatactactatatannnn，于是得到21tatann为等比数列，其公比为21ctacta，数列na的通项na可由121211121)(nnnctactatatatata求得；（2）若21tt，将1tt代入②式可得dactactatannn1111)(,考虑到上式结构特点，两边取倒数得111111)(11tactdtacctatannn④由于21tt时方程③的两根满足cdat12，∴11ctdcta于是④式可变形为111111tactactann∴11tan为等差数列，其公差为1ctac，数列na的通项na可由1111)1(11ctacntatan求得．这样，利用上述方法，我们可以把分式线性递推数列转化为等比数列或等差数列，从而求得其通项。如果我们引入分式线性递推数列dacbaaannn1（0,,,,cRdcba）的特征方程为dcxbaxx，即0)(2bxadcx，此特征方程的两根恰好是方程③两根的相反数，于是我们又有如下结论：分式线性递推数列dacbaaannn1（0,,,,cRdcba），其特征方程为dcxbaxx，即0)(2bxadcx，1、若方程有两相异根1s、2s，则21sasann成等比数列，其公比为21csacsa；2、若方程有两等根21ss，则11san成等差数列，其公差为1csac.值得指出的是，上述结论在求相应数列通项公式时固然有用，但将递推数列转化为等比（等差）数列的思想方法更为重要。如对于其它形式的递推数列，我们也可借鉴前面的参数法，求得通项公式，其结论与特征方程法完全一致，有兴趣的读者不妨一试。三、应用举例例1、已知数列,5,121aa且)2(4411naaannn，求通项公式na。解设)(11nnnntaastaa，∴11)(nnnstaatsa令44stts可得22ts于是)2(2)2(2221211nnnnnnaaaaaa…112123)2(2nnaa，∴432211nnnnaa，即nna2是以21211a为首项、43为公差的等差数列，∴43)1(212nann，从而22)13(nnna.例2、设数列na满足nnnnaaaaa求,7245,211.解：对等式两端同加参数t得,7252475272475272451nnnnnnnattatatattaata令5247ttt，解之得1t，2，代入上式得,72292,7213111nnnnnnaaaaaa两式相除得,21312111nnnnaaaa即31,41212111公比为是首项为aaaann的等比数列，∴134234,34121111nnnnnnaaa从而．四、收获与反思随着普通高中课程改革的逐步深入，要求广大教师在新课标理念指导下，大胆实施课堂教学改革。如何创造性地处理教学内容，无疑是一项十分现实的课题。由于数学知识呈现方式的多样性、解决问题策略的多选择性和数学思维的开放性，教师既要加强学习，不断充实自己的知识结构，做到高屋建瓴而游刃有余，还要不断提高驾驭教材的能力，“用好教材”、“超越教材”而不拘泥于教材，根据学生的实际情况，因材施教，使学生知其然，更知其所以然，帮助学生寻找适合自己的学习方式，“授人以鱼不如授之以渔”，在培养学生学习兴趣的同时激发学生的思维，时时体味“蓦然回首，那人却在灯火阑珊处”的美妙意境。