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§5.1平面向量的概念及线性运算数学北(理)第五章平面向量基础知识题型分类思想方法练出高分名称定义备注向量既有又有的量；向量的大小叫作向量的(或称)平面向量是自由向量零向量长度为的向量；其方向是任意的记作单位向量长度等于的向量非零向量a的单位向量为±a|a|向量具有大小和方向两个要素．用有向线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关系．同向且等长的有向线段都表示同一向量．基础知识·自主学习1.向量的两要素难点正本疑点清源要点梳理1.向量的有关概念大小方向长度模零1个单位0基础知识题型分类思想方法练出高分平行向量方向或的非零向量共线向量的非零向量又叫做共线向量0与任一向量或共线相等向量长度且方向的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度且方向的向量0的相反向量为0基础知识·自主学习难点正本疑点清源要点梳理相同相反方向相同或相反平行相等相同相等相反向量具有大小和方向两个要素．用有向线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关系．同向且等长的有向线段都表示同一向量．1.向量的两要素基础知识题型分类思想方法练出高分向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律：a＋b＝____.(2)结合律：(a＋b)＋c＝_________.2．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量．基础知识·自主学习难点正本疑点清源要点梳理2.向量的线性运算b＋aa＋(b＋c)三角形平行四边形3．证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线；另外，利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合．基础知识题型分类思想方法练出高分减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫作a与b的差法则a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算|λa|＝；当λ0时，λa的方向与a的方向；当λ0时，λa的方向与a的方向；当λ＝0时，λa＝λ(μa)＝____；(λ＋μ)a＝________；λ(a＋b)＝________基础知识·自主学习难点正本疑点清源要点梳理三角形|λ||a|相同相反0λμaλa＋μaλa＋λb2．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量．3．证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线；另外，利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合．基础知识题型分类思想方法练出高分3.共线向量定理a是一个非零向量，若存在一个实数λ，使得b＝λa，则向量b与非零向量a共线．基础知识·自主学习难点正本疑点清源要点梳理2．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量．3．证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线；另外，利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合．基础知识题型分类思想方法练出高分题号答案解析12345AC基础知识·自主学习基础自测－282东北方向b－12a基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型一平面向量的概念辨析答案解析探究提高【例1】给出下列命题：①若|a|＝|b|，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则AB→＝DC→是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b.其中正确命题的序号是______．基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型一平面向量的概念辨析答案解析探究提高【例1】给出下列命题：①若|a|＝|b|，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则AB→＝DC→是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b.其中正确命题的序号是______．①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同．②正确．∵AB→＝DC→，∴|AB→|＝|DC→|且AB→∥DC→，又∵A，B，C，D是不共线的四点，∴四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则AB→∥DC→且|AB→|＝|DC→|，因此，AB→＝DC→.基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型一平面向量的概念辨析答案解析探究提高【例1】给出下列命题：①若|a|＝|b|，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则AB→＝DC→是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b.其中正确命题的序号是______．③正确．∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同；又b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c.④不正确．当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故“|a|＝|b|且a∥b”不是“a＝b”的充要条件，而是必要不充分条件．综上所述，正确命题的序号是②③.基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型一平面向量的概念辨析答案解析探究提高【例1】给出下列命题：①若|a|＝|b|，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则AB→＝DC→是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b.其中正确命题的序号是______．②③③正确．∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同；又b＝c，∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c.④不正确．当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故“|a|＝|b|且a∥b”不是“a＝b”的充要条件，而是必要不充分条件．