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第1页共17页2017-2018学年贵州省黔东南州高一（下）期末数学试题一、单选题1．已知集合0，1，2，，，则（）A．B．2，C．D．【答案】B【解析】先求出集合A，利用补集定义能求出A.【详解】集合0，1，2，，，2，．故选：B【点睛】本题考查补集的求法，考查补集定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2．等比数列中，，，则公比q等于A．B．2C．D．【答案】D【解析】根据题意，由等比数列的通项公式计算可得，解得q即可．【详解】等比数列中，，，，，第2页共17页解得，故选：D【点睛】本题考查等比数列的通项公式，关键是掌握等比数列的通项公式的形式．3．若直线l经过点和，且与直线垂直，则实数a的值为A．B．C．2D．【答案】D【解析】利用两条直线相互垂直与斜率之积等于-1即可得出．【详解】∵直线l经过点和，且与直线垂直，直线的斜率∴直线l的斜率存在，且直线l的斜率为，解得．故选：D．【点睛】本题考查了两条直线相互垂直与斜率之积等于-1，属于基础题．4．在空间中，点2，关于平面xOy对称的点为，点到平面xOz的距离为A．B．1C．2D．3【答案】C【解析】根据空间直角坐标系中点两点关于坐标平面对称的规律，可得与点关于平面的对称点，它的横坐标和纵坐标与A相等，而竖坐标与A互为相反数，因此不难得到正确答案．【详解】设所求的点为，第3页共17页点与点关于平面的对称、两点的横坐标和纵坐标相等，而竖坐标互为相反数，即，，，得坐标为.∴点到平面的距离为：2．故选：C．【点睛】本题借助于两点关于一个平面对称，已知其中一点坐标的情况下求另一点的坐标，考查了空间点与点关于平面对称的知识点，属于基础题．5．由8个大小相同的正方体组成的几何体的正视图和俯视图如图所示，则这个几何体的侧视图A．B．C．D．【答案】A【解析】根据该组合体的主视图和俯视图及正方形的个数确定每层的小正方形的个数，然后确定其左视图即可.【详解】该组合体共有8个小正方体，俯视图和主视图如图，该组合体共有两层，第一层有5个小正方体，第二层有三个小正方体，且全位于第二层的最左边，左视图应该是两层，每层两个，故选：A．【点睛】本题考查由视图判断空间几何体；解题关键点是:1计算出正视图和侧视图共有7个正方体;2准确确定第八个正方体所处的位置.6．对于两条不同的直线，，两个不同的平面，，下列结论正确的A．若，，则B．若，，则C．若，，则D．若，，则第4页共17页【答案】C【解析】在A中，与相交、平行或异面；在B中，与相交或平行；在C中，由线面垂直的判定定理得；在D中，或．【详解】由两条不同的直线，，两个不同的平面，，知：在A中，若，，则与相交、平行或异面，故A错误；在B中，若，，则与相交或平行，故B错误；在C中，若，，则由线面垂直的判定定理得，故C正确；在D中，若，，则或，故D错误．故选：C．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，是中档题，解题中需要对线线、线面、面面位置关系的判定、性质熟练掌握．7．已知在中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若，，，b边的长是A．3B．6C．7D．【答案】D【解析】由余弦定理可得，计算即可得答案．【详解】根据题意，在中，，，，则，则，故选：D．【点睛】本题考查余弦定理的应用，关键是选择余弦定理合适的形式．第5页共17页8．若x，y满足约束条件，则的最小值为A．1B．C．D．2【答案】C【解析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求目标函数的最小值．【详解】由，得，作出x，y满足约束条件对应的可行域阴影部分，平移直线，由平移可知当直线，经过点A时，直线的截距最大，此时z取得最小值，由，解得，，即，代入，则，即目标函数的最小值为，故选：C．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．9．