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目录退出第7讲离散型随机变量及其分布列目录退出考纲展示考纲解读理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念,了解分布列对于刻画随机现象的重要性.从近两年高考试题来看,分布列的求法单独命题较少,多与期望与方差的求法相结合,常在解答题中考查,属中档题,有一定的难度.目录退出目录退出1.离散型随机变量如果随机试验的结果可以用一个变量来表示,那么这样的变量叫做随机变量;所有取值可以一一列出的随机变量称为离散型随机变量.离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和.目录退出2.离散型随机变量的分布列及性质(1)一般地,若离散型随机变量X可能取的不同值为x1,x2,…,xi,…,xn,X取每一个值xi(i=1,2,…,n)的概率P(X=xi)=pi,则表Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn称为离散型随机变量X的概率分布列,简称为X的分布列,有时为了表达简单,也用等式P(X=xi)=pi(i=1,2,…,n)表示X的分布列.(2)离散型随机变量的分布列的性质①pi≥0,i=1,2,…,n;②∑𝑖=1𝑛pi=1.目录退出1.袋中装有10个红球、5个黑球.每次随机抽取1个球后,若取得黑球则另换1个红球放回袋中,直到取到红球为止.若抽取的次数为ξ,则表示事件“放回5个红球”的是()A.ξ=4B.ξ=5C.ξ=6D.ξ≤5【答案】C【解析】由条件知事件“放回5个红球”对应的ξ为6.目录退出2.下列4个表格中,可以作为离散型随机变量分布列的一个是()A.X012P0.30.40.5B.X012P0.3-0.10.8目录退出C.X1234P0.20.50.30D.X012P0.50.10.2【答案】C【解析】利用离散型随机变量的分布列的性质检验即可.目录退出3.离散型随机变量X的概率分布列为P(X=n)=𝑎𝑛(𝑛+1)(n=1,2,3,4),其中a是常数,则P12X52的值为()A.23B.34C.45D.56【答案】D【解析】由11×2+12×3+13×4+14×5×a=1.知45a=1,即a=54.故P12X52=P(1)+P(2)=12×54+16×54=56.目录退出4.已知随机变量X的分布列为X01234P0.10.20.3x0.1则x=.【答案】0.3【解析】∵0.1+0.2+0.3+x+0.1=1,∴x=0.3.目录退出目录退出T题型一离散型随机变量分布列的性质例1设离散型随机变量X的概率分布列为X01234P0.20.10.10.3m求:(1)2X+1的概率分布列;(2)|X-1|的概率分布列.利用pi≥0,且所有概率之和为1求m;求2X+1的取值以写出其概率分布列;求|X-1|的值以写出其概率分布列.目录退出【解】由概率分布列的性质知:0.2+0.1+0.1+0.3+m=1,∴m=0.3.首先列表为:X012342X+113579|X-1|10123从而由上表得两个概率分布列为:目录退出(1)2X+1的概率分布列:2X+113579P0.20.10.10.30.3(2)|X-1|的概率分布列:|X-1|0123P0.10.30.30.3目录退出(1)利用概率分布列中各概率之和为1可求参数的值,此时要注意检验,以保证每个概率值均为非负数.(2)若X是随机变量,则2X+1,|X-1|等仍然是随机变量,求它们的概率分布列可先求出相应随机变量的值,再根据对应的概率写出概率分布列.目录退出1.随机变量X的分布列如下:X-101Pabc其中a,b,c成等差数列,求P(|X|=1).【解】∵a,b,c成等差数列,∴2b=a+c.又a+b+c=1,∴b=13.∴P(|X|=1)=a+c=23.目录退出T题型二求离散型随机变量的分布列例2袋中装着标有数字1,2,3,4,5的小球各2个,从袋中任取3个小球,按3个小球上最大数字的9倍计分,每个小球被取出的可能性都相等,用X表示取出的3个小球上的最大数字,求:(1)取出的3个小球上的数字互不相同的概率;(2)随机变量X的概率分布列;(3)计分介于20分到40分之间的概率.目录退出(1)是古典概型;(2)关键是确定X的所有可能取值;(3)计分介于20分到40分之间的概率等于X=3与X=4的概率之和.目录退出【解】(1)方法一:“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A,则P(A)=C53C21C21C21C103=23.方法二:“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A,“一次取出的3个小球上有两个数字相同”的事件记为B,则事件A和事件B是对立事件.因为P(B)=C51C22C81C103=13,所以P(A)=1-P(B)=1-13=23.目录退出(2)随机变量X的可能取值为2,3,4,5,取相应值的概率分别为P(X=2)=C43C103=130,P(X=3)=C21C42C103+C22C41C103=215,P(X=4)=C21C62C103+C22C61C103=310,P(X=5)=C21C82C103+C22C81C103=815.故随机变量X的概率分布列为X2345P130215310815(3)由于按3个小球上最大数字的9倍计分,所以当计分介于20分~40分时,X的取值为3或4,所以所求概率为P=P(X=3)+P(X=4)=215+310=1330.目录退出求离散型随机变量的分布列时,按照求离散型随机变量的分布列的步骤进行求解即可.离散型随机变量的分布列不仅能清楚地反映其所取的一切可能值,而且能清楚地看到每一个值对应概率的大小,从而反映了随机变量在随机试验中取值的分布情况,是进一步研究随机试验数量特征的基础.目录退出2.旅游公司为3个旅游团提供4条旅游线路,每个旅游团任选其中一条,求选择甲线路旅游团数的分布列.【解】设选择甲线路旅游团数为ξ,则ξ=0,1,2,3.P(ξ=0)=3343=2764,P(ξ=1)=C31·3243=2764,P(ξ=2)=C32·343=964,P(ξ=3)=C3343=164,∴ξ的分布列为ξ0123P27642764964164目录退出目录退出1.抛掷两颗骰子,所得点数之和记为X,那么X=4表示的随机试验的结果是()A.两颗都是4点B.两颗都是2点C.一颗是1点,另一颗是3点D.一颗是1点,另一颗是3点,或者两颗都是2点【答案】D【解析】由于抛掷一颗骰子,可能出现的点数是1,2,3,4,5,6这6种情况之一,而X表示抛掷两颗骰子所得点数之和,所以X=4=1+3=2+2,表示的随机试验结果是:一颗是1点,另一颗是3点,或者两颗都是2点.目录退出2.设随机变量X的概率分布如下表所示:X012Pa1316F(x)=P(X≤x),当x的取值范围是[1,2)时,F(x)等于()A.13B.16C.12D.56【答案】D【解析】∵a+13+16=1,∴a=12.∵x∈[1,2),∴F(x)=P(X≤x)=12+13=56.目录退出3.(2012·福建福州模拟)一盒中有12个乒乓球,其中9个新的,3个旧的,从盒中任取3个球来用,用完后装回盒中,此时盒中旧球个数X是一个随机变量,则当X=4时的概率P(X=4)的值为()A.1220B.2755C.27220D.2125【答案】C【解析】由题意取出的3个球必为2个旧球1个新球,故P(X=4)=C32C91C123=27220.目录退出4.随机变量ξ的分布列为ξ-10123P0.16a10a2a50.3则常数a=.【答案】0.6【解析】由题意0.16+𝑎10+𝑎2+𝑎5+0.3=1,𝑎5≥0,𝑎10≥0,∴a=0.6.