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目录退出第3讲圆的方程目录退出考纲展示考纲解读掌握确定圆的几何要素,掌握圆的标准方程和一般方程.1.求圆的方程或已知圆的方程求圆心坐标、半径是高考的热点,多与直线相结合命题,着重考查待定系数法求圆的方程,同时注意方程思想和数形结合思想的运用.2.多以选择题、填空题的形式出现,属中、低档题.目录退出目录退出1.圆的定义及方程定义平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)限定条件标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2圆心:(a,b),半径:rr0一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0圆心:-D2,-E2,半径:12D2+E2-4FD2+E2-4F0目录退出圆的一般方程的特征圆的一般方程:x2+y2+Dx+Ey+F=0,若化为标准式,即为𝑥+𝐷22+𝑦+𝐸22=𝐷2+𝐸2-4F4.由于r2相当于𝐷2+𝐸2-4F4.所以,①当D2+E2-4F0时,圆心为-𝐷2,-𝐸2,半径r=𝐷2+𝐸2-4F2;②当D2+E2-4F=0时,表示一个点-𝐷2,-𝐸2;③当D2+E2-4F0时,方程不表示任何曲线.目录退出2.点与圆的位置关系点和圆的位置关系有三种.圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2,点M(x0,y0)(1)点M在圆上:(x0-a)2+(y0-b)2=r2;(2)点M在圆外:(x0-a)2+(y0-b)2r2;(3)点M在圆内:(x0-a)2+(y0-b)2r2.3.确定圆的方程的方法和步骤求圆的方程常用待定系数法,其步骤为:(1)根据题意选择标准方程或一般方程;(2)根据题设条件列出关于a,b,r或D,E,F的方程组;(3)由方程组求出待定的系数,代入所设的圆的方程.目录退出确定圆的方程必须有三个独立条件不论是圆的标准方程还是一般方程,都有三个字母(a,b,r或D,E,F)的值需要确定,因此需要三个独立的条件.利用待定系数法得到关于a,b,r或D,E,F的三个方程组成的方程组,解之得到待定字母系数的值.目录退出1.圆x2+y2+4x-6y-3=0的圆心和半径分别为()A.(4,-6),16B.(2,-3),4C.(-2,3),4D.(2,-3),16【答案】C【解析】方法一:设圆心坐标为(a,b),则a=-𝐷2=-2,b=-𝐸2=3,即圆心为(-2,3),r=12𝐷2+𝐸2-4F=1216+36+12=4.方法二:方程配方后可化为(x+2)2+(y-3)2=16,所以圆心坐标为(-2,3),半径为4.目录退出2.若方程x2+y2-x+y+m=0表示圆,则实数m的取值范围是()A.m12B.m10C.m12D.m≤12【答案】A【解析】若方程表示圆,则必须满足12+12-4m0,故m12.目录退出3.点P(5a+1,12a)在圆(x-1)2+y2=1的内部,则实数a的取值范围是()A.{a||a|1}B.𝑎|𝑎|15C.𝑎|𝑎|112D.𝑎|𝑎|113【答案】D【解析】当点P在圆的内部时,点P到圆心的距离小于该圆的半径,即有(5a)2+(12a)21⇒a21132⇒|a|113.目录退出4.点P(4,-2)与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是()A.(x-2)2+(y+1)2=1B.(x-2)2+(y+1)2=4C.(x+4)2+(y-2)2=4D.(x+2)2+(y-1)2=1【答案】A【解析】设圆上任一点坐标为(x0,y0),则𝑥02+𝑦02=4,连线中点坐标为(x,y),则2𝑥=𝑥0+4,2𝑦=𝑦0-2⇒𝑥0=2x-4,𝑦0=2y+2,代入𝑥02+𝑦02=4中得(x-2)2+(y+1)2=1.目录退出5.圆x2+y2-2x+6y+5a=0关于直线y=x+2b成轴对称图形,则a-b的取值范围是.【答案】(-∞,4)【解析】由题得圆心(1,-3),且(-2)2+62-4×5a0,即a2.由圆心在直线上,可得b=-2,故a-b4.