流体力学--第四章流体动力学基础

第四章流体动力学基础§4-1流体运动微分方程§4-2理想流体运动微分方程的伯诺里积分§4-3实际流体的能量方程§4-4伯诺里方程的工程应用§4-5实际流体的动量方程§4-1流体运动微分方程理想流体运动微分方程式是研究流体运动学的重要理论基础。可以用牛顿第二定律加以推导。受力分析：切向应力＝0（理想流体）法向应力＝压强2dxxpp2dxxppXdxdydz1.质量力：2.表面力：xdxdydzadxdydzXdydzdxxppdydzdxxpp)2()2(根据牛顿第二定律得x轴方向的运动微分方程zuuyuuxuutuxpYyzyyyxy1xaxpX1yaypY1zazpZ1或1xxxxxyzuuuupXuuuxtxyzzuuyuuxuutuxpZzzzyzxz1理想流体的运动微分方程（欧拉运动微分方程）兰姆型欧拉方程21()()2xyzzyuupXuutxx21()()2yzxxzuupYuutyy21()()2zxyyxuupZuutzz该方程主要针对有旋流场。§4-2理想流体运动微分方程的伯诺里积分伯诺里积分条件一、伯诺里积分(1)恒定流动(2)沿流线积分(3)质量力有势(4)不可压缩流体zuuyuuxuutuxpYyzyyyxy11xxxxxyzuuuupXuuuxtxyzzuuyuuxuutuxpZzzzyzxz1①③②1.恒定流动0tututuzyx2.沿流线积分dyzuudyyuudyxuudyxpYdyyzyyyx1dxzuudxyuudxxuudxxpXdxxzxyxx1dzzuudzyuudzxuudzxpZdzzzzyzx1①②③分别乘以,,dxdydzdddxyzxyzuuu流线微分方程dxudyuyxdyudzuzydzudxuxz)(21)(12xxxxxuddzzudyyudxxuudxxpXdx)(21)(12yyyyyuddzzudyyudxxuudyypYdy)(21)(12zzzzzuddzzudyyudxxuudzzpZdz⑤④⑥④⑤⑥式相加得22211()()()2xyzpppXdxYdyZdzdxdydzduuuxyz2211)(dudpZdzYdyXdx3.质量力有势dWdzzWdyyWdxxWZdzYdyXdx2211dudpdW4.不可压缩流体CCupW22积分伯诺里积分丹·伯努利（DanielBernoull，1700—1782）：瑞士科学家，曾在俄国彼得堡科学院任教，他在流体力学、气体动力学、微分方程和概率论等方面都有重大贡献，是理论流体力学的创始人。伯努利以《流体动力学》（1738）一书著称于世，书中提出流体力学的一个定理，反映了理想流体（不可压缩、不计粘性的流体）中能量守恒定律。这个定理和相应的公式称为伯努利定理和伯努利公式。他的固体力学论著也很多。他对好友欧拉提出建议，使欧拉解出弹性压杆失稳后的形状，即获得弹性曲线的精确结果。1733—1734年他和欧拉在研究上端悬挂重链的振动问题中用了贝塞尔函数，并在由若干个重质点串联成离散模型的相应振动问题中引用了拉格尔多项式。他在1735年得出悬臂梁振动方程；1742年提出弹性振动中的叠加原理，并用具体的振动试验进行验证；他还考虑过不对称浮体在液面上的晃动方程等。二、重力场中理想流体的伯诺里方程0X0YgZ22puzCgg2211221222pupuzzgggg理想流体的伯诺里方程既适用于整个理想不可压缩重力流体有势恒定流场，又适用于理想不可压缩重力流体恒定流动非势流场中的某一条流线。三、伯诺里方程的意义（1）能量意义位能z压能pg总势能动能gu22总机械能C（2）物理意义位置水头压强水头zpg测压管水头pH速度水头gu22总水头H22puHzgg§4-3实际流体的能量方程22'11221222wpupuzzhgggg一、实际流体元流的伯努利方程机械能损失适用条件：恒定流动不可压缩均质流体只有重力作用yxzz111z222二、实际总流的能量方程22'11221222wpupuzzhgggg1222'112212()d()d22wAApupuzgQzhgQgggg22'112212()()22wQQQQQpupugzdQgdQgzdQgdQghdQgggg1.能量方程gdQgpzgdQgu222dfAghQ(1)势能积分对于渐变流，沿法线方向上的加速度可以看作零，则沿法线方向上的合力为零。即0nF()cos0pdApdpdAgdAdlcosdldz0dpdzgpzCgppzgdQgQzgg（2）动能积分2222QuvgdQgQgg式中称为动能修正系数，即实际动能与平均动能之比值。AvdAu33流速分布较均匀10.1~05.1流速分布不均匀为2或者更大在工程计算中常取1（3）水头损失积分'wwQghdQgQhwhgvgpzgvgpz222222221111综合（1）（2）（3），有实际流体的总流的伯诺里方程三、实际总流的能量方程意义gu22z位能——pg压能——gu22动能——pzg势能——22puzgg机械能——Bernoulli方程表明，对于理想流体，其位置能、压力能和动能可以互相转换，但总和不变。