综上所述，正确命题的序号是②③.∴b，c的长度相等且方向相同，基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型一平面向量的概念辨析(1)正确理解向量的相关概念及其含义是解题的关键．(2)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．(3)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．(4)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图像移动混为一谈．(5)非零向量a与a|a|的关系：a|a|是a方向上的单位向量．答案解析探究提高【例1】给出下列命题：①若|a|＝|b|，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则AB→＝DC→是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b.其中正确命题的序号是______．②③基础知识题型分类思想方法练出高分变式训练1下列命题中正确的是()A．a与b共线，b与c共线，则a与c也共线B．任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四个顶点C．向量a与b不共线，则a与b都是非零向量D．有相同起点的两个非零向量不平行解析由于零向量与任一向量都共线，所以A不正确；题型分类·深度剖析由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，所以B不正确；向量的平行只要求方向相同或相反，与起点是否相同无关，所以D不正确；对于C，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题入手来考虑，假设a与b不都是非零向量，即a与b中至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可知a与b共线，符合已知条件，所以有向量a与b不共线，则a与b都是非零向量，故选C.C基础知识题型分类思想方法练出高分【例2】如图，以向量OA→＝a，OB→＝b为邻边作▱OADB，BM→＝13BC→，CN→＝13CD→，用a，b表示OM→，ON→，MN→.题型分类·深度剖析题型二向量的线性运算思维启迪解析探究提高基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型二向量的线性运算结合图形性质，准确灵活运用三角形法则和平行四边形法则是向量加减运算的关键．思维启迪解析探究提高【例2】如图，以向量OA→＝a，OB→＝b为邻边作▱OADB，BM→＝13BC→，CN→＝13CD→，用a，b表示OM→，ON→，MN→.基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型二向量的线性运算思维启迪解析探究提高解∵BA→＝OA→－OB→＝a－b，BM→＝16BA→＝16a－16b，∴OM→＝OB→＋BM→＝16a＋56b.又∵OD→＝a＋b，∴ON→＝OC→＋13CD→＝12OD→＋16OD→＝23OD→＝23a＋23b，【例2】如图，以向量OA→＝a，OB→＝b为邻边作▱OADB，BM→＝13BC→，CN→＝13CD→，用a，b表示OM→，ON→，MN→.基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型二向量的线性运算思维启迪解析探究提高∴MN→＝ON→－OM→＝23a＋23b－16a－56b＝12a－16b.综上，OM→＝16a＋56b，ON→＝23a＋23b，MN→＝12a－16b.【例2】如图，以向量OA→＝a，OB→＝b为邻边作▱OADB，BM→＝13BC→，CN→＝13CD→，用a，b表示OM→，ON→，MN→.基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型二向量的线性运算(1)解题的关键在于搞清构成三角形的三个问题间的相互关系，能熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化．(2)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果．思维启迪解析探究提高【例2】如图，以向量OA→＝a，OB→＝b为邻边作▱OADB，BM→＝13BC→，CN→＝13CD→，用a，b表示OM→，ON→，MN→.基础知识题型分类思想方法练出高分变式训练2在△ABC中，AB→＝c，AC→＝b，若点D满足BD→＝2DC→，则AD→等于()A.23b＋13cB.53c－23bC.23b－13cD.13b＋23c题型分类·深度剖析解析∵BD→＝2DC→，∴AD→－AB→＝2(AC→－AD→)，∴3AD→＝2AC→＋AB→，∴AD→＝23AC→＋13AB→＝23b＋13c.A基础知识题型分类思想方法练出高分【例3】设两个非零向量a与b不共线，(1)若AB→＝a＋b，BC→＝2a＋8b，CD→＝3(a－b)，求证：A、B、D三点共线；(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．题型分类·深度剖析题型三共线向量定理及应用思维启迪解析探究提高基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型三解决点共线或向量共线的问题，要结合向量共线定理进行．思维启迪解析探究提高【例3】设两个非零向量a与b不共线，(1)若AB→＝a＋b，BC→＝2a＋8b，CD→＝3(a－b)，求证：A、B、D三点共线；(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．共线向量定理及应用基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型三思维启迪解析探究提高共线向量定理及应用(1)证明∵AB→＝a＋b，BC→＝2a＋8b，CD→＝3(a－b)，∴BD→＝BC→＋CD→＝2a＋8b＋3(a－b)＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5AB→.∴AB→、BD→共线，又∵它们有公共点B，∴A、B、D三点共线．【例3】设两个非零向量a与b不共线，(1)若AB→＝a＋b，BC→＝2a＋8b，CD→＝3(a－b)，求证：A、B、D三点共线；(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型三思维启迪解析探究提高共线向量定理及应用(2)解∵ka＋b与a＋kb共线，∴存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，即ka＋b＝λa＋λkb.∴(k－λ)a＝(λk－1)b.∵a、b是不共线的两个非零向量，∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0.∴k＝±1.【例3】设两个非零向量a与b不共线，(1)若AB→＝a＋b，BC→＝2a＋8b，CD→＝3(a