目录退出目录退出T题型一求圆的方程例1求经过点A(5,2),B(3,-2),且圆心在直线2x-y-3=0上的圆的方程.根据题目条件,既可以选择利用圆的几何特征求圆的方程,也可以选择待定系数法求圆的方程.目录退出【解】方法一:∵圆过A(5,2),B(3,-2)两点,∴圆心一定在线段AB的垂直平分线上.线段AB的垂直平分线方程为y=-12(x-4).设所求圆的圆心坐标为C(a,b),则有2𝑎-𝑏-3=0,𝑏=-12(a-4),解得𝑎=2,𝑏=1.∴C(2,1),r=|CA|=(5-2)2+(2-1)2=10.∴所求圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=10.目录退出方法二:设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,则2𝑎-𝑏-3=0,(5-𝑎)2+(2-b)2=𝑟2,(3-𝑎)2+(-2-b)2=𝑟2,解得𝑎=2,𝑏=1,𝑟=10.∴圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=10.方法三:设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F0),则25+4+5𝐷+2𝐸+𝐹=0,9+4+3𝐷-2𝐸+𝐹=0,2×-𝐷2+𝐸2-3=0,解得D=-4,E=-2,F=-5.故所求圆的方程为x2+y2-4x-2y-5=0.目录退出求圆的方程时,应根据条件选用合适的圆的方程.一般来说,求圆的方程有两种方法:①几何法,通过研究圆的性质进而求出圆的基本量.②代数法,即设出圆的方程,用待定系数法求解.目录退出1.求过三点A(1,12),B(7,10),C(-9,2)的圆的方程.【解】方法一:设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,则1+144+𝐷+12𝐸+𝐹=0,49+100+7𝐷+10𝐸+𝐹=0,81+4-9𝐷+2𝐸+𝐹=0,解得D=-2,E=-4,F=-95,故所求圆的方程为x2+y2-2x-4y-95=0.目录退出方法二:由A(1,12),B(7,10)得AB的中点坐标为(4,11),kAB=-13,则AB的中垂线方程为3x-y-1=0,同理得AC的中垂线方程为x+y-3=0,联立3𝑥-𝑦-1=0,𝑥+𝑦-3=0,解得𝑥=1,𝑦=2,即圆心坐标为(1,2),半径r=(1-1)2+(2-12)2=10.故所求圆的方程为(x-1)2+(y-2)2=100.目录退出T题型二与圆有关的最值问题例2已知实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0,求:(1)𝑦𝑥的最大值和最小值;(2)y-x的最大值和最小值;(3)x2+y2的最大值和最小值.根据代数式的几何意义,借助于平面几何知识,数形结合求解.目录退出【解】(1)原方程可化为(x-2)2+y2=3,表示以(2,0)为圆心,3为半径的圆,𝑦𝑥的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率,所以设𝑦𝑥=k,即y=kx.当直线y=kx与圆相切时,斜率k取得最大值或最小值,此时|2𝑘-0|𝑘2+1=3,解得k=±3.所以𝑦𝑥的最大值为3,最小值为-3.目录退出(2)y-x可看作是直线y=x+b在y轴上的截距,当直线y=x+b与圆相切时,纵截距b取得最大值或最小值,此时|2-0+𝑏|2=3,解得b=-2±6.所以y-x的最大值为-2+6,最小值为-2-6.(3)x2+y2表示圆上的一点与原点距离的平方,由平面几何知识知,在原点与圆心的连线和圆的两个交点处取得最大值和最小值.又圆心到原点的距离为(2-0)2+(0-0)2=2,所以x2+y2的最大值是(2+3)2=7+43,x2+y2的最小值是(2-3)2=7-43.目录退出与圆有关的最值问题,常见的有以下几种类型:(1)形如μ=𝑦-𝑏𝑥-𝑎形式的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题;(2)形如t=ax+by形式的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题;(3)形如(x-a)2+(y-b)2形式的最值问题,可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.