12.5因式分解(全)

第1课时第23课时第4课时复习回顾________1xx口答：________11xx________732xxxx212xxx1462问题：630可以被哪些整数整除？解决这个问题，需要对630进行分解质因数630=2×32×5×7类似地，在式的变形中，有时需要将一个多项式写成几个整式的乘积的形式以便于更好的解决一些问题新课引入试试看(将下列多项式写成几个整式的乘积)__________2xx__________12x1xx11xx回忆前面整式的乘法1112xxx上面我们把一个多项式化成了几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式，也叫做把这个多项式。分解因式因式分解12x11xx因式分解整式乘法因式分解与整式乘法是逆变形依照定义，判断下列变形是不是因式分解（把多项式化成几个整式的积）4222xxx①2334326xyyxyx②2242232349xxxxxx③yxyxyx222235④创设情景学校打算把操场重新规划一下，分为绿化带、运动场、主席台三个部分，如下图，计算操场总面积。abcmabcm方法一：S=m(a+b+c)方法二：S=ma+mb+mcmm方法一：S=m(a+b+c)方法二：S=ma+mb+mcm(a+b+c)=ma+mb+mc下面两个式子中哪个是因式分解？在式子ma+mb+mc中，m是这个多项式中每一个项都含有的因式，叫做。公因式ma+mb+mc=m(a+b+c)ma+mb+mc=m(a+b+c)在下面这个式子的因式分解过程中，先找到这个多项式的公因式，再将原式除以公因式，得到一个新多项式，将这个多项式与公因式相乘即可。这种方法叫做提公因式法。提公因式法一般步骤：1、找到该多项式的公因式，2、将原式除以公因式，得到一个新多项式，3、把它与公因式相乘。如何准确地找到多项式的公因式呢？1、系数所有项的系数的最大公因数2、字母应提取每一项都有的字母，且字母的指数取最低的3、系数与字母相乘cabba22159①解：用提取公因式法因式分例题精讲pqqppq31979522③23234812ststts②最大公因数为3=3a的最低指数为1ab的最低指数为1b(3a–5bc)=–4st2(3s2–2t+1)pq(5q+7p+3)=91做一做按照提公因式法因式分解。222323221.049.065312010563pqqpmnmnnmxyxyyxabcba④③②①mnmnyxyxyxcbacbayxyx22223243442323325984496322111744536⑧⑦⑥⑤提高训练(一)349322256410476pqqpxyyyxxbcaacbcaabnmynmx④③②①因式分解：提高训练(二)的值。，求，、已知22451mnnmmnnm201220112010222313、计算20113211111:2xxxxxxxxx、因式分解第3课时第2课时复习回顾还记得学过的两个最基本的乘法公式吗？平方差公式：完全平方公式：22bababa2222bababa2222bababa2222bababa________22xx计算：__________52a____________77mm42x25102aa49142mm=(999+1)(999–1)此处运用了什么公式?新课引入试计算：9992–112=1000×998=998000平方差公式逆用因式分解:（1）x2–;（2）y2–4252252=(x+2)(x–2)=(y+5)(y–5)这些计算过程中都逆用了平方差公式即：bababa22bababa22此即运用平方差公式进行因式分解用文字表述为：两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积。尝试练习(对下列各式因式分解)：①a2–9=___________________②49–n2=__________________③5s2–20t2=________________④100x2–9y2=_______________(a+3)(a–3)(7+n)(7–n)5(s+2t)(s–2t)(10x+3y)(10x–3y)①x2+4②–4x2+y2③x4–1④x2–x6⑤6x3–54xy2⑥(x+p)2–(x–q)2=y2–4x2=(y+2x)(y–2x)=(x2)2–12=(x2+1)(x2–1)②–4x2+y2③x4–1(x2–1)=–(4x2–y2)=–(2x+y)(2x–y)(x+1)(x–1)因式分解一定要分解彻底!④x2–x6=x2–(x3)2=(x+x3)(x–x3)=x·(1+x2)·x·(1–x2)=x2(1+x2)(1+x)(1–x)④x2–x6=x2(1–x4)=x2(1+x2)(1–x2)=x2(1+x2)(1+x)(1–x)在我们现学过的因式分解方法中，先考虑提取公因式，再考虑用公式法。⑤6x3–54xy2=6x(x2–9y2)=6x(x+3y)(x–3y)⑥(x+p)2–(x–q)2=[(x+p)+(x–q)]·[(x+p)–(x–q)]=(2x+p–q)(p+q)YXYXYX做一做利用平方差公式因式分解。232242222369162516141196169yxxyyxyxba④③②①2242222224249169babaqqpyxtnm⑧⑦⑥⑤提高训练(一)1166323422xxxanmnmm③②①因式分解：④设m、n为自然数且满足关系式12+92+92+22+m2=n2，则m=____，n=____。提高训练(二)。和这两个整数是之间的两个整数整除，到能被、________706012148。