DSP_03离散时间信号-差分方程

线性常系数差分方程LinearConstantCoefficientsDifferenceEquationLesson32020/2/102复习提问如何判断周期序列？什么响应反映了系统的特性？从哪两个方面来理解h(n)？离散卷积的四个步骤是什么？2020/2/103线性常系数差分方程LinearConstantCoefficientsDifferenceEquation线性非移变系统可以用下列常系数差分方程来描述其中称为差分方程或系统的阶次。引入单位延迟算子，即，于是上述差分方程可以写为：MrrNkkrnxbknya00ND1nynDyMrrrNkkknxDbnyDa002020/2/1041.求系统的零输入响应，响应形式与系统的齐次解相同，由系统初始条件确定齐次解中的待定系数。2.求系统的零状态响应。3.系统的完全响应为零输入响应与零状态响应之和。线性常系数差分方程LinearConstantCoefficientsDifferenceEquation求解下列线性非移变系统的差分方程可以按照以下3步进行。MrrNkkrnxbknya002020/2/1051.零输入响应的求解ZeroInputResponse首先写出齐次方程HomogeneousEquation00Nkkknya得到特征方程CharacteristicEquation00NkkNkpaN个特征根CharacteristicRootsNipi,,2,1,2020/2/1061.零输入响应的求解ZeroInputResponse零输入响应就是下面齐次解的形式HomogeneousSolution11221NnnnnzirkkNNkynCpCpCpCp若特征根有重根，比如设为重根，则解的形式为1pmnNNnmnmnmmmmzirpCpCpCpCnCnCnCny3221112211＋上式中为待定系数，由系统给定的初始条件求出。NkCk,,2,1,2020/2/1071.零输入响应的求解ZeroInputResponse例2.6求以下系统的零输入响应解：特征方程：12123NnnnzirkkkynCpCCnnzirny325162000,11ynynynyy0652pp特征根3,221pp所以：代入初始条件得到01,00yy1,121CC所以系统的零输入响应为：2020/2/1082.零状态响应的求解ZeroStateResponse前面介绍卷积运算时，我们已经知道，系统的响应是输入和系统的单位取样响应之间的卷积，实际上，这部分响应是系统的零状态响应，即，系统的零状态响应是输入和单位取样响应之间的卷积。即knhkxnhnxnykzsr下面主要讨论系统的单位取样响应的求解，我们只讨论系统的特征根为单根的情况。nh2020/2/1092.零状态响应的求解ZeroStateResponse用延迟算子重写系统的差分方程：所以有：令，则有：MrrrNkkknxDbnyDa00NMnxDpADpADpAnxDaDbnyNkkkMrrr设＝22221100111nnxNiiNNnhnDpAnDpAnDpAnh12211111＝其中nupAnDpDpAnDpAnhniiiiiiii2211＝所以NiniiNiinupAnhnh11＝2211iiiiiAApDpDpD()()kDnnk2020/2/10102.零状态响应的求解ZeroStateResponse例2.7设一个因果线性非移变系统由下列差分方程描述求系统的单位阶跃响应UnitStepResponse。解：系统的单位阶跃响应是零状态情况下，系统在单位阶跃函数作用下的响应，首先令得到nxnynyny2213nunnxnnhnhnh2213nnhDnDhnh223nununDDnDDnhnnn12122112122311122020/2/10112.零状态响应的求解ZeroStateResponse解(续)：所以系统的单位阶跃响应为nunnnununuknukuknukunununxnhnynnnkknkkkkn3212121212121212210101112020/2/1012递推法例2.8设一个因果线性非移变系统由下列差分方程描述用递推法求系统的单位取样响应UnitSampleResponse解：把原方程写成递推形式，并令，则有nnhanh1＝nxnyany1nnx2020/2/1013递推法根据因果系统规定的初始条件递推如下nuanhnannhanhahahahahhahnnhnn，或表示为，＝0,121210110100022020/2/1014差分方程表示第二项第一项MrrNkkrnxabknyaany0010线性非移变系统的差分方程可以重写出如下形式(1)当上式第一项存在时，系统的单位取样响应是无限长的，这种系统称为无限冲激响应(InfiniteImpulseResponse)系统，简称为IIR系统或IIR滤波器。2020/2/1015差分方程表示(2)当上式第一项不存在时，系统的单位取样响应是有限长的，这种系统称为有限冲激响应(FiniteImpulseResponse)系统，简称为FIR系统或FIR滤波器。令，可得系统的冲激响应为nnx其它，＝0,,2,1,0,0Mnabnhn2020/2/1016用MATLAB解线性常系数差分方程MATLAB信号处理工具箱中提供的filter函数，可以实现线性常系数差分方程的递推解法，调用格式如下：y=filter(b,a,x,xi);其中x是输入信号向量，b和a是系统差分方程的系数矩阵，即b=[b0,b1,…,bM]和a=[a0,a1,…,aN]，a0=1。xi是和初始条件有关的向量，用函数xi=filtic(b,a,ys,xs)得到，其中ys和xs是初始条件向量，即ys=[y(-1),y(-2),...]，xs=[x(-1),x(-2),...]。如果是因果序列，则xs=0。用函数filter(b,a,x,xi)计算输出y，如果和输入信号和系统的初始状态有关，称为系统的零输入响应。如果系统的输入条件为零，就默认xi=0，调用格式为y=filter(b,a,xi)。2020/2/1017用MATLAB解线性常系数差分方程例2.12用MATLAB计算差分方程当输入序列为x(n)=(n)时的输出结果y(n),0n30。)3(02.0)2(36.0)1(44.0)(8.0)3(6.0)2(45.0)1(7.0)(nxnxnxnxnynynyny2020/2/1018用MATLAB解线性常系数差分方程解MATLAB程序如下：N=31;b=[0.8-0.440.360.22];a=[10.7-0.45-0.6];x=[1zeros(1,N-1)];k=0:1:N-1;y=filter(b,a,x);stem(k,y)xlabel('n');ylabel('输出y(n)')2020/2/1019用MATLAB解线性常系数差分方程051015202530-1-0.500.511.5n输出y(n)2020/2/1020用MATLAB解线性常系数差分方程例2.13用MATLAB计算差分方程当输入为x(n)=(n)，初始条件y(-1)=1，求输出结果y(n),0n30。)()1(8.0)(nxnyny2020/2/1021用MATLAB解线性常系数差分方程解MATLAB程序如下：N=31;a=[1-0.8];ys=1;b=1;x=[1zeros(1,N-1)];xi=filtic(b,a,ys);%findstheinitialconditionsk=0:1:N-1;y=filter(b,a,x,xi);stem(k,y)xlabel('n');ylabel('输出y(n)')2020/2/1022用MATLAB解线性常系数差分方程05101520253000.20.40.60.811.21.41.61.8n输出y(n)