第四章 变量数列分析

第一节变量数列分析概述•一、变量数列分析的内容•1、总体结构与分布特征分析。•2、集中趋势分析。•3、离中趋势分析。•4、偏度与峰度分析。•二、变量数列分析的作用•1、认识作用。•2、比较作用。•3、数量标准作用。•4、推断作用。三、变量数列分析的原则•1、注意总体各单位的同质性。•2、用组平均数补充说明总平均数。•3、用分配数列补充说明总平均数。•4、集中趋势与离中趋势结合应用。•5、一般与个别结合应用。第二节集中趋势分析一、平均指标的意义•（一）平均指标的概念•平均指标又称平均数，是指某一数量标志在总体各单位上所达到的一般水平。•（二）平均指标的特点•将具体数值抽象化，用一个代表性的数字来代表总体的一般水平。•（三）平均指标的作用•1、反映总体分布的集中趋势。•2、比较同类现象在同一时间、不同空间上的水平。•3、比较同类现象在同一空间、不同时间上的水平。（四）平均指标的种类•算数平均数计算平均数调和平均数一般平均数（数值平均数）几何平均数•（静态平均数）•众数•位置平均数•平均数中位数平均发展水平•动态平均数平均增长水平•（序时平均数）平均发展速度平均增长速度图6-1二、算术平均数•（一）概念和基本公式•算术平均数是指总体标志总量与总体单位总量对比所得之比值。一般用符号表示。其基本公式为：••X总体单位总量总体标志总量算术平均数•在计算算术平均数时应注意：•分子、分母必须同属于同一总体，且具有一一对应的关系，即：有一个总体单位必须有一个标志值与之对应。只有这样计算出来的平均指标才能表明总体的一般水平。这正是平均指标与强度相对指标的区别，强度相对指标是两个有联系的不同总量指标对比的结果，这两个总量指标没有依附关系，而只是经济内容上存在客观联系。（二）计算方法•1、简单算术平均法。•（1）适用对象。简单算术平均法适用于求未分组资料的平均数。（2）计算公式。NXNXXXXXN321例6-1某班组20名工人的周工资分别为：150、150、180、180、180、200、200、200、200、220、220、220、220、220、220、240、240、240、260、280元，则其平均工资为：元）(21120422020260180150150X2、加权算术平均法。（1）适用对象。加权算术平均法适用于对已分组的资料求平均数。（2）计算公式。①当权数为绝对数f时。fxffffffxfxfxfxxnnn321332211例6-2某班组20名工人按周工资分组资料如下表：表6-1按周工资分组（元）x工人人数（人）fxf150180200220240260280234631130054080013207202602801229344548749697442288348448625232401476120422051820980xfxxfxx2)(元）(211204220fxfx②当权数为频率f/∑f时。ffxffxffxffxffxffxfxfxfxxnnnn332211332211ffxffxffxffxffxffxfxfxfxxnnnn332211332211例6-3某班组若干名工人按周工资分组的资料如下表：表6-2按周工资分组（元）x各组人数占总人数比重（%）f/∑fx﹡f/∑f15018020022024026028010152030155515274066361314∑100211ffxffxffxffxffxffxfxfxfxxnnnn332211332211=211(元）ff（三）关于加权算术平均数的几点说明•1、加权算术平均数同时受变量值x和权数f或f/∑f两个因素的影响。•2、权数从形式上讲可以是频数f，也可以是频率f/∑f。•3、对同一原始资料而言，用频数f与用频率f/∑f求出的平均数始终是相等的。•4、权数对平均数的大小有权衡轻重的作用，即哪一个组的权数最大，计算出来的平均数就与该组的变量值最接近。•5、各组频率没变，不论频数是否变化，平均数始终都不变；各组频率发生变化，不论频数是否变化，平均数也发生变化。••例如，某建筑工地上，各种起重机和起重机台数构成资料如下：起重（吨）起重机台数（台）各组所占比重％起重总量（吨）４０１１０４０２５２２０５０１０３３０３０５４４０２０合计１０１００１４０平均起重量=40＊10%+25＊20%+10＊30%+5＊40%=14吨x•权数对平均数的大小不取决于它的绝对值的大小而取决于它的比重大小，若各组单位数与总体单位数同时发生变化，各组比重不变，则平均数不变。起重量（吨）起重机台数（台）各组起重机占比重％起重总量（吨）４０２１０８０２５４２０１００１０６３０６０５８４０４０合计２０１００２８０平均起重量X￣=40＊10%+25＊20%+10＊30%+5＊40%=14吨nXnfXffXfX•6、当个组频数或频率相等时，权数就失去了其应有的作用，此时，加权算术平均数就变成了简单算术平均数，所以说简单平均数是加权平均数在权数相等是的一个特例。•若各组单位数相同，即ｆ1=ｆ2=---=ｆn=ｆ,•则加权算术平均数计算公式与简单算术平均数存在下面的关系式：•所以简单算术平均数是加权算术平均数的一个特例，是权数相等条件下的加权算术平均数。••7、根据组距数列求加权算术时，需取组中值作为各组变量值的代表，是假定总体各单位在各组内部是均匀分布的，但并非如此，故计算的平均数只是一个近似值。•8、在计算加权算术平均数时，对于权数的选择必须慎重考虑。