Bernoulli方程为能量守恒方程在理想液体中的应用或表现形式。1、物理意义22upzHgg常数bc1aa'2c'b'H总水头线静水头线gv2/21gp/11zgv2/22gp/22z速度水头位置水头压强水头总水头2、几何意义理想流体的总水头线:水平线实际流体的总水头线:斜线四、伯诺里方程的推广1.沿程有汇流或分流的伯诺里方程112233212222211122whgvgpzgvgpz312333211122whgvgpzgvgpz2．沿程有能量输入或输出的伯诺里方程22111222121222wpvpvzEzhgggg§4-4伯诺里方程的应用一、毕托管测流速22AABpupggg22ABAupphggg2Auugho1u1o2Δhh0Du22112ugh1：被测流体密度2：U型压差计中工作液体密度h：U型压差计中液面高差2ugh—流速修正系数，一般由实验确定0.97流速毕托管使用方法：1.要正确选择测量点断面，确保测点在气流流动平稳的直管段。为此，测量断面离来流方向的弯头、变径异形管等局部构件要大于4倍管道直径。离下游方向的局部弯头、变径结构应大于2倍管道直径。2.测量时应当将全压孔对准气流方向，以指向杆指示。测量点插入孔应避免漏风，可防止该断面上气流干扰。用皮托管只能测得管道断面上某一点的流速，由于断面流量分布不均匀，因此该断面上应多测几点，以求取平均值。3.使用前测试一下畅通性。小静压孔经常检查，勿使杂质堵塞小孔使用后及时清洁内外管，以保证长期良好状态。三、文丘里管测流量221112221222pvpvzzgggg1221121()()ppzzhgg等压面原理21221212()[1(/)]ghvAA2122221212()[1(/)]ghQvAAAA21221212()[1(/)]ghQAAA流量系数98.0~95.0当测压装置为测压管时，其流量计算公式为22212[1(/)]ghQAAA流量计算公式文丘里管流量计孔板流量计喷嘴流量计工程上常用的流量计还有转子流量计、靶式流量计、电磁流量计、超声流量计等。涡轮流量变送器三、射流泵22112222pvpvgggg22211222ppvvgggg20224412(4)11[()]2vpppQggggdd吸水高程vpHg真空度§4-5实际流体的动量方程动量定理：流体系统动量的时间变化率等于作用在系统上的外力矢量和,即一、定常流动的动量方程dKFdt''''''''''1212122211122211()()dKKKKKKKKK系统动量改变量11''111111111QAdQudtudtdAuKdtvQK111111''不可压缩流体同理dtvQK222222''动量修正系数0.1dtvvQdK)(1122)(1122vvQdtdKF)(1122xxxvvQF)(1122yyyvvQF)(1122zzzvvQF二、定常流动的动量方程——应用注意事项2、合外力种类。应用时应注意，适当地选择控制面，完整地表达出控制体和控制面上的外力。外力包括质量力和表面力，其中表面力包括控制截面压力（相对压力）和固壁面压力，切向面力一般可以忽略。3、矢量的计算。压力、速度、动量都是矢量，计算时注意大小和方向，应用投影方程比较方便。投影值与坐标方向一致为正值，与坐标方向相反为负值。1、合理选取控制截面。控制截面必须满足均匀流或渐变流条件。三、动量方程的应用1.流体对弯管上的作用力动量方程)(sin)(cos1222122211yyyyxxxxvvQRGApFvvQRApApFsinsin)cos(cos222122211QvGApRvvQApApRyx作用力计算22xyRRRxyRRarctg涡轮机旋转洒水器2.射流对平面面壁的作用力xx轴方向的动量方程为000(sin)Rqv200sinAv射流对平板的冲击力RR'3.射流的反推力射流速度ghv2射流给容器的反推力xFQv例如图所示矩形断面平坡渠道中水流越过一平顶障碍物。已知，，渠宽，渠道通过能力，试求水流对障碍物通水间的冲击力。20.5mh12.0mh1.5mb31.5m/sQR解（1）取如图示控制体，受力分析（2）列水平方向上的动量方程'1221()PRPQvv1112hPghb2222hPghb11Qvhb22Qvhb式中：25.31kNR（3）水流对障碍物的冲击力kNRR31.25用动量方程求解流体对固体边界的作用力时，以下步骤可供参考：1.分析流体运动，找出渐变流断面，取分离体。建立坐标，规定正方向。2.分析作用在分离体上所有外力，并假设固体边界对流体作用力R的方向。3.建立动量方程。若动量方程中的未知数多于一个，则应联合能量方程式或（和）连续性方程，求解边界对流体的作用力R。4.根据作用力与反作用力大小相等、方向相反的原则，确定流体对固体边界的作用力。