、计算：4024402220122011121065864342212222222223、n是自然数，代入n3–n中计算时，四个同学算出如下四个结果，其中正确的只可能是()。A.421800B.438911C.439844D.428158复习回顾还记得前面学的完全平方公式吗？2222bababa2222bababa2222bababa__________44xx计算：__________72b____________99mm1682xx49142bb81182mm新课引入试计算：9992+1998+12×999×1=(999+1)2=106此处运用了什么公式?完全平方公式逆用就像平方差公式一样，完全平方公式也可以逆用，从而进行一些简便计算与因式分解。即：2222bababa2222bababa这个公式可以用文字表述为：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的两倍，等于这两个数的和（或差）的平方。牛刀小试(对下列各式因式分解)：①a2+6a+9=_________________②n2–10n+25=_______________③4t2–8t+4=_________________④4x2–12xy+9y2=_____________(a+3)2(n–5)24(t–1)2(2x–3y)2①16x2+24x+9②–4x2+4xy–y2③x2+2x–1④4x2–8xy+4y2⑤1–2a2+a4⑥(p+q)2–12(p+q)+36形如a2±2ab+b2的式子叫做完全平方式。完全平方式一定可以利用完全平方公式因式分解完全平方式的特点：1、必须是三项式（或可以看成三项的）2、有两个同号的平方项3、有一个乘积项（等于平方项底数的±2倍）简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央。222baba①16x2+24x+9②–4x2+4xy–y2④4x2–8xy+4y2=(4x+3)2=–(4x2–4xy+y2)=–(2x–y)2=4(x2–2xy+y2)=4(x–y)2⑤–2a2+⑥(p+q)2–12(p+q)+36a41=(a2–1)2=(a+1)2(a–1)2=[(a+1)(a–1)]2=(p+q–6)2XXX做一做用完全平方公式进行因式分解。sttsxxaa2913281182222③②①4202544122222224xxabccbanmnm⑥⑤④做一做用恰当的方法进行因式分解。备选方法：提公因式法平方差公式完全平方公式996441122222222222xxxyxyxnmnmaa④③②①提高训练(一)222222441482yxyxyxyxyxabba③②①因式分解：④给4x2+1加上一个单项式，使它成为一个完全平方式，这个单项式可以是________。提高训练(二)。，则，、已知___04412cbacabba。，化简、若414110222xxxxx的形状并说明理由。判断△，且满足的三边，是△、、、已知ABCcabcbaABCcba0223222的最小值。、求多项式2008422122babaP提高训练(三)。的最小值为则代数式，，、已知___102222yzxzxyzyxyzayx。则，、已知___22221213222bcacabcbacbacba知识结构因式分解常用方法提公因式法公式法十字相乘法分组分解法拆项添项法配方法待定系数法求根法……一、提公因式法只需找到多项式中的公因式，然后用原多项式除以公因式，把所得的商与公因式相乘即可。往往与其他方法结合起来用。提公因式法随堂练习：1）15(m–n)+2x(n–m)2）4(x+y)+4(x–3y)二、公式法只需发现多项式的特点，再将符合其形式的公式套进去即可完成因式分解，有时需和别的方法结合或多种公式结合。接下来是一些常用的乘法公式，可以逆用进行因式分解。常用公式1、(a+b)(a–b)=a2–b2（平方差公式）2、(a±b)2=a2±2ab+b2（完全平方公式）3、(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc4、a3+b3=(a+b)(a2–ab+b2)及a3–b3=(a–b)(a2+ab+b2)（立方和、差公式）5、(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3（完全立方和公式）6、(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq7、x2+y2+z2+xy+xz+yz公式推导222222222222222212222122222221zyzxyxzyzyzxzxyxyxyzxzxyzyxyzxzxyzyx这是公式x2+y2+z2+xy+xz+yz的推导过程不要与(x+y+z)2=x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz混淆公式法随堂练习：1）(a2–10a+25)(a2–25)2）x3+3x2+3x+1二、公式法只需发现多项式的特点，再将符合其形式的公式套进去即可完成因式分解，有时需和别的方法结合或多种公式结合。三、十字相乘法①前面出现了一个公式：(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq我们可以用它进行因式分解（适用于二次三项式）例1：因式分解x2+4x+3可以看出常数项3=1×3而一次项系数4=1+3∴原式=(x+1)(x+3)暂且称为p、q型因式分解例2：因式分解x2–7x+10可以看出常数项10=(–2)×(–5)而一次项系数–7