•例如，计算平均利润率、平均合格率、平均费用率、平均计划完成程度等等，应根据被研究标志的性质及具有的权数资料选择不同的方法，下面请看例子：•例1：某市某局所属15个企业工业增加值计划完成情况的组距分配数列资料如下：计划完成程度(%)组中值(%)企业数(个)计划数(万元)90-100955100100-1101058800110-1201152100合计---151000根据上述资料计算该公司平均计划完成程度如果以企业数为权数就不对%10510001050100800100100*%115800*115*%105100*%95%1031545,152852*%1158*%1055*%95XX错误•例2：某公司下属三个门市部销售情况如下：部门销售利润率(%)销售额(万元)A121000B102000C71500合计-----4500根据以上资料计算该公司的平均利润率。%44945004251500200010001500*%72000%%101000*%12，fXfX平均利润率销售额利润额销售利润率•例3：某市100个超市的月销售额与流通费用情况如下：按销售额分组（万元）商店数（个）销售费用率（%）50以下1014、250--1002011、4100--2003010、1200--300259、2300以上158、5合计100------%48917750251682525062504500150025025446575545417153515*35025*25030*15020*7510*2515*0850*35025*0920*25030*1010*15020*1140*%7510*1420*25，，，，，，，，，，X销售额费用总额平均费用率（四）算术平均数的数学性质1、各变量值与其算术平均数离差的和等于0。即：0)(0)(fxxxx未分组资料）(（已分组资料）｛0)()()()()()(0)()()()()(21221122111121ffxfxffffxfxfxfxfxxfxxfxxfxxnxnxxnxxxxxxxxxxxnnnnnnnLLLLL2、各变量值与其算术平均数离差平方的和为最小。即：最小最小fxxxx22)()(未分组资料）(（已分组资料）｛22222222222222)()(0,0)(,0)()()(2)()(2)()()()XCAAAXXXnCXXAXnCXXnCXXCXXCXXCXXCXXXCXAXCXAX（，则：即的任意常数，且为一不等于令（五）算术平均数的特殊应用1、等级（品质标志）平均数(例6-4和例6-5）。2、评分平均数（教材P62—63）。3、先进平均数（例6-6和例6-7）。4、截尾平均数（教材P63）。例6-4某地区劳动力资源按文化程度不同的分组资料如下表。要求计算该地劳动力资源的平均文化程度。表6-3按文化程度分组人数（万人）f受教育年限（年）xxf大学高中初中小学文盲、半文盲53570115251612960804206306900∑250—1820年）(28.72501820fXfX例6-5某农产品收购站2003年收购的某农产品按收购等级分组得资料如下表。要求计算该农产品的平均等级。表6-4按等级分组收购量（公斤）fxxf特等品一等品二等品三等品等外品30050010003505001234050020001050200∑2200—3750（级）70.122003750fxfx例6-6资料见例6-2。要求计算该班组20名工人周工资的先进算术平均数。（元）先进55.23411258011361280126032406220fXfX例6-7资料见例6-15。要求计算该班学生统计学考试成绩的先进算术平均数。表6-5按成绩分组（分）人数（人）fxxf73.20—8080—9090以上177276.6085951302.20595190∑26—2087.20分）(28.80262.2087fXfX三、调和平均数•（一）概念和基本公式•调和平均数又称倒数平均数，是指各变量值倒数的算术平均数的倒数。一般用符号表示。其基本公式为：xnxH1HX（二）计算方法•1、简单调和平均法。•（1）适用对象。简单调和平均法适用于对未分组资料求平均数。•（2）计算公式。xnxH1xnxH1例6-8某种蔬菜在某个农贸市场早、中、晚的价格分别为（元/斤）：2.00、1.80、1.50，则某人早、中、晚各买1元时的平均价格为：50.1180.1100.213=1.74（元）2、加权调和平均法。（1）适用对象。加权调和平均法适用于对已分组资料求平均数。（2）计算公式。==nnnhxmxmxmxmmmmmx332211321==xmm（3）应用。例6-9某班若干名学生按年龄分组的资料如下表：表6-6按年龄分（岁）x总年龄（岁）mm/x1819202122361905202104421026102∑100050岁）(20501000xmmxH例6-10某公司所属甲、乙、丙三个企业的利润率和利润额资料如下表。要求计算甲、乙、丙三个企业的平均利润率。表6-7企业名称利润率（%）x利润额（万元）mm/x甲乙丙151816753961045002200650∑—5753350%16.173350575xmmxH例6-11某单位2003年新、老职工的有关工资资料如下表。要求计算该单位新、老职工的平均工资。表6-8职工类别平均工资（元）x工资总额（元）mm/x新职工老职工1300017000455000011050000350650∑—156000001000元）(15600100015600000xmmxH四、几何平均数（一）几何平均数的概念几何平均数是指