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第1页共17页2017-2018学年福建省泉州市南安第一中学高一上学期期中考试数学试题一、单选题1．已知全集，集合或则图中阴影部分所表示的集合是（）A．B．或C．D．【答案】C【解析】图中阴影部分所表示的集合是与集合的交集，求出即可。【详解】由题知图中阴影部分所表示的集合是与集合的交集，因为全集，集合，所以，而集合，所以.故答案为C.【点睛】本题主要考查了集合间的关系及运算，属于基础题。2．下列各组函数中，表示同一函数的是()A．B．与C．与D．【答案】B【解析】两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判断它们是同一函数，对选项第2页共17页逐个分析即可选出答案。【详解】对选项A，，所以与对应关系不同，二者不是同一函数；对选项B，，与对应关系相同，而定义域都是(0，+)，故它们是同一函数；对选项C，函数的定义域是(0，+)，而函数的定义域是，故不是同一函数；对选项D，函数的定义域为R，而的定义域为，定义域不相同，故不是同一函数。故答案为B.【点睛】函数有三要素：定义域，对应关系和值域。如果两个函数是同一函数，那么它们的三要素都完全一样，而实际上当两个函数定义域和对应关系都一样时，它们的值域也一定一样。3．函数的零点必落在区间()A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意得，，，根据函数零点存在性定理可得出答案。【详解】由题得，，而，根据函数零点存在性定理可得函数在区间上存在零点。故答案为B.【点睛】第3页共17页本题考查了函数零点存在性定理的应用，属于基础题。4．下列函数中，与函数的奇偶性相同，且在上单调性也相同的是()A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意判断已知函数为偶函数，且在上单调递增，四个选项逐个去分析即可选出答案。【详解】函数的定义域是R，定义域关于原点对称，而，所以是偶函数。当时，函数，因为指数函数是R上的减函数，所以在上单调递增。选项A，，定义域为，关于原点对称，而，所以不是偶函数，故A不满足题意；选项B，，当时，，在上单调递减，故B不满足题意；选项C，，，不是偶函数，故C不满足题意；选项D，，定义域为R，且，所以是偶函数，又因为是二次函数，上单调递增，故满足题意。故选D.【点睛】本题考查了函数奇偶性及单调性，属于基础题。5．下列关于函数的图象中，可以直观判断方程在上有解的是()第4页共17页A．B．C．D．【答案】D【解析】方程f（x）-2=0在（-∞，0）上有解，∴函数y=f（x）与y=2在（-∞，0）上有交点，分别观察直线y=2与函数f（x）的图象在（-∞，0）上交点的情况，选项A，B，C无交点，D有交点，故选：D点睛：这个题目考查了方程有解的问题，把函数的零点转化为方程的解，再把方程的解转化为函数图象的交点，特别是利用分离参数法转化为动直线与函数图象交点问题，要求图像的画法要准确。6．函数是幂函数，且在上是增函数，则实数=()A．B．C．或D．或【答案】A【解析】根据幂函数的定义，可以求出或者，再结合单调性可以确定只有-2满足题意。【详解】由题得：，解得或者.当时，，，，，所以在上不是增函数，故舍去；当时，，在上是增函数，满足题意。故选A.【点睛】本题是关于求幂函数相关参数的题，要熟记幂函数的定义及性质。第5页共17页7．若，则的值为()A．B．C．D．【答案】B【解析】判断的范围，代入对应的表达式即可。【详解】因为，所以.则.故选B.【点睛】本题考查了分段函数的性质，及指数和对数有关求值的计算，属于基础题。8．某种商品进货价为每件200元，售价为进货价的125%，因库存积压，若按9折出售，每件还可获利()A．元B．元C．元D．元【答案】C【解析】先求出无折扣的售价，再求出打折之后的售价，然后减去进货价即可。【详解】无折扣的售价为：200125%=250（元），打折后售价为：2500.9=225(元)，获利;225-200=25(元)，所以若按9折出售，每件还可获利25元。故选C.