已知等腰直角三角形的直角边的长为1，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为A．B．C．D．第6页共17页【答案】A【解析】由题知该旋转体为两个倒立的圆锥底对底组合在一起，根据圆锥的侧面积计算公式可得．【详解】由题知该几何体为两个倒立的圆锥底对底组合在一起，其中若，故选：A．【点睛】本题考查旋转体的定义，圆锥的侧面积计算公式，属于基础题，意在考查旋转体定义和圆锥侧面积公式的掌握情况．10．设P是圆上的动点，则点P到直线的距离的最大值为A．B．C．D．【答案】A【解析】容易求出圆心到直线的距离，加上半径即为点P是圆上的动点到直线的距离的最大值【详解】依题意可知：圆的圆心，半径为1，圆心到直线的距离：故点P到直线的距离的最大值是：故选：A．【点睛】本题考查圆的标准方程的应用、直线与圆的位置关系；圆上的点到直线距离的最值问题常常转化为原点到直线的距离加上（减去）半径即为最大值（小值）.11．已知四棱锥的顶点都在球O的球面上，底面ABCD是边长为2的正方形，且面ABCD，若四棱锥的体积为，则该球的体积为第7页共17页A．B．C．D．【答案】B【解析】把四棱锥P-ABCD扩展为长方体，则长方体的对角线的长是外接球的直径，求出外接球的半径R，再计算外接球的体积．【详解】四棱锥扩展为长方体，则长方体的对角线的长是外接球的直径，由四棱锥的体积为，解得；，解得；∴外接球的体积为．故选：B．【点睛】本题考查了四棱锥的结构特征与其外接球的应用问题，是基础题．12．己知数列满足，，，则数列的前2018项的和等于A．B．C．D．【答案】B【解析】根据，可得数列的奇数项和偶数项分别构成等比数列，即可求解前2018项的和的值．【详解】由，即，当n为奇数时，可得，成等比，首项为1，公比为3．当n为偶数时，可得，成等比，首项为3，公比为3．那么：，前2018项中，奇数项和偶数项分别有1009项.故得．第8页共17页故选：B．【点睛】考查等比数列的定义、递推公式、分组求和，考查了运算能力和数学归纳的思想，属于中档题，解题中，关键是由已知条件推导出奇数项、偶数项各自成等比数列．二、填空题13．若直线l为：，则直线l的倾斜角为______．【答案】【解析】求解直线l的斜率，根据斜率的定义即可求解倾斜角的大小.【详解】直线l的倾斜角为，，直线l的方程为，即，则，解得，则直线l的倾斜角为，故答案为：【点睛】本题考查了倾斜角与斜率的关系、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14．已知数列为等差数列且，则______．【答案】【解析】由已知结合等差数列的性质求得，代入正弦函数即可．【详解】在等差数列中，由，得，．第9页共17页故答案为：．【点睛】本题考查等差数列的性质，求特殊三角函数值，属于基础题，题目意在考查对等差数列性质和特殊三角函数的掌握情况．15．对于任意的实数x，不等式恒成立，则实数m的取值范围是______．【答案】【解析】由于是开口向上的二次函数对应的二次不等式在R上恒为正，只需即可．【详解】由于任意的实数x，不等式恒成立，则，解得，故实数m的取值范围是．【点睛】本题考查利用不等式恒成立求解参数范围，属于基础题，解题中关键是准确利用二次项系数大于零的二次不等式恒为正的充要条件．16．已知三棱锥，若平面ABC，，则异面直线PB与AC所成角的余弦值为______．【答案】【解析】过B作，且，则或其补角即为异面直线PB与AC所成角由此能求出异面直线PB与AC所成的角的余弦值．【详解】过B作，且，则四边形为菱形，如图所示：第10页共17页或其补角即为异面直线PB与AC所成角．设.，，平面ABC，，．异面直线PB与AC所成的角的余弦值为．故答案为：．【点睛】本题考查异面直线所成角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．三、解答题17．求两条垂直的直线和的交点坐标．求平行于直线，且与它的距离为的直线方程．【答案】（1）；（2）或.【解析】由题意利用两条直线垂直的性质，求得a的值，再联立方程组求得两直线交点的坐标．由题意利用用待定系数法设出直线的方程，再利用两条平行线间的距离公式求得m的值，可得要求的直线的方程．第11页共17页【详解】两条垂直的直线和，，解得，两条垂直的直线：和，由，解得，故直线和的交点坐标．