目录退出2.已知M为圆C:x2+y2-4x-14y+45=0上任意一点,且点Q(-2,3).(1)求|MQ|的最大值和最小值;(2)若M(m,n),求𝑛-3𝑚+2的最大值和最小值.目录退出【解】(1)由圆C:x2+y2-4x-14y+45=0可得(x-2)2+(y-7)2=8,即圆心C的坐标为(2,7),半径r=22.又|QC|=(2+2)2+(7-3)2=42,故(|MQ|)max=42+22=62,(|MQ|)min=42-22=22.目录退出(2)可知𝑛-3𝑚+2表示直线MQ的斜率,设直线MQ的方程为y-3=k(x+2),即kx-y+2k+3=0,则𝑛-3𝑚+2=k.由直线MQ与圆C有交点,所以|2𝑘-7+2𝑘+3|1+𝑘2≤22,可得2-3≤k≤2+3,所以𝑛-3𝑚+2的最大值为2+3,最小值为2-3.目录退出T题型三与圆有关的轨迹问题例3等腰三角形的顶点是A(4,2),底边一个端点是B(3,5),求另一个端点C的轨迹方程,并说明它的轨迹是什么.设出C点的坐标(x,y),根据|AB|=|AC|列方程化简整理,即可得点C的轨迹方程,然后由轨迹方程指明轨迹.目录退出【解】设另一端点C的坐标为(x,y).依题意,得|AC|=|AB|.由两点间的距离公式,得(𝑥-4)2+(y-2)2=(4-3)2+(2-5)2,整理得(x-4)2+(y-2)2=10.这是以点A(4,2)为圆心,10为半径的圆,如图所示.目录退出又因为A,B,C为三角形的三个顶点,所以A,B,C三点不共线,即点B,C不能重合且B,C不能为圆A的一直径的两个端点.因为点B,C不能重合,所以点C不能为(3,5).又因为点B,C不能为一直径的两个端点,所以𝑥+32≠4,且𝑦+52≠2,即点C不能为(5,-1).故端点C的轨迹方程是(x-4)2+(y-2)2=10〔除去点(3,5)和(5,-1)〕,它的轨迹是以点A(4,2)为圆心,10为半径的圆,但除去(3,5)和(5,-1)两点.目录退出1.求轨迹方程的一般步骤:(1)建系:建立适当的直角坐标系;(2)设点:用(x,y)表示轨迹(曲线)上任一点M的坐标;(3)列式:列出关于x,y的方程;(4)化简:把方程化简为最简形式;(5)证明:证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点.2.因为除个别情况外,化简过程都是同解变形过程,所以步骤(5)可以不写,如果有特殊情况,可适当予以说明.比如:看一看该方程有没有多余的点,有没有漏掉一些特殊的点,多余的去掉,漏掉的再添上.3.求轨迹与求轨迹方程是不同的,求轨迹方程得出方程即可,而求轨迹在得出方程后还要指出方程的曲线是什么图形.目录退出3.设定点M(-3,4),动点N在圆x2+y2=4上运动,以OM,ON为两边作平行四边形MONP,求点P的轨迹.目录退出【解】如图所示,设P(x,y),N(x0,y0),则线段OP的中点坐标为𝑥2,𝑦2,线段MN的中点坐标为𝑥0-32,𝑦0+42.由于平行四边形的对角线互相平分,故𝑥2=𝑥0-32,𝑦2=𝑦0+42.从而𝑥0=x+3,𝑦0=y-4.因为N(x+3,y-4)在圆上,故(x+3)2+(y-4)2=4.因此所求轨迹为圆:(x+3)2+(y-4)2=4,但应除去两点-95,125和-215,285(点P在直线OM上时的情况).目录退出目录退出1.(2012·辽宁卷,7)将圆x2+y2-2x-4y+1=0平分的直线是()A.x+y-1=0B.x+y+3=0C.x-y+1=0D.x-y+3=0【答案】C【解析】圆x2+y2-2x-4y+1=0可化为标准方程(x-1)2+(y-2)2=4,要使直线平分此圆,则直线需过圆心(1,2).因此可通过代入法,看哪一条直线过圆心(1,2)即可.经检验,选项C满足条件.故选C.目录退出2.点P(2,-1)为圆(x-1)2+y2=25内弦AB的中点,则直线AB的方程是()A.x-y-3=0B.2x+y-3=0C.x+y-1=0D.2x-y-5=0【答案】A【解析】因为过圆心和点P的直