【点睛】利润=售价-进价，应用题要找准题中的关系，列出正确的式子。9．已知函数，，则的值为()A．B．C．D．【答案】A第6页共17页【解析】由题知是奇函数，利用奇函数的性质可以求出与的关系，即可求出答案。【详解】令，由于，所以是奇函数。而，则，，所以，因为，，所以.故选A.【点睛】本题考查了函数的奇偶性，属于基础题。10．已知实数满足等式，下列五个关系式：①；②③；④；⑤.其中不可能成立的关系式有()A．个B．个C．个D．个【答案】C【解析】在同一坐标系中画出函数和的图象，令两个函数值相等比较真数大小即可选出答案。【详解】在同一坐标系中画出函数和的图象，如下图，当两个函数都在x轴下方且函数值相等时，即，可知，此时③有成立；当两个函数都在x轴上方且函数值相等时，即，可知，此时第7页共17页②成立；而当时，，此时⑤成立。综上①④不可能成立。【点睛】本题考查了对数函数的性质，利用数形结合是解决本题的关键，属于中档题。11．设是奇函数，且在内是增函数，又，则的解集是()A．或B．或C．或D．或【答案】D【解析】由于是奇函数，可以证明函数是偶函数，偶函数图象关于轴对称，可以先求出时的解，进而利用对称性求出时的解，即可选出答案。【详解】由题意，因为在内是增函数，且，所以当时，；当时，.故当时，的解是.因为函数是奇函数，所以，则函数，满足，即是偶函数，它的图象关于轴对称，第8页共17页故当时的解为,所以的解集是.【点睛】本题考查了函数奇偶性及单调性的运用，属于中档题。12．已知函数在上对任意的都有成立，则实数a的取值范围是()A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意知函数是R上的单调递增函数，利用增函数的性质建立不等式，求出a的取值范围即可。【详解】因为在R上对任意的都有成立，可以知道函数是R上单调递增函数，则函数满足，解得.故选为B.【点睛】本题考查了函数的单调性，及指数函数与一次函数的性质，属于中档题。二、填空题13．函数的定义域为______．【答案】【解析】求函数的定义域，只需要令对数的真数大于0，及偶次方根被开方数非负，列出不等式组求解即可。【详解】由题可知，解得.第9页共17页所以答案为.【点睛】本题考查了函数定义域的求法，属于基础题。14．若函数f(x)是定义在上的奇函数，且当时，，则时，=___．【答案】【解析】当时，，可以求出的表达式，然后利用奇函数的性质求出的表达式。【详解】由题意知，当时，，当时，，则，而是定义在上的奇函数，所以，故当时，.【点睛】本题考查了函数的奇偶性及函数解析式的求法，属于中档题。15．用表示两数中的最小值,若函数，则不等式的解集是___.【答案】【解析】先通过的含义求出函数的解析式，然后结合解析式分类讨论解出不等式即可。【详解】若，则；若，则.第10页共17页故，而，则不等式转化为，分两种情况讨论：①当，即时，，不等式，即，解得，故；②当，即时，,不等式，即，解得，故.综上两种情况，可得.故不等式的解集是.【点睛】本题考查了分段函数的知识，以及不等式解法，属于中档题。16．关于函数，下列命题中所有正确结论的序号是______．①其图象关于轴对称；②当时，是增函数；当时，是减函数；③的最小值是；④在区间上是增函数；【答案】①③④【解析】对于①先求函数的定义域，然后通过判断与的关系，可以确定其为偶函数，①正确；对于②③④，先通过定义法求单调性，求出的单调区间，进而利用复合函数单调性求出的单调区间，即可求出的最小值，可以确定②错误，③④正确。【详解】第11页共17页函数，定义域为，定义域关于原点对称，，所以函数是偶函数，图象关于轴对称，故①正确；令，函数在上单调递减，证明如下：任取，，且，则，因为，，所以，而，，所以，故函数在上单调递减。同理可以证明函数在上单调递增，又因为在单调递增，利用复合函数单调性可知，在上单调递减，在上单调递增。由于函数是偶函数，可知在上单调递增，在上单调递减。的最小值为.所以②错误，③④正确。综上正确的结论是①③④.【点睛】本题考查了对数函数的性质，复合函数的单调性，及函数的奇偶性和最值，属于中档题。三、解答题第12页共17页17．（Ⅰ）；（Ⅱ）【答案】（Ⅰ）99（Ⅱ）2【解析】（Ⅰ）利用指数幂的运算先化简再求解即可；（Ⅱ）先把含根号的式子利用完全平方公式化简，然后对整个式子利用对数式的性质化简求值即可。