设平行于直线，且与它的距离为的直线方程为，则，解得，或，故所求直线方程为：，或．【点睛】本题主要考查两条直线平行与垂直的性质，求两条直线的交点，两条平行线间的距离公式的应用，用待定系数法求直线的方程，属于基础题．18．如图，四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面底面ABCD，E是PD的中点求证：平面AEC；平面平面PAD．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】连结AC、BD，交于点F，连结EF，根据三角形中位线，可证，由此能证明平面AEC．推导出，结合平面底面，可推导出平面，由此能证明平第12页共17页面平面．【详解】连结AC、BD，交于点F，连结EF，四棱锥中，底面ABCD为正方形，是BD的中点∵E是PD的中点平面AEC，平面AEC平面AEC．底面ABCD为正方形，，平面底面ABCD，平面平面，平面平面PAB，平面PAD，平面平面PAD．【点睛】本题考查线面平行、面面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系判定定理、性质定理等知识，是中档题，解题中需要能熟练应用判定、性质定理．19．贵阳与凯里两地相距约200千米，一辆货车从贵阳匀速行驶到凯里，规定速度不得超过100千米时，已知货车每小时的运输成本以元为单位由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度千米时的平方成正比，比例系数为；固定部分为64元．把全程运输成本元表示为速度千米时的函数，并指出这个函数的定义域；为了使全程运输成本最小，货车应以多大速度行驶？【答案】（1）；（2）.第13页共17页【解析】求出货车从贵阳匀速行驶到凯里所用时间，根据货车每小时的运输成本以元为单位由可变部分和固定部分组成，可得全程运输成本，及函数的定义域；利用基本不等式，时取得等号，可得千米时，全程运输成本最小．【详解】依题意一辆货车从贵阳匀速行驶到凯里所用时间为，全程运输成本为，所求函数定义域为；依题意知，故有，当且仅当，即时，等号成立．故当千米时，全程运输成本最小．【点睛】本题考查函数模型的构建，考查基本不等式的运用，解题的关键是构建函数模型，利用基本不等式求最值，由于是实际问题，需要特别注意函数的定义域要与实际情况相吻合．20．已知在中，角A，B，C所对的边分别为且a，b，c，且．求角A的大小；若，，求的面积．【答案】（1）；（2）.【解析】利用同角三角函数关系式和正弦定理即可求出结果．先利用正弦定理将角的形式转化为边的形式，再应用余弦定理和三角形的面积公式求出结果．【详解】第14页共17页在中，角A，B，C所对的边分别为且a，b，c，且．则：，整理得：，则：，由于：，解得：．，，所以：，所以：，整理得：，解得：．所以．则：．【点睛】本题考查的知识点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理和余弦定理及三角形面积公式的应用，属于基础题，解题中需要熟练掌握三角函数关系式、正余弦定理，灵活应用以上知识对条件合理转化．21．已知数列的前n项和为，且求数列的通项公式；设，求数列的前n项和．【答案】（1）；（2）.【解析】利用推导出数列递推关系式，然后求出数列的通项公式．第15页共17页利用的结论，进一步求出，再利用“错位相减法”求出数列的前n项和．【详解】数列的前n项和为，且．当时，，得：，所以：，则数列是以为首项，2为公比的等比数列．则，当时，符合通项，故：．由得：，则：，所以：，得：，，解得：．【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，利用“错位相减法”求出数列的和，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型，解题中对运算能力要求较高，平时要注意培养．22．如图，在平面直角坐标系内，已知点，，圆C的方程为第16页共17页，点P为圆上的动点．求过点A的圆C的切线方程．求的最大值及此时对应的点P的坐标．【答案】（1）或；（2）最大