【详解】（Ⅰ）原式（Ⅱ）原式【点睛】本题考查了有理指数幂的运算性质，及对数的运算性质，属于基础题。18．已知二次函数满足条件，，且（Ⅰ）求的解析式；（Ⅱ）在区间上，的图象恒在函数的图象上方，试确定实数的范围．【答案】(1)(2)【解析】（Ⅰ）设二次函数表达式为，先利用求出的值，再利用可求出的表达式；（Ⅱ）由题意可转化为在区间上恒成立问题，求出在的最小值令其大于即可。【详解】（Ⅰ）设，因为，可得，由于可得，第13页共17页所以，解得，故（Ⅱ）对恒成立，即对[－1,3]恒成立．因为二次函数，在的最小值为，所以.【点睛】本题考查了二次函数解析式的求法，以及函数恒成立问题，属于中档题。19．一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如下图：（Ⅰ）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际意义；（Ⅱ）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为，试将汽车行驶这段路程时汽车里程表读数表示为时间的函数,并求出当汽车里程表读数为时，汽车行驶了多少时间？【答案】(1)(2)小时【解析】（Ⅰ）利用矩形的面积公式求出三个矩形面积相加即可；横坐标轴表示时间，纵坐标轴表示速度，所以面积即为汽车在3小时内行驶的路程；（Ⅱ）利用分段函数定义，可以建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数和时间的函数关系式，并将代入对应的表达式即可求出行驶的时间。【详解】（Ⅰ）阴影部分的面积为，第14页共17页阴影部分的面积表示汽车在小时内行驶的路程为。（Ⅱ）由题意得，令，解得，所以汽车行驶小时.【点睛】解答应用题时，要注意利用题中的数据及其蕴含的关系，平常学习时要注意培养自己的看图能力，分析问题能力。20．已知函数.（Ⅰ）若，求的单调区间；（Ⅱ）是否存在实数，使得的最小值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】（Ⅰ）的单调增区间，单调减区间为.（Ⅱ）见解析【解析】（Ⅰ）由，可以求出的值，然后利用复合函数单调性可以得到答案；（Ⅱ）由函数的性质，可知有最小值时，才满足题意，进而利用函数的知识求出。【详解】（Ⅰ）因为，所以，解得，由，解得，所以函数的定义域为令，则在单调递增，在单调递减又在单调递增，所以单调递增区间为，单调递减区间为.（Ⅱ）若满足条件，则应有最小值，当时显然不成立，第15页共17页所以为二次函数，对称轴为,所以，解得，故存在实数使最小值为，使得的最小值为.【点睛】复合函数单调性口诀：同增异减。具体来说，内外函数的单调性相同时，复合函数为单调递增函数；内外函数的单调性相反时，复合函数为单调递减函数。21．定义在R上的函数，当时，，且对任意的都有.（Ⅰ）求证：是R上的增函数；（Ⅱ）求不等式的解集.【答案】（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）不等式的解集为【解析】（Ⅰ）任取，且设，结合当时，，以及，都有，可以证明，即可证明是R上的增函数；（Ⅱ）利用抽象函数的性质及的单调性，可以得到，求解即可。【详解】（Ⅰ）证明：任取，且设，则，为上的增函数.（Ⅱ）不等式可化为：，即，，第16页共17页故不等式化为，为上的增函数，，解得不等式的解集为.【点睛】本题考查了抽象函数的知识，以及函数单调性，属于中档题。22．已知函数．（Ⅰ）当m=-2时，求函数f（x）在（-∞，0）上的值域；（Ⅱ）若对任意x∈[0，+∞），总有|f（x）|≤6成立，求实数m的取值范围．【答案】(1)(2)[-11,1]【解析】（Ⅰ）利用换元法将复合函数问题转化成二次函数类型问题求解。（Ⅱ）参变分离，把问题转化成函数的最值问题处理。【详解】（Ⅰ）当时，，，对称轴，（Ⅱ）由题意知，在上恒成立。，，，，由得t≥1，设，,第17页共17页所以在上递减，在上递增，在上的最大值为，在上的最小值为所以实数的取值范围为【点睛】（1）本题考查